Funzione omografica

La funzione omografica $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ è il volto “funzionale” dell’iperbole equilatera: il suo grafico è infatti un’iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani. Si imparano a leggere i suoi asintoti e il centro di simmetria direttamente dai coefficienti, si studia un esempio completo con le intersezioni con gli assi e si vede il trucco della divisione tra polinomi per riconoscerne al volo la struttura.

• Definizione di funzione omografica
• Asintoti e centro di simmetria
• Esempio — studio di una funzione omografica
• Trucco della divisione polinomiale

The homographic function $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ is the “functional” face of the rectangular hyperbola: its graph is in fact a rectangular hyperbola with asymptotes parallel to the Cartesian axes. One learns to read off its asymptotes and centre of symmetry directly from the coefficients, studies a complete example with the intersections with the axes, and sees the trick of the division between polynomials to recognise its structure at a glance.

• Definition of the homographic function
• Asymptotes and centre of symmetry
• Example — studying a homographic function
• The polynomial division trick

La proporzionalità inversa $y=\tfrac{k}{x}$ è il caso più semplice di una famiglia più ampia di funzioni.

Definizione — Funzione omografica

Si chiama funzione omografica una funzione della forma $y = \frac{ax+b}{cx+d}, \qquad c \ne 0,\ ad - bc \ne 0.$ Il suo grafico è un’iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani (cioè una “iperbole equilatera traslata”).

Le due condizioni sui coefficienti sono essenziali: se fosse $c=0$ avremmo una retta, e se fosse $ad-bc=0$ la funzione sarebbe costante.

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Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Funzione omografica · Iperbole equilatera
Funzioni: Funzione omografica · Iperbole

The inverse proportionality $y=\tfrac{k}{x}$ is the simplest case of a broader family of functions.

Definition — Homographic function

A homographic function is a function of the form $y = \frac{ax+b}{cx+d}, \qquad c \ne 0,\ ad - bc \ne 0.$ Its graph is a rectangular hyperbola with asymptotes parallel to the Cartesian axes (that is, a “translated rectangular hyperbola”).

The two conditions on the coefficients are essential: if $c=0$ we would have a line, and if $ad-bc=0$ the function would be constant.

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Concepts: Homographic function · Rectangular hyperbola
Functions: Homographic function · Hyperbola

Per disegnare una funzione omografica bastano i due asintoti e il loro punto d’incontro, tutti leggibili direttamente dai coefficienti.

Proprietà — Asintoti della funzione omografica

La funzione $y = \tfrac{ax+b}{cx+d}$ ha:

• Asintoto verticale: $x = -\tfrac{d}{c}$ (il valore di $x$ che annulla il denominatore);
• Asintoto orizzontale: $y = \tfrac{a}{c}$ (il limite di $y$ per $|x|\to\infty$);
• Centro di simmetria: $O'\left(-\tfrac{d}{c};\ \tfrac{a}{c}\right)$, intersezione dei due asintoti.

Le condizioni $c\ne 0$ (altrimenti è una retta) e $ad - bc \ne 0$ (altrimenti la funzione è costante, perché numeratore e denominatore sarebbero proporzionali) sono proprio ciò che garantisce che il grafico sia effettivamente un’iperbole.

Esplora con i cursori come i coefficienti $a$, $b$, $c$, $d$ spostano gli asintoti e il centro di simmetria della funzione omografica.

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Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Centro di simmetria · Funzione omografica
Funzioni: Funzione omografica
Metodi: Iperbole canonica
Competenze: Geometria analitica · Tracciare grafico

To draw a homographic function only the two asymptotes and their meeting point are needed, all readable directly from the coefficients.

Property — Asymptotes of the homographic function

The function $y = \tfrac{ax+b}{cx+d}$ has:

• Vertical asymptote: $x = -\tfrac{d}{c}$ (the value of $x$ that makes the denominator vanish);
• Horizontal asymptote: $y = \tfrac{a}{c}$ (the limit of $y$ as $|x|\to\infty$);
• Centre of symmetry: $O'\left(-\tfrac{d}{c};\ \tfrac{a}{c}\right)$, the intersection of the two asymptotes.

The conditions $c\ne 0$ (otherwise it is a line) and $ad - bc \ne 0$ (otherwise the function is constant, because numerator and denominator would be proportional) are precisely what guarantees that the graph is indeed a hyperbola.

Explore with the sliders how the coefficients $a$, $b$, $c$, $d$ move the asymptotes and the centre of symmetry of the homographic function.

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Functions: Homographic function
Methods: Canonical hyperbola
Skills: Analytic geometry · Sketching the graph

Mettiamo in pratica le regole studiando completamente una funzione omografica.

Esempio — Studiare $y = \dfrac{2x+3}{x-1}$

Asintoto verticale: $x - 1 = 0 \iff x = 1$.

Asintoto orizzontale: per $|x|\to\infty$, $y\to \tfrac{2x}{x} = 2$, quindi $y = 2$.

Centro di simmetria: $O'(1;2)$.

Intersezioni con gli assi:

• con $Oy$ ($x=0$): $y = \tfrac{3}{-1} = -3$. Punto $(0;-3)$.
• con $Ox$ ($y=0$): $\tfrac{2x+3}{x-1}=0 \iff 2x+3=0 \iff x = -\tfrac{3}{2}$. Punto $\left(-\tfrac{3}{2};0\right)$.

Lettura: il grafico di $y=\tfrac{2x+3}{x-1}$ è un’iperbole con asintoto verticale $x=1$ (dove il ramo sinistro e quello destro si separano), asintoto orizzontale $y=2$ e centro di simmetria $O'(1;2)$.

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Competenze: Geometria analitica · Studiare funzione · Tracciare grafico

Let us put the rules into practice by fully studying a homographic function.

Example — Study $y = \dfrac{2x+3}{x-1}$

Vertical asymptote: $x - 1 = 0 \iff x = 1$.

Horizontal asymptote: for $|x|\to\infty$, $y\to \tfrac{2x}{x} = 2$, so $y = 2$.

Centre of symmetry: $O'(1;2)$.

Intersections with the axes:

• with $Oy$ ($x=0$): $y = \tfrac{3}{-1} = -3$. Point $(0;-3)$.
• with $Ox$ ($y=0$): $\tfrac{2x+3}{x-1}=0 \iff 2x+3=0 \iff x = -\tfrac{3}{2}$. Point $\left(-\tfrac{3}{2};0\right)$.

Reading: the graph of $y=\tfrac{2x+3}{x-1}$ is a hyperbola with vertical asymptote $x=1$ (where the left branch and the right branch separate), horizontal asymptote $y=2$ and centre of symmetry $O'(1;2)$.

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Functions: Homographic function
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Esiste un modo rapido per riconoscere la struttura di un’omografica senza applicare le formule a memoria: eseguire la divisione tra i due polinomi.

Osservazione — Trucco: divisione polinomiale

Per capire rapidamente la struttura dell’omografica si può fare la divisione (di polinomi) di $ax+b$ per $cx+d$. Nell’esempio precedente: $\frac{2x+3}{x-1} = 2 + \frac{5}{x-1}.$ In questa forma l’asintoto orizzontale $y=2$ e quello verticale $x=1$ si leggono direttamente, e si riconosce che la curva è l’iperbole equilatera $y = \tfrac{5}{t}$ traslata di $(+1;+2)$.

Scrivere l’omografica come “costante $+$ proporzionalità inversa traslata” rende immediato sia il tracciamento del grafico sia il collegamento con la funzione $y=\tfrac{k}{x}$ già nota.

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Competenze: Usare formule

There is a quick way to recognise the structure of a homographic function without applying the formulae from memory: carry out the division between the two polynomials.

Remark — Trick: polynomial division

To grasp quickly the structure of the homographic function one can do the (polynomial) division of $ax+b$ by $cx+d$. In the previous example: $\frac{2x+3}{x-1} = 2 + \frac{5}{x-1}.$ In this form the horizontal asymptote $y=2$ and the vertical one $x=1$ are read off directly, and one recognises that the curve is the rectangular hyperbola $y = \tfrac{5}{t}$ translated by $(+1;+2)$.

Writing the homographic function as “constant $+$ translated inverse proportionality” makes both sketching the graph and the connection with the already-known function $y=\tfrac{k}{x}$ immediate.

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