Formule parametriche

Le formule parametriche esprimono seno, coseno e tangente di un angolo $\alpha$ in funzione di una sola variabile ausiliaria, $t=\tan(\alpha/2)$. La loro forza è che trasformano un’equazione lineare in $\sin$ e $\cos$ in una comune equazione razionale in $t$: l’algebra prende il posto della trigonometria. Bisogna però ricordare che il passaggio ad $t$ “perde” un caso particolare, che va sempre controllato a parte.

• Le formule parametriche
• Equazioni lineari in seno e coseno

The parametric formulae express the sine, cosine and tangent of an angle $\alpha$ in terms of a single auxiliary variable, $t=\tan(\alpha/2)$. Their power is that they transform a linear equation in $\sin$ and $\cos$ into an ordinary rational equation in $t$: algebra takes the place of trigonometry. One must remember, however, that the passage to $t$ “loses” a particular case, which must always be checked separately.

• The parametric formulae
• Linear equations in sine and cosine

Ponendo $t=\tan(\alpha/2)$ è possibile esprimere tutte e tre le funzioni goniometriche di $\alpha$ come funzioni razionali della sola $t$. Questo è ciò che rende le formule parametriche così comode nel calcolo.

Proprietà — Parametriche in $t=\tan(\alpha/2)$

Posto $t = \tan(\alpha/2)$, valgono le identità: $\sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \tan\alpha = \frac{2t}{1-t^2}.$ Sono valide per $\alpha\ne \pi + 2k\pi$, dove $\tan(\alpha/2)$ non è definita.

Dimostrazione

Partiamo dalla formula di duplicazione $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$ e dividiamo numeratore e denominatore per $\cos^2(\alpha/2)$ (usando $\sin^2+\cos^2=1$ al denominatore): $\sin\alpha = \frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2)} = \frac{2\tan(\alpha/2)}{1 + \tan^2(\alpha/2)} = \frac{2t}{1+t^2}.$ Per il coseno usiamo $\cos\alpha = \cos^2(\alpha/2)-\sin^2(\alpha/2)$ e la stessa divisione: $\cos\alpha = \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)+\sin^2(\alpha/2)} = \frac{1-\tan^2(\alpha/2)}{1+\tan^2(\alpha/2)} = \frac{1-t^2}{1+t^2}.$ Per $\tan\alpha$ basta dividere le due precedenti. ∎

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Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di duplicazione · Formule parametriche · Tangente dell angolo meta
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Dimostrare · Usare formule

By setting $t=\tan(\alpha/2)$ it is possible to express all three trigonometric functions of $\alpha$ as rational functions of $t$ alone. This is what makes the parametric formulae so convenient in computation.

Property — Parametric formulae in $t=\tan(\alpha/2)$

Setting $t = \tan(\alpha/2)$, the following identities hold: $\sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \tan\alpha = \frac{2t}{1-t^2}.$ They are valid for $\alpha\ne \pi + 2k\pi$, where $\tan(\alpha/2)$ is not defined.

Proof

We start from the double-angle formula $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$ and divide numerator and denominator by $\cos^2(\alpha/2)$ (using $\sin^2+\cos^2=1$ in the denominator): $\sin\alpha = \frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2)} = \frac{2\tan(\alpha/2)}{1 + \tan^2(\alpha/2)} = \frac{2t}{1+t^2}.$ For the cosine we use $\cos\alpha = \cos^2(\alpha/2)-\sin^2(\alpha/2)$ and the same division: $\cos\alpha = \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)+\sin^2(\alpha/2)} = \frac{1-\tan^2(\alpha/2)}{1+\tan^2(\alpha/2)} = \frac{1-t^2}{1+t^2}.$ For $\tan\alpha$ it suffices to divide the two preceding results. ∎

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Topics: Prostaferesi werner
Concepts: Formule di duplicazione · Formule parametriche · Tangente dell angolo meta
Functions: Coseno · Seno · Tangente
Skills: Dimostrare · Usare formule

Le formule parametriche sono la chiave per risolvere le equazioni lineari in $\sin$ e $\cos$, cioè le equazioni della forma $a\sin\alpha + b\cos\alpha + c = 0$.

Osservazione — Quando servono

Ponendo $t=\tan(\alpha/2)$ si ottiene $a\cdot\frac{2t}{1+t^2} + b\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2} + c = 0,$ che, moltiplicando per $1+t^2$, diventa un’equazione razionale in $t$, in generale di secondo grado: il problema trigonometrico è così trasformato in pura algebra. Il metodo esplicito verrà ripreso nel capitolo sulle equazioni goniometriche.

Attenzione — La soluzione "perduta"

Nel passare da $\alpha$ a $t=\tan(\alpha/2)$ si perde implicitamente il caso $\alpha = \pi + 2k\pi$, dove $\tan(\alpha/2)$ non esiste. Questa soluzione va sempre controllata a parte, sostituendo $\alpha=\pi$ nell’equazione originale.

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Concetti: Equazioni lineari in seno e coseno · Formule parametriche · Tangente dell angolo meta
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

The parametric formulae are the key to solving linear equations in $\sin$ and $\cos$, that is, equations of the form $a\sin\alpha + b\cos\alpha + c = 0$.

Observation — When they are needed

By setting $t=\tan(\alpha/2)$ one obtains $a\cdot\frac{2t}{1+t^2} + b\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2} + c = 0,$ which, on multiplying by $1+t^2$, becomes a rational equation in $t$, in general of the second degree: the trigonometric problem is thus transformed into pure algebra. The explicit method will be taken up again in the chapter on trigonometric equations.

Warning — The "lost" solution

In passing from $\alpha$ to $t=\tan(\alpha/2)$ one implicitly loses the case $\alpha = \pi + 2k\pi$, where $\tan(\alpha/2)$ does not exist. This solution must always be checked separately, by substituting $\alpha=\pi$ into the original equation.

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