Coordinate, punti, distanze

Nello spazio ogni punto è individuato da una terna ordinata $(x,y,z)$. Da qui si estendono, quasi senza cambiamenti, le formule del piano: la distanza tra due punti (Pitagora applicato due volte), il punto medio di un segmento e il baricentro di un triangolo.

• Coordinate cartesiane nello spazio
• Distanza, punto medio e baricentro
• Esempio - distanza tra due punti

In space every point is identified by an ordered triple $(x,y,z)$. From here the formulae of the plane extend, almost unchanged: the distance between two points (Pythagoras applied twice), the midpoint of a segment and the centroid of a triangle.

• Cartesian coordinates in space
• Distance, midpoint and centroid
• Example - distance between two points

Fino ad ora abbiamo lavorato nel piano cartesiano: due assi, due coordinate. Passando allo spazio aggiungiamo un terzo asse: tre rette $x,y,z$ perpendicolari tra loro, orientate secondo la regola della mano destra (pollice $\to x$, indice $\to y$, medio $\to z$). Ogni punto è allora individuato da una terna ordinata di numeri.

Definizione — Coordinate cartesiane nello spazio

Nel sistema di coordinate cartesiane nello spazio ogni punto $P$ è identificato da una terna ordinata $(x_P, y_P, z_P)$.

Le tre coordinate si leggono proiettando il punto sui tre assi, esattamente come nel piano se ne leggevano due.

Un punto $P$ nello spazio e le sue tre coordinate, lette proiettando sugli assi.

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Coordinate cartesiane · Piano cartesiano
Competenze: Geometria analitica

Until now we have worked in the Cartesian plane: two axes, two coordinates. Moving to space we add a third axis: three lines $x,y,z$ mutually perpendicular, oriented according to the right-hand rule (thumb $\to x$, index finger $\to y$, middle finger $\to z$). Every point is then identified by an ordered triple of numbers.

Definition — Cartesian coordinates in space

In the system of Cartesian coordinates in space every point $P$ is identified by an ordered triple $(x_P, y_P, z_P)$.

The three coordinates are read by projecting the point onto the three axes, exactly as two of them were read in the plane.

A point $P$ in space and its three coordinates, read by projecting onto the axes.

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Topics: Analytic geometry in space
Concepts: Cartesian coordinates · Cartesian plane
Skills: Analytic geometry

Le formule del piano si estendono aggiungendo semplicemente la terza coordinata.

Proprietà — Distanza, punto medio, baricentro

Dati $P(x_P,y_P,z_P)$ e $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$:

• Distanza: $d(P,Q) = \sqrt{(x_Q-x_P)^2 + (y_Q-y_P)^2 + (z_Q-z_P)^2}$  (Pitagora applicato due volte).
• Punto medio: $M = \left(\dfrac{x_P+x_Q}{2},\;\dfrac{y_P+y_Q}{2},\;\dfrac{z_P+z_Q}{2}\right)$.
• Baricentro di un triangolo $ABC$: $G = \left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\;\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3},\;\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.

La formula della distanza è la vera novità: applicando il teorema di Pitagora prima nel piano orizzontale e poi in verticale si ottiene la radice della somma dei quadrati delle tre differenze di coordinate.

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Baricentro · Coordinate cartesiane · Distanza tra punti · Piano cartesiano · Punto medio
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

The formulae of the plane extend simply by adding the third coordinate.

Property — Distance, midpoint, centroid

Given $P(x_P,y_P,z_P)$ and $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$:

• Distance: $d(P,Q) = \sqrt{(x_Q-x_P)^2 + (y_Q-y_P)^2 + (z_Q-z_P)^2}$  (Pythagoras applied twice).
• Midpoint: $M = \left(\dfrac{x_P+x_Q}{2},\;\dfrac{y_P+y_Q}{2},\;\dfrac{z_P+z_Q}{2}\right)$.
• Centroid of a triangle $ABC$: $G = \left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\;\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3},\;\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.

The distance formula is the real novelty: applying Pythagoras’ theorem first in the horizontal plane and then vertically gives the square root of the sum of the squares of the three coordinate differences.

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Topics: Analytic geometry in space
Concepts: Centroid · Cartesian coordinates · Distance between points · Cartesian plane · Midpoint
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Esempio — Vettore e distanza tra due punti

Siano $A(0;3;4)$ e $B(-1;-1;-1)$. Il vettore che va da $A$ a $B$ è $\vec{AB} = B-A = (-1;-4;-5).$ La sua lunghezza — cioè la distanza tra i due punti — è $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2+(-5)^2} = \sqrt{1+16+25} = \sqrt{42}\approx 6{,}48.$

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Distanza tra punti · Piano cartesiano · Vettore
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

Example — Vector and distance between two points

Let $A(0;3;4)$ and $B(-1;-1;-1)$. The vector going from $A$ to $B$ is $\vec{AB} = B-A = (-1;-4;-5).$ Its length — that is, the distance between the two points — is $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2+(-5)^2} = \sqrt{1+16+25} = \sqrt{42}\approx 6{,}48.$

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