Competenza — Usare formule.
Presente nei capitoli
01·02·04·06·07·08·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·44·46·47
Atomi collegati
514 atomi collegati.
01 Numeri e operazioni fondamentali
- Numero ottaedrico
- Numero pentagonale
- Numero perfetto con la formula di Euclide
- Numero tetraedrico
- Numero triangolare centrato
- Piccolo teorema di Fermat
- Proprietà delle potenze
- Riconoscere un numero triangolare
- Semplificare potenze con la stessa base
- Teorema di Wilson
- Terna pitagorica con la formula di Euclide
- Trovare la base incognita
02 Calcolo letterale
- Cubo di binomio
- Esponenti negativi
- Il diagramma a triangolo per il quadrato di trinomio
- Il metodo delle forme
- Il triangolo di Tartaglia
- Le formule dei prodotti notevoli
- Quadrato di binomio
- Semplificare potenze
- Semplificare potenze con la stessa base
- Somma per differenza
04 Percentuali
- Aumento e riduzione percentuale
- Capitale dall’interesse semplice
- Capitale iniziale dal rimborso
- Errore assoluto ed errore relativo
- Interesse composto
- Interesse semplice
- Interesse semplice su un prestito
- L’IVA e come scorporarla
- Montante a interesse semplice del deposito
- Montante di un prestito
- Montante su diciotto mesi
- Prestito a sconto anticipato
- Sconto commerciale della banca
- Sconto e maggiorazione
- Tasso di interesse semplice da recuperare
- Tasso periodale e capitalizzazione frazionata
- Tempo per maturare un interesse
- Tempo per maturare un interesse semplice
- Trovare il tasso di interesse
- Valore attuale con sconto razionale
- Valore attuale e sconto
06 Sistemi di equazioni lineari
- Il determinante di una matrice 2x2
- Inversa di una matrice 2x2
- La regola di Cramer
- Prodotto riga per colonna
- Quadrato e inversa di una matrice 2x2
07 Teoria degli insiemi
08 Fondamenti di geometria euclidea
10 Equazioni di secondo grado e fratte
- Cardano in azione
- Come si calcola una frazione continua
- Due numeri di somma e prodotto assegnati
- Equazione di secondo grado con la formula risolutiva
- Identità utili con somma e prodotto
- La formula di Cardano
- La formula risolutiva e il discriminante
- La spirale di triangoli simili
- La stellina frattale
- Risolvere completando il quadrato
- Somma e prodotto delle radici
- Somma e prodotto delle radici
11 Disequazioni
12 La parabola
- Completamento del quadrato con coefficienti frazionari
- Completamento del quadrato di due parabole
- Completamento del quadrato di tre parabole
- Due forme per trovare l’equazione
- Numero ottimale di lampadine per il massimo profitto
- Prezzo di massimo profitto per i tagliaerba
- Prezzo di massimo profitto per le bistecche di canguro
- Vertice per completamento del quadrato
- Vertice, asse e concavità
13 Radicali ed equazioni irrazionali
- Il radicale e l’esponente frazionario
- Le formule dei minimi quadrati
- Operazioni con i radicali
- Razionalizzare un denominatore binomio
14 Equivalenza e teorema di Pitagora
- Area di un poligono su reticolo con il teorema di Pick
- Area di un triangolo con la formula di Erone
- Area di un triangolo isoscele
- Il triangolo rettangolo con perimetro uguale all’area
- Terne pitagoriche con i cateti consecutivi
15 Similitudine
16 Circonferenza
- Area del cerchio nota la circonferenza
- Area del segmento circolare limitato dal lato dell’esagono
- Area del settore e angolo dalla lunghezza dell’arco
- Area di un segmento circolare da un triangolo equilatero
- Area di un settore circolare
- Area di una corona circolare
- Asse di un segmento in coordinate
- Circonferenza da due tangenti da un punto esterno
- Circonferenza dalla potenza di un punto interno
- Contorno di un segmento circolare limitato dal lato del quadrato
- Conversione fra gradi e radianti
- Conversione gradi-radianti
- Corona fra cerchio inscritto e circoscritto a un esagono regolare
- Corona fra cerchio inscritto e circoscritto a un quadrato
- Corona fra cerchio inscritto e circoscritto a un triangolo equilatero
- Distanza di un punto da una retta
- Il raggio della circonferenza circoscritta
- Lunghezza di un arco dato l’angolo al centro
- Radianti e lunghezza d’arco
- Raggio da angolo al centro e lunghezza dell’arco
- Raggio della circonferenza circoscritta
- Raggio della circonferenza inscritta
- Raggio e angoli da tre archi
- Raggio e corda da un arco
- Triangolo equilatero
- Triangolo rettangolo 30°-60°-90°
- Triangolo rettangolo isoscele 45°-45°-90°
17 Disequazioni irrazionali
18 Fasci di rette
- Esempio — Distanza fissata
- Il fascio a due generatrici
- Il fascio improprio
- Il fascio proprio
- Retta del fascio parallela a una data
- Studio completo di un fascio
19 Luoghi geometrici nel piano cartesiano
- ‘Due rette: forme, parallele, perpendicolari e distanza’
- ‘Retta da due punti: equazione, perpendicolarità e intersezione’
- ‘Retta in forma frazionaria: parallela, perpendicolare e distanza’
- ‘Retta: intersezioni con gli assi, parallela e perpendicolare’
- ‘Rette: intersezione, parallela, perpendicolare e distanza’
- ‘Triangolo: perimetro, retta per due vertici e area’
- Asse di un segmento
- Asse, bisettrici e distanza in un triangolo
- Distanza punto-retta
- Formule di fuoco, vertice e direttrice
- Parabola come luogo da fuoco e direttrice
- Parallela e perpendicolare per un punto
- Punto medio e distanza tra due punti
- Retta per due punti
- Retta per due punti, distanza e punto medio
- Retta, punti, distanze e parabola con vertice massimo
- Rette per i lati di un triangolo
- Triangolo rettangolo nel piano cartesiano
20 Circonferenza nel piano cartesiano
- Circonferenze e parabole assegnate per condizioni
- Equazione da centro e raggio
- Equazione di circonferenza da centro e raggio
- Fascio di circonferenze dipendente da un parametro
- Forma implicita ed esplicita
21 Ellisse
22 Iperbole e funzione omografica
- Iperbole omografica dai due fuochi
- Iperboli traslate e non equilatere
- Trucco della divisione polinomiale
23 Funzioni, linguaggio e proprietà
- Come calcolare l’inversa
- Composizione di due funzioni
- Il polinomio personalizzato
- Insieme immagine di una parabola
- La parabola per tre punti
- Prezzo di massimo guadagno per i pacchi di biscotti
- Prezzo di massimo profitto
- Prezzo di massimo profitto per i deltaplani
- Prezzo di massimo profitto per un prodotto
24 Trasformazioni nel piano cartesiano
- Ellisse con assi inclinati di 45 gradi
- Funzione omografica ruotata di 45 gradi
- Parabola traslata
- Trasformazione da circonferenza a ellisse
- Trasformazioni successive di una parabola
- Trasformazioni successive di una parabola in ordine
25 Funzione esponenziale
- Aria residua di una pompa a vuoto
- Capitalizzazione continua
- Capitalizzazione continua
- Confronto tra frequenze di capitalizzazione
- Crescita continua di una coltura batterica
- Crescita delle vendite di un’azienda
- Crescita di una coltura batterica
- Crescita di una popolazione al tre percento
- Decadimento radioattivo
- Decadimento radioattivo
- Decadimento radioattivo e datazione al carbonio-14
- Deprezzamento di un macchinario
- Equazione esponenziale elementare
- Grafici di due funzioni esponenziali
- Grafico di una funzione esponenziale traslata
- Grafico di y = 2 − 3·2^x
- Interesse composto capitalizzato mensilmente
- Interesse composto contro interesse semplice
- Interesse semplice, composto e continuo
- Legge di Beer-Lambert
- Montante a interesse composto annuale
- Montante con capitalizzazione continua
- Montante con capitalizzazione mensile
- Montante con capitalizzazione semestrale
- Montante con capitalizzazione trimestrale
- Pressione atmosferica con la quota
- Raffreddamento di Newton
- Riscrivere numeri come potenze di 2
- Semplificare un rapporto con le potenze
- Tasso annuo effettivo con capitalizzazione trimestrale
- Tasso annuo effettivo dalla continua
26 Funzione logaritmica
- Calcolo di una espressione logaritmica
- Cambiamento di base da 3 a 7
- Cambiamento di base per un logaritmo in base 4
- Disequazioni con potenze e logaritmi
- Due logaritmi con il cambiamento di base
- Due logaritmi con le proprietà
- Grafico di funzione logaritmica e asintoto (I)
- Grafico di funzione logaritmica e asintoto (II)
- Grafico di funzione logaritmica e asintoto (III)
- La formula del cambio di base
- Le proprietà dei logaritmi
- Logaritmi con il cambiamento di base
- Logaritmo con le proprietà
- Riscrivere espressioni con proprietà di logaritmi ed esponenziali
- Riscrivere espressioni con proprietà di potenze e logaritmi
- Scrivere come un unico logaritmo
- Scrivere espressioni come un solo logaritmo
- Semplificare espressioni con potenze e logaritmi
28 Circonferenza goniometrica e funzioni sin, cos, tan
- Angoli sulla circonferenza goniometrica e giri completi (I)
- Angoli sulla circonferenza goniometrica e giri completi (II)
- Angolo di un piano inclinato
- Archi che differiscono di pi greco
- Archi complementari
- Archi opposti
- Archi supplementari
- Come ridurre un angolo al primo quadrante
- Conversione gradi-radianti (I)
- Conversione gradi-radianti (II)
- Conversione in radianti
- Conversione tra gradi e radianti
- Conversione tra polari e cartesiane
- Da cartesiana a polare di una circonferenza
- Da cartesiane a polari
- Da polari a cartesiane
- Equazione polare della parabola
- Equazioni in coordinate polari
- Esempi applicativi delle inverse
- Funzioni goniometriche da un coseno assegnato
- Grafici di funzioni goniometriche, esponenziale e logaritmica
- Grafici di funzioni sinusoidali
- Grafico di funzioni sinusoidali (I)
- Grafico di funzioni sinusoidali (II)
- Grafico di una funzione tangente
- Identità con arctan
- Identità con secante e tangente
- Identità con secante e tangente
- Identità fondamentale con archi complementari
- La scala appoggiata al muro
- Semplificare con gli archi associati
- Sinusoide, ampiezza, periodo e simmetria
- Trasformazioni di grafici coseno, logaritmo, circonferenza
- Valori con gli archi associati
- Valori di funzioni inverse
- Valori esatti a 210 gradi
- Valori esatti delle funzioni reciproche
- Valori notevoli
29 Formule di addizione, duplicazione, bisezione
- Abbassare il grado: formule di linearizzazione
- Bisezione e duplicazione con coseno negativo
- Come si ricavano le altre formule
- 3
- Esempio: coseno di 15°
- Esempio: coseno di 75°
- Esempio: linearizzare sin⁴α
- 6) con seno e coseno di x
- Formula dell’angolo triplo del coseno
- Formule di bisezione da un valore noto
- Formule di duplicazione da un valore noto
- Formule di duplicazione e bisezione da un valore noto
- Le formule di addizione e sottrazione
- Le formule di bisezione
- Le formule di duplicazione
- Linearizzare sin²α cos²α
- Seno di 105° e coseno di 165°
- Tangente di 22,5°
- Traslazione che trasforma seno in coseno
- Valori esatti con le formule di addizione
30 Formule parametriche, prostaferesi, Werner
- Differenza in prodotto con prostaferesi
- Equazioni lineari in seno e coseno
- Espressione con formule parametriche
- Formule di prostaferesi: da somma a prodotto
- Formule di Werner: da prodotto a somma
- Identità sui tre angoli di un triangolo
- Le formule parametriche
- Prodotti di funzioni goniometriche in somma con Werner
- Prodotto in somma con archi associati e Werner
- Prodotto in somma con Werner
- Quando usare cosa
- Scomporre una somma in prodotto
- Somma di coseni in prodotto (prostaferesi)
- Somme di coseni in prodotto con prostaferesi
31 Equazioni goniometriche
- Definizione e metodo di risoluzione
- Due equazioni lineari elementari in seno e coseno
- Equazione con la formula di duplicazione
- Equazione con prostaferesi
- Equazione di secondo grado in coseno
- Equazione di secondo grado in seno
- Equazione elementare in coseno
- Equazione elementare in coseno
- Equazione in tangente al quadrato
- Equazione lineare con due metodi
- Equazione lineare con il metodo dell’angolo aggiunto
- Equazione lineare in seno e coseno via duplicazione
- Equazione omogenea di secondo grado
- Equazioni e disequazioni goniometriche assortite
- Equazioni goniometriche elementari
- Equazioni goniometriche elementari (I)
- Equazioni goniometriche elementari (II)
- Equazioni riconducibili a omogenee
- Equazioni risolubili per sostituzione
- Metodo dell’angolo aggiunto
- Metodo delle formule parametriche
32 Disequazioni goniometriche
- Disequazione omogenea di secondo grado ricondotta a lineare
- Disequazione riconducibile al coseno
- Il metodo dello studio del segno
- Scomposizione con la duplicazione
33 Trigonometria dei triangoli
- Angolo da tre lati
- Area da due lati e angolo compreso
- Caso ambiguo due triangoli da due lati e un angolo
- Caso ambiguo e raggio del cerchio circoscritto
- Distanze su una circonvallazione circolare (Treegville)
- Elementi di un triangolo dati i tre lati
- Ettagramma, angolo alla punta e lunghezza del tratto
- Formula trigonometrica dell’area
- Lato di un poligono regolare inscritto
- Percorsi sul raccordo anulare
- Risolvere un triangolo con il teorema dei seni
- Risolvere un triangolo con il teorema del coseno
- Somma di due arcotangenti
- Somma di tre arcotangenti
- Teorema dei seni
- Teorema del coseno
- Teorema della corda
- Triangolo da due angoli e un lato
- Trigonometria nei triangoli rettangoli
34 Combinatoria
- Calcolo di coefficienti binomiali
- Coefficiente nello sviluppo di (2x-3y)^12
- Le quattro formule dei foglietti
- Proprietà del coefficiente binomiale
- Sviluppo di (2x-3) alla quinta
- Teorema del binomio di Newton
35 Probabilità avanzata
- Complementare e unione di eventi
- Formula del prodotto
- Formula della distribuzione binomiale
- Teorema di Bayes
- Valore atteso
36 Numeri complessi
- Equazione di secondo grado e radici n-esime in C
- Equazione di secondo grado in C
- Equazioni e radici n-esime nel campo complesso
- Equazioni in campo complesso
- Espressione complessa con potenze in forma esponenziale
- Forma esponenziale e potenze di numeri complessi
- Forma trigonometrica e argomento
- Forma trigonometrica ed esponenziale
- Identità di Eulero e forma esponenziale
- Identità di Newton per le somme di potenze
- Le radici cubiche di 8
- Operazioni con due numeri complessi
- Operazioni e trasformazione con due numeri complessi
- Operazioni in forma cartesiana
- Potenza con De Moivre
- Prodotto e potenza in forma esponenziale
- Proprietà di modulo e logaritmo complesso
- Radici n-esime di un numero complesso
- Radici quarte di -16
- Relazioni di Vieta generalizzate
- Serie geometrica complessa
- Somma dei quadrati delle radici
- Somma e prodotto delle radici
- Teorema fondamentale dell’algebra
37 Geometria analitica nello spazio
- Componente parallela e perpendicolare
- Distanza punto-piano
- Distanza punto-retta
- Distanza punto-retta
- Distanza tra due rette sghembe
- Distanza, punto medio e baricentro
- Equazione del piano
- Equazione della sfera
- Esempio - distanza tra due punti
- Fascio improprio
- Fascio improprio parallelo a un piano
- Fascio proprio
- Fascio proprio per una retta
- Forma cartesiana della retta
- Forma parametrica della retta
- Piani, retta e sfera nello spazio
- Piano per punto e normale
- Piano per tre punti
- Piano per tre punti
- Piano tangente alla sfera
- Posizione sfera-piano
- Posizioni reciproche retta-piano e angoli
- Prodotto scalare
- Prodotto vettoriale
- Raggio della sezione
- Retta e piano intersecante con sezione sferica
- Retta per due punti e scomposizione di un vettore
- Rette sghembe distanza e piano parallelo
- Sfera centro raggio e piano tangente
- Sfera e piano
- Sfera e piano sezione e piano tangente
- Versore
- Vettore, modulo e punto medio
38 Geometria sintetica nello spazio
- Angolo del settore di sviluppo di un cono
- Angolo di sviluppo del cono
- Calotta sferica e cerchio sezione
- Cilindro equilatero inscritto in una sfera
- Cilindro inscritto in un cono
- Cilindro retto da relazione fra altezza e raggio
- Cilindro retto superficie e volume
- Cono - volume, superficie e sviluppo
- Cono dallo sviluppo del settore laterale
- Cono equilatero
- Cono retto da relazioni fra altezza raggio e apotema
- Cono retto superficie e volume
- Cono, angolo assiale e cilindro inscritto
- Cubo da superficie totale
- Cubo tagliato, cubottaedro e tetraedro regolare
- Dimensioni di un parallelepipedo da diagonale e uno spigolo
- Il cilindro
- Il tetraedro regolare
- Parallelepipedo a base quadrata da superficie e diagonale
- Parallelepipedo con dimensioni proporzionali e somma degli spigoli
- Parallelepipedo rettangolo
- Parallelepipedo rettangolo con spigolo medio proporzionale
- Piramide con spigolo laterale perpendicolare alla base
- Piramide quadrangolare regolare da somma spigolo-altezza
- Piramide quadrata da lato e apotema di faccia
- Piramide regolare a base triangolare
- Piramide retta a base quadrata
- Piramide retta a base quadrata volume superficie e angoli
- Piramide sezionata da un piano parallelo
- Prisma esagonale regolare
- Prisma retto a base rombo
- Prisma retto a base rombo dalle diagonali
- Prisma retto a base triangolo isoscele
- Rapporti di similitudine tra solidi
- Sfera circoscritta a un cubo
- Sfera inscritta in un cilindro equilatero
- Sfera inscritta in un cubo
- Sfera inscritta in un cubo rapporto dei volumi
- Sfera superficie e volume
- Sfere inscritta e circoscritta a un tetraedro regolare
- Solido generato da un triangolo equilatero attorno a un lato
- Superficie del solido generato da un triangolo rettangolo attorno all’ipotenusa
- Superficie e volume della sfera
- Sviluppo piano del cono
- Tetraedro regolare
- Tetraedro regolare superficie e volume
- Tronco di cono superficie e volume
- Tronco di piramide a base quadrata
- Tronco di piramide a basi quadrate
- Volume di un parallelepipedo dalle aree delle facce
- Volume di una piramide da superficie totale e rapporto
- Volume e superficie del cono
- Volume e superficie del prisma
- Volume, superficie e apotema della piramide
39 Successioni numeriche
- Acqua residua in un serbatoio
- Dai numeri di Lucas ai Fibonacci
- Deprezzamento come progressione geometrica
- Deprezzamento di un’automobile
- 3
- Interesse composto come progressione geometrica
- La scala di Theon per approssimare radice di due
- Le mosse della Torre di Hanoi
- Le proporzioni di Galileo con i numeri dispari
- Limite di una successione razionale
- PA e PG a confronto
- Prodotto di Fibonacci e Lucas
- Rimpilare le palle di cannone
- Somma dei primi n termini di una PA
- Somma dei primi n termini di una PG
- Somma di Fibonacci di indice dispari
- Somma di Fibonacci di indice pari
- Somma di Fibonacci vicini da un numero di Lucas
- Somma di una serie geometrica
- Somma di una serie geometrica infinita
- Termine e somma di una progressione aritmetica
- Termine e somma di una progressione geometrica
- Termine e somma di una progressione geometrica
40 Limiti di funzioni
- Differenza di una radice e un termine lineare
- Forme determinate
- Funzioni equivalenti
- Il trucco delle potenze A elevato a B
- Limite notevole con il coseno
- Limite notevole del seno
- Limiti notevoli
41 Continuità e discontinuità
- Algoritmo di bisezione
- Calcolo di radici con Newton
- Il metodo di Newton-Raphson
- Iterazione di Newton per il reciproco
- Newton su x³−3x+1
- Radice cubica di 10 con Newton
42 Derivate
- Catalogo di derivate composte
- Costo marginale da costo totale
- Il metodo del diagramma a cerchi
- Il polinomio di Taylor
- Linearità, prodotto e quoziente
- Maclaurin di tan x
- Polinomio di Maclaurin di e alla 2x
- Polinomio di Taylor di ln x in x₀=1
- Retta tangente e retta normale
- Ricavo marginale nullo
- Sviluppi di Maclaurin notevoli
- Tabella delle derivate fondamentali
44 Integrale
46 Equazioni differenziali
- Esempio svolto y’ − y = eˣ
- Esercizio svolto — y’ − y = eˣ
- Formula risolutiva delle equazioni lineari del primo ordine
47 Distribuzioni di probabilità
- Aritmetica modulare - somma, prodotto, potenza
- Congruenze modulo n
- Distribuzione binomiale
- Funzione di ripartizione (cumulata)
- Media e varianza di una binomiale
- Media, varianza e deviazione standard
- Piccolo teorema di Fermat e teorema di Eulero
- RSA con p=5 e q=7
- RSA giocattolo - p=11, q=13
Skill — Using formulae.
Featured in chapters
01·02·04·06·07·08·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·44·46·47
Linked atoms
514 linked atoms.
Numbers and fundamental operations
- Centered triangular number
- Fermat’s little theorem
- Finding the unknown base
- Octahedral number
- Pentagonal number
- Perfect number from Euclid’s formula
- Properties of powers
- Pythagorean triple from Euclid’s formula
- Recognizing a triangular number
- Simplifying powers with the same base
- Tetrahedral number
- Wilson’s theorem
Literal calculus
- Cube of a binomial
- Negative exponents
- Simplifying powers
- Simplifying powers with the same base
- Square of a binomial
- Sum times difference
- Tartaglia’s triangle
- The formulas for special products
- The method of shapes
- The triangle diagram for the square of a trinomial
Percentages
- Absolute error and relative error
- Accumulated value of a loan
- Accumulated value over eighteen months
- Bank commercial discount
- Capital from the simple interest
- Compound interest
- Discount and mark-up
- Finding the interest rate
- Loan at bank discount
- Percentage increase and decrease
- Periodic rate and fractional capitalisation
- Present value and discount
- Present value with rational discount
- Principal from the repayment
- Recovering the simple-interest rate
- Simple interest
- Simple interest on a loan
- Simple-interest maturity value of a deposit
- Time to accrue a simple interest
- Time to earn a given interest
- VAT and how to strip it out
Systems of linear equations
- Cramer’s rule
- Inverse of a 2x2 matrix
- Row-by-column product
- Square and inverse of a 2x2 matrix
- The determinant of a 2x2 matrix
Set theory
Foundations of Euclidean geometry
Quadratic and fractional equations
- A quadratic solved by the formula
- Cardano in action
- Cardano’s formula
- How a continued fraction is computed
- Solving by completing the square
- Sum and product of the roots
- Sum and product of the roots
- The fractal star
- The quadratic formula and the discriminant
- The spiral of similar triangles
- Two numbers with given sum and product
- Useful identities with sum and product
Inequalities
The parabola
- Completing the square of three parabolas
- Completing the square of two parabolas
- Completing the square with fractional coefficients
- Optimal number of light bulbs for maximum profit
- Profit-maximizing price for kangaroo steaks
- Profit-maximizing price for lawnmowers
- Two forms for finding the equation
- Vertex by completing the square
- Vertex, axis and concavity
Surds and irrational equations
- Operations with radicals
- Rationalising a binomial denominator
- The least-squares formulae
- The radical and the fractional exponent
Equivalence and Pythagoras’ theorem
- Area of a lattice polygon with Pick’s theorem
- Area of a triangle with Heron’s formula
- Area of an isosceles triangle
- Pythagorean triples with consecutive legs
- The right triangle whose perimeter equals its area
Similarity
Circle (Euclidean geometry)
- Annulus between the incircle and circumcircle of a regular hexagon
- Annulus between the incircle and circumcircle of a square
- Annulus between the incircle and circumcircle of an equilateral triangle
- Area of a circle given its circumference
- Area of a circular sector
- Area of a circular segment from an equilateral triangle
- Area of an annulus
- Area of the circular segment bounded by a hexagon’s side
- Circle from two tangents from an external point
- Circumference from the power of an interior point
- Conversion between degrees and radians
- Degree-radian conversion
- Distance of a point from a line
- Equilateral triangle
- Isosceles right triangle 45°-45°-90°
- Length of an arc from the central angle
- Perimeter of a circular segment bounded by a square’s side
- Perpendicular bisector of a segment in coordinates
- Radians and arc length
- Radius and angles from three arcs
- Radius and chord from an arc
- Radius from central angle and arc length
- Radius of the circumscribed circle
- Radius of the inscribed circle
- Right triangle 30°-60°-90°
- Sector area and angle from the arc length
- The radius of the circumscribed circle
Irrational inequalities
Pencils of lines
- Complete study of a pencil
- Example — Fixed distance
- Pencil line parallel to a given one
- The improper pencil
- The pencil with two generators
- The proper pencil
Geometric loci in the Cartesian plane
- ‘Line in fractional form: parallel, perpendicular and distance’
- ‘Line through two points: equation, perpendicularity and intersection’
- ‘Line: axis intercepts, parallel and perpendicular’
- ‘Lines: intersection, parallel, perpendicular and distance’
- ‘Triangle: perimeter, line through two vertices and area’
- ‘Two lines: forms, parallel, perpendicular and distance’
- Bisector, angle bisectors and distance in a triangle
- Distance from a point to a line
- Formulae for focus, vertex and directrix
- Line through two points
- Line through two points, distance and midpoint
- Line, points, distances and a parabola with maximum vertex
- Lines through the sides of a triangle
- Midpoint and distance between two points
- Parabola as a locus from focus and directrix
- Parallel and perpendicular through a point
- Perpendicular bisector of a segment
- Right triangle in the Cartesian plane
The circle in the Cartesian plane
- A family of circles depending on a parameter
- Circle equation from centre and radius
- Circles and parabolas assigned by conditions
- Equation from centre and radius
- Implicit and explicit form
Ellipse
Hyperbola and homographic function
- Homographic hyperbola from its two foci
- The polynomial division trick
- Translated and non-rectangular hyperbolas
Functions: language and properties
- Composition of two functions
- How to compute the inverse
- Price of maximum profit
- Price of maximum profit for hang gliders
- Price of maximum profit for packs of biscuits
- Profit-maximizing price for a product
- Range of a parabola
- The parabola through three points
- The personalized polynomial
Transformations in the Cartesian plane
- Ellipse with axes tilted by 45 degrees
- Homographic function rotated by 45 degrees
- Successive transformations of a parabola
- Successive transformations of a parabola in order
- Transformation from circle to ellipse
- Translated parabola
Exponential function
- Accumulated value with annual compound interest
- Air left in a vacuum pump
- Annual effective rate from the continuous rate
- Atmospheric pressure with altitude
- Beer-Lambert law
- Comparison of compounding frequencies
- Compound interest compounded monthly
- Compound interest versus simple interest
- Continuous compounding
- Continuous compounding
- Continuous growth of a bacterial culture
- Depreciation of a machine
- Effective annual rate with quarterly compounding
- Elementary exponential equation
- Graph of a translated exponential function
- Graph of y = 2 − 3·2^x
- Graphs of two exponential functions
- Growth of a bacterial culture
- Growth of a company’s sales
- Maturity value with continuous compounding
- Maturity value with monthly compounding
- Maturity value with quarterly compounding
- Maturity value with semiannual compounding
- Newton’s cooling
- Population growth at three percent
- Radioactive decay
- Radioactive decay
- Radioactive decay and carbon-14 dating
- Rewriting numbers as powers of 2
- Simple, compound and continuous interest
- Simplifying a ratio with powers
Logarithmic function
- Change of base for a base-4 logarithm
- Change of base from 3 to 7
- Evaluating a logarithmic expression
- Inequalities with powers and logarithms
- Logarithm using the properties
- Logarithmic function graph and asymptote (I)
- Logarithmic function graph and asymptote (II)
- Logarithmic function graph and asymptote (III)
- Logarithms via change of base
- Rewriting expressions with logarithm and exponent rules
- Rewriting expressions with power and logarithm properties
- Simplifying expressions with powers and logarithms
- The change-of-base formula
- The properties of logarithms
- Two logarithms using the properties
- Two logarithms with change of base
- Writing as a single logarithm
- Writing expressions as a single logarithm
The unit circle and the functions sine, cosine, tangent
- Angle of an inclined plane
- Angles on the unit circle and complete turns (I)
- Angles on the unit circle and complete turns (II)
- Arcs differing by pi
- Complementary arcs
- Conversion between degrees and radians
- Conversion between polar and Cartesian
- Conversion to radians
- Degree–radian conversion (I)
- Degree–radian conversion (II)
- Equations in polar coordinates
- Exact values at 210 degrees
- Exact values of the reciprocal functions
- From Cartesian to polar
- From Cartesian to polar for a circle
- From polar to Cartesian
- Fundamental identity with complementary arcs
- Graph of a tangent function
- Graphing sinusoidal functions (I)
- Graphing sinusoidal functions (II)
- Graphs of sinusoidal functions
- Graphs of trigonometric, exponential and logarithmic functions
- How to reduce an angle to the first quadrant
- Identity with arctan
- Identity with secant and tangent
- Identity with secant and tangent
- Notable values
- Opposite arcs
- Polar equation of the parabola
- Simplifying with associated arcs
- Sinusoid, amplitude, period and symmetry
- Supplementary arcs
- The ladder leaning against the wall
- Transformations of cosine, logarithm and circle graphs
- Trig functions from a given cosine
- Values of inverse functions
- Values using associated arcs
- Worked examples of the inverses
Addition, double-angle and half-angle formulae
- Bisection and Duplication with Negative Cosine
- Double-angle formulae from a known value
- Duplication and Bisection Formulas from a Known Value
- 3
- Exact values with the addition formulae
- Example: cosine of 15°
- Example: cosine of 75°
- Example: linearising sin⁴α
- 6) via sine and cosine of x
- Half-angle formulae from a known value
- How the other formulae are derived
- Linearising sin²α cos²α
- Lowering the degree: linearisation formulae
- Sine of 105° and cosine of 165°
- Tangent of 22.5°
- The addition and subtraction formulae
- The bisection formulae
- The duplication formulae
- Translation turning sine into cosine
- Triple-angle formula for the cosine
Parametric, sum-to-product and Werner formulae
- Difference to product with sum-to-product formulae
- Expression with parametric formulae
- Factorising a sum into a product
- Identity on the three angles of a triangle
- Linear equations in sine and cosine
- Product into a Sum with Associated Angles and Werner
- Product to sum with Werner
- Products of Trigonometric Functions into Sums with Werner Formulas
- Sum of Cosines into a Product (Sum-to-Product)
- Sum-to-product formulae: from sum to product
- Sums of Cosines into Products with Sum-to-Product Formulas
- The parametric formulae
- Werner formulae: from product to sum
- When to use what
Trigonometric equations
- Assorted trigonometric equations and inequalities
- Definition and solution method
- Elementary equation in cosine
- Elementary equation in cosine
- Elementary trigonometric equations
- Elementary trigonometric equations (I)
- Elementary trigonometric equations (II)
- Equation in tangent squared
- Equation using the double-angle formula
- Equation with sum-to-product formulae
- Equations reducible to homogeneous ones
- Equations solvable by substitution
- Linear equation by the added-angle method
- Linear equation in sine and cosine via double-angle
- Linear equation with two methods
- Quadratic equation in cosine
- Second-degree equation in sine
- Second-degree homogeneous equation
- The auxiliary-angle method
- The parametric-formulae method
- Two elementary equations in sine and cosine
Trigonometric inequalities
- Factorisation with the double-angle formula
- Homogeneous second-degree inequality reduced to linear form
- Inequality reducible to the cosine
- The sign-study method
Triangle trigonometry
- Ambiguous case — two triangles from two sides and an angle
- Ambiguous case and circumradius
- Angle from three sides
- Area from two sides and the included angle
- Distances on a circular ring road (Treegville)
- Elements of a triangle given its three sides
- Heptagram, point angle and stroke length
- Path lengths on the ring road
- Side of an inscribed regular polygon
- Solving a triangle with the law of cosines
- Solving a triangle with the sine rule
- Sum of three arctangents
- Sum of two arctangents
- The chord theorem
- The law of cosines
- The sine rule
- Triangle from two angles and a side
- Trigonometric formula for the area
- Trigonometry in right-angled triangles
Combinatorics
- Calculating binomial coefficients
- Coefficient in the expansion of (2x-3y)^12
- Expansion of (2x-3) to the fifth
- Newton’s binomial theorem
- Properties of the binomial coefficient
- The four slip formulae
Advanced probability
- Bayes’ theorem
- Complement and union of events
- Expected value
- Formula of the binomial distribution
- Product formula
Complex numbers
- Complex expression with powers in exponential form
- Complex geometric series
- Equations and nth roots in the complex field
- Equations in the complex field
- Euler’s identity and exponential form
- Exponential form and powers of complex numbers
- Fourth roots of -16
- Generalised Vieta’s relations
- Newton’s identities for power sums
- nth roots of a complex number
- Operations and transformation with two complex numbers
- Operations in Cartesian form
- Operations with two complex numbers
- Power with De Moivre
- Product and power in exponential form
- Properties of modulus and complex logarithm
- Quadratic equation and nth roots in C
- Quadratic equation in C
- Sum and product of the roots
- Sum of the squares of the roots
- The cube roots of 8
- The fundamental theorem of algebra
- Trigonometric and exponential form
- Trigonometric form and argument
Analytic geometry in space
- Cartesian form of the line
- Distance between two skew lines
- Distance, midpoint and centroid
- Equation of the plane
- Equation of the sphere
- Example - distance between two points
- Improper pencil
- Improper pencil parallel to a plane
- Line and plane intersecting with spherical section
- Line through two points and decomposition of a vector
- Parallel and perpendicular component
- Parametric form of the line
- Plane through a point with given normal
- Plane through three points
- Plane through three points
- Planes, line and sphere in space
- Point-line distance
- Point-line distance
- Point-plane distance
- Proper pencil
- Proper pencil through a line
- Radius of the section
- Relative positions of line and plane and angles
- Scalar product
- Skew lines distance and parallel plane
- Sphere and plane
- Sphere and plane section and tangent plane
- Sphere centre radius and tangent plane
- Sphere-plane position
- Tangent plane to the sphere
- Unit vector
- Vector product
- Vector, magnitude and midpoint
Synthetic geometry in space
- Angle of a cone’s development sector
- Box dimensions from the diagonal and one edge
- Box with proportional dimensions and given edge sum
- Cone - volume, surface area and net
- Cone from its lateral development sector
- Cone, axial angle and inscribed cylinder
- Cube from total surface area
- Cylinder inscribed in a cone
- Development angle of the cone
- Equilateral cone
- Equilateral cylinder inscribed in a sphere
- Frustum of a cone: surface and volume
- Frustum of a pyramid with a square base
- Frustum of a square pyramid
- Inscribed and circumscribed spheres of a regular tetrahedron
- Planar development of the cone
- Pyramid cut by a parallel plane
- Pyramid volume from total surface and ratio
- Pyramid with a lateral edge perpendicular to the base
- Ratios of similarity between solids
- Rectangular box with a mean-proportional edge
- Rectangular parallelepiped
- Regular hexagonal prism
- Regular square pyramid from edge-height sum
- Regular tetrahedron
- Regular tetrahedron surface and volume
- Regular triangular pyramid
- Right cone from height, radius and slant relations
- Right cone surface and volume
- Right cylinder from a height-radius relation
- Right cylinder surface and volume
- Right prism with a rhombus base
- Right prism with an isosceles-triangle base
- Right prism with rhombus base from its diagonals
- Right pyramid with a square base
- Right pyramid with square base volume surface and angles
- Solid generated by an equilateral triangle about one side
- Sphere circumscribed about a cube
- Sphere inscribed in a cube
- Sphere inscribed in a cube: volume ratio
- Sphere inscribed in an equilateral cylinder
- Sphere surface and volume
- Spherical cap and section circle
- Square pyramid from edge and face apothem
- Square-based box from surface and diagonal
- Surface area and volume of the sphere
- Surface of the solid generated by a right triangle about its hypotenuse
- The cylinder
- The regular tetrahedron
- Truncated cube, cuboctahedron and regular tetrahedron
- Volume and surface area of the cone
- Volume and surface area of the prism
- Volume of a box from its face areas
- Volume, surface area and slant height of the pyramid
Numerical sequences
- AP and GP compared
- Compound interest as a geometric progression
- Depreciation as a geometric progression
- Depreciation of a car
- From Lucas numbers to Fibonacci numbers
- Galileo’s ratios with the odd numbers
- Limit of a rational sequence
- Product of Fibonacci and Lucas numbers
- Restacking the cannonballs
- Sum of a geometric series
- Sum of an infinite geometric series
- Sum of even-indexed Fibonacci numbers
- Sum of neighboring Fibonacci numbers gives a Lucas number
- Sum of odd-indexed Fibonacci numbers
- Sum of the first n terms of a GP
- Sum of the first n terms of an AP
- Term and sum of a geometric progression
- Term and sum of a geometric progression
- Term and sum of an arithmetic progression
- The moves of the Tower of Hanoi
- Theon’s ladder to approximate the square root of two
- Water left in a tank
- 3
Limits of Functions
- Determinate forms
- Difference of a root and a linear term
- Equivalent functions
- Notable limit of the sine
- Notable limit with the cosine
- Standard limits
- The trick for powers A to the B
Continuity and discontinuity
- Computing roots with Newton
- Cube root of 10 with Newton
- Newton iteration for the reciprocal
- Newton on x³−3x+1
- The bisection algorithm
- The Newton-Raphson method
Derivatives
- Catalogue of composite derivatives
- Linearity, product and quotient
- Maclaurin of tan x
- Maclaurin polynomial of e to the 2x
- Marginal cost from total cost
- Standard Maclaurin expansions
- Table of fundamental derivatives
- Tangent line and normal line
- Taylor polynomial of ln x at x₀=1
- The circle diagram method
- The Taylor polynomial
- Zero marginal revenue
Integral
Differential equations
- Solution formula for first-order linear equations
- Worked example y’ − y = eˣ
- Worked exercise — y’ − y = eˣ