Limiti notevoli e funzioni equivalenti

Alcuni limiti fondamentali — come $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ — si incontrano continuamente e vanno conosciuti a memoria: sono i limiti notevoli. Da essi si ricava una lista di funzioni equivalenti, approssimazioni che si possono sostituire dentro un limite per semplificare i calcoli, a patto di rispettarne le condizioni d’uso.

• Limiti notevoli
• Funzioni equivalenti
• Esempi con le funzioni equivalenti

Some fundamental limits — such as $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ — come up again and again and must be known by heart: these are the standard limits. From them one derives a list of equivalent functions, approximations that can be substituted inside a limit to simplify calculations, provided their conditions of use are respected.

• Standard limits
• Equivalent functions
• Examples with equivalent functions

Alcuni limiti ricorrono così di frequente da meritare un nome proprio e la memorizzazione: sono i limiti notevoli.

Proprietà — Limiti notevoli

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} &= 1 & \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} &= \frac{1}{2} \\[4pt] \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} &= 1 & \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} &= 1 \\[4pt] \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha - 1}{x} &= \alpha & \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x &= e \end{aligned}$$

Ciascuno di questi limiti si presenta, prima del calcolo, come una forma indeterminata (i primi cinque come $0/0$, l’ultimo come $1^\infty$): il loro valore va quindi imparato e riconosciuto per sciogliere velocemente casi analoghi.

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Competenze: Usare formule

Some limits recur so frequently that they deserve a name of their own and memorisation: these are the standard limits.

Property — Standard limits

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} &= 1 & \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} &= \frac{1}{2} \\[4pt] \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} &= 1 & \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} &= 1 \\[4pt] \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha - 1}{x} &= \alpha & \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x &= e \end{aligned}$$

Each of these limits appears, before the calculation, as an indeterminate form (the first five as $0/0$, the last as $1^\infty$): their value must therefore be learnt and recognised in order to resolve similar cases quickly.

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Dai limiti notevoli si ricava una lista di approssimazioni comode. Usiamo il simbolo $\square$ per indicare qualsiasi quantità che tende a zero (può essere $x$, oppure $x^2$, oppure $\sin x$, o qualunque espressione infinitesima).

In sintesi — Lista delle funzioni equivalenti

Quando $\square\to 0$:

\sin(\square) &\sim \square \\ \cos(\square) &\sim 1 - \frac{\square^2}{2} \quad\text{(e quindi } 1-\cos(\square)\sim \square^2/2\text{)} \\ \tan(\square) &\sim \square \\ e^{\square} &\sim 1 + \square \\ (1+\square)^k &\sim 1 + k\,\square \quad\text{(anche per } k \text{ frazionario o negativo)} \\ \ln(1+\square) &\sim \square \end{aligned}$$ **Dentro $\square$ si può mettere qualsiasi quantità che tende a zero.** Per esempio, se $x\to +\infty$ si può porre $\square = 1/x$ (che tende a $0$) e scrivere $\sin(1/x)\sim 1/x$. Gli argomenti di $\sin$ e $\cos$ devono essere in radianti.

Osservazione — Quando si può sostituire e quando no

Queste sostituzioni sono lecite “dentro” un limite purché la funzione sostituita compaia al numeratore o al denominatore come fattore, non come addendo sommato ad altri termini dello stesso ordine. In quest’ultimo caso serve l’approssimazione al secondo ordine, per esempio $e^\square \sim 1+\square+\square^2/2$.

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From the standard limits one obtains a list of handy approximations. We use the symbol $\square$ to denote any quantity that tends to zero (it may be $x$, or $x^2$, or $\sin x$, or any infinitesimal expression).

In summary — List of equivalent functions

When $\square\to 0$:

\sin(\square) &\sim \square \\ \cos(\square) &\sim 1 - \frac{\square^2}{2} \quad\text{(e quindi } 1-\cos(\square)\sim \square^2/2\text{)} \\ \tan(\square) &\sim \square \\ e^{\square} &\sim 1 + \square \\ (1+\square)^k &\sim 1 + k\,\square \quad\text{(anche per } k \text{ frazionario o negativo)} \\ \ln(1+\square) &\sim \square \end{aligned}$$ **Inside $\square$ one may place any quantity that tends to zero.** For example, if $x\to +\infty$ one may set $\square = 1/x$ (which tends to $0$) and write $\sin(1/x)\sim 1/x$. The arguments of $\sin$ and $\cos$ must be in radians.

Remark — When substitution is allowed and when it is not

These substitutions are legitimate “inside” a limit provided the substituted function appears in the numerator or denominator as a factor, not as a term added to other terms of the same order. In the latter case the second-order approximation is needed, for example $e^\square \sim 1+\square+\square^2/2$.

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Esempio — Sostituzione al primo ordine

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{3x}{x} = 3.$ Qui $\sin(3x)\sim 3x$ (con $\square = 3x\to 0$), sostituzione lecita perché $\sin(3x)$ è un fattore.

Esempio — Quando serve il secondo ordine

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}.$ L’approssimazione $e^x-1\approx x$ non basta: darebbe $0/0$, perché $e^x-1-x$ è una somma in cui il termine di primo ordine si cancella. Serve il secondo ordine: $e^x \approx 1+x+\dfrac{x^2}{2}$, da cui $e^x-1-x\approx \dfrac{x^2}{2}$, e il limite vale $\dfrac{1}{2}$.

Il confronto tra i due esempi mostra la regola pratica: si sostituisce al primo ordine quando la funzione è un fattore isolato; si sale al secondo ordine quando i termini di primo ordine si elidono in una somma.

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Example — First-order substitution

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{3x}{x} = 3.$ Here $\sin(3x)\sim 3x$ (with $\square = 3x\to 0$), a legitimate substitution because $\sin(3x)$ is a factor.

Example — When the second order is needed

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}.$ The approximation $e^x-1\approx x$ is not enough: it would give $0/0$, because $e^x-1-x$ is a sum in which the first-order term cancels. The second order is needed: $e^x \approx 1+x+\dfrac{x^2}{2}$, whence $e^x-1-x\approx \dfrac{x^2}{2}$, and the limit is $\dfrac{1}{2}$.

Comparing the two examples reveals the practical rule: substitute at first order when the function is an isolated factor; go up to second order when the first-order terms cancel out in a sum.

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