Definizione e forma cartesiana

Un numero complesso nasce introducendo un nuovo simbolo $i$ con $i^2=-1$ e scrivendo ogni numero nella forma $z=a+ib$. In questa sezione definiamo parte reale e parte immaginaria, impariamo a sommare, moltiplicare e dividere in forma cartesiana usando il coniugato, e introduciamo il modulo come “lunghezza” di un numero complesso.

• Numero complesso e forma cartesiana
• Operazioni in forma cartesiana
• Modulo di un numero complesso

A complex number arises by introducing a new symbol $i$ with $i^2=-1$ and writing every number in the form $z=a+ib$. In this section we define the real part and the imaginary part, we learn to add, multiply and divide in Cartesian form using the conjugate, and we introduce the modulus as the “length” of a complex number.

• Complex number and Cartesian form
• Operations in Cartesian form
• Modulus of a complex number

Per risolvere equazioni come $x^2+1=0$ si introduce una “nuova” unità $i$, detta unità immaginaria, che soddisfa $i^2=-1$. A partire da essa si costruiscono tutti i numeri complessi.

Definizione — Numero complesso

Un numero complesso è un’espressione della forma $z=a+ib$ con $a,b\in\mathbb{R}$ e $i$ una “nuova” unità che soddisfa $i^2=-1$. Il numero $a$ si chiama parte reale di $z$ ($\Re z$), il numero $b$ parte immaginaria ($\Im z$). L’insieme di tutti i numeri complessi si indica con $\mathbb{C}$.

I numeri reali si immergono nei complessi come quei $z$ con parte immaginaria nulla: $a+i\cdot 0 = a$. In questo senso $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, e la scrittura $z=a+ib$ è detta forma cartesiana (o algebrica) del numero complesso.

Storia — I numeri «impossibili»

Fino al Cinquecento $\sqrt{-1}$ era considerata priva di senso. Gerolamo Cardano, nell’Ars Magna (1545), si imbatté in tali radici risolvendo equazioni cubiche e le liquidò come sottigliezze «tanto sottili quanto inutili». Fu Rafael Bombelli, nell’Algebra (1572), a dar loro regole di calcolo coerenti, mostrando che quelle quantità «impossibili» conducevano a soluzioni reali corrette (Boyer; Katz). L’unità immaginaria $i$ di cui parliamo qui è l’erede diretta di quell’intuizione, resa pienamente legittima solo due secoli più tardi.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma cartesiana · Numero complesso · Parte immaginaria · Parte reale · Piano cartesiano · Unita immaginaria
Persone: Rafael Bombelli · Gerolamo Cardano

To solve equations such as $x^2+1=0$ one introduces a “new” unit $i$, called the imaginary unit, which satisfies $i^2=-1$. Starting from it, all complex numbers are built.

Definition — Complex number

A complex number is an expression of the form $z=a+ib$ with $a,b\in\mathbb{R}$ and $i$ a “new” unit satisfying $i^2=-1$. The number $a$ is called the real part of $z$ ($\Re z$), the number $b$ the imaginary part ($\Im z$). The set of all complex numbers is denoted by $\mathbb{C}$.

The real numbers are embedded in the complex ones as those $z$ with zero imaginary part: $a+i\cdot 0 = a$. In this sense $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, and the notation $z=a+ib$ is called the Cartesian form (or algebraic form) of the complex number.

History — The "impossible" numbers

Until the sixteenth century $\sqrt{-1}$ was regarded as meaningless. Gerolamo Cardano, in his Ars Magna (1545), stumbled upon such roots while solving cubic equations and dismissed them as subtleties “as subtle as they are useless”. It was Rafael Bombelli, in his Algebra (1572), who gave them consistent computational rules, showing that those “impossible” quantities led to correct real solutions (Boyer; Katz). The imaginary unit $i$ we speak of here is the direct heir of that insight, made fully legitimate only two centuries later.

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Topics: Complex numbers
Concepts: Cartesian form · Complex number · Imaginary part · Real part · Cartesian plane · Imaginary unit

In forma cartesiana somma, prodotto e quoziente si calcolano trattando $i$ come una lettera e ricordando la regola fondamentale $i^2=-1$.

Proprietà — Operazioni in forma cartesiana

Dati $z_1=a_1+ib_1$ e $z_2=a_2+ib_2$: $\begin{aligned} z_1 + z_2 &= (a_1+a_2) + i(b_1+b_2) \\ z_1 \cdot z_2 &= (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1) \\ \frac{z_1}{z_2} &= \frac{z_1\cdot\bar{z_2}}{z_2\cdot\bar{z_2}} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + i(a_2 b_1 - a_1 b_2)}{a_2^2 + b_2^2} \end{aligned}$ dove $\bar{z} = a - ib$ è il coniugato di $z$, ottenuto cambiando il segno della parte immaginaria.

Il prodotto si ottiene applicando la proprietà distributiva e sostituendo $i^2=-1$: $(a_1+ib_1)(a_2+ib_2) = a_1 a_2 + i a_1 b_2 + i a_2 b_1 + i^2 b_1 b_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1).$

La divisione si effettua “razionalizzando” il denominatore, cioè moltiplicando numeratore e denominatore per $\bar{z_2}$: il denominatore diventa reale, $z_2\cdot\bar{z_2} = a_2^2 + b_2^2 \in\mathbb{R}$.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Coniugato · Forma cartesiana · Piano cartesiano
Metodi: Numeri complessi cartesiana
Competenze: Calcolare · Usare formule

In Cartesian form the sum, product and quotient are computed by treating $i$ as a letter and remembering the fundamental rule $i^2=-1$.

Property — Operations in Cartesian form

Given $z_1=a_1+ib_1$ and $z_2=a_2+ib_2$: $\begin{aligned} z_1 + z_2 &= (a_1+a_2) + i(b_1+b_2) \\ z_1 \cdot z_2 &= (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1) \\ \frac{z_1}{z_2} &= \frac{z_1\cdot\bar{z_2}}{z_2\cdot\bar{z_2}} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + i(a_2 b_1 - a_1 b_2)}{a_2^2 + b_2^2} \end{aligned}$ where $\bar{z} = a - ib$ is the conjugate of $z$, obtained by changing the sign of the imaginary part.

The product is obtained by applying the distributive property and substituting $i^2=-1$: $(a_1+ib_1)(a_2+ib_2) = a_1 a_2 + i a_1 b_2 + i a_2 b_1 + i^2 b_1 b_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1).$

Division is carried out by “rationalising” the denominator, that is by multiplying numerator and denominator by $\bar{z_2}$: the denominator becomes real, $z_2\cdot\bar{z_2} = a_2^2 + b_2^2 \in\mathbb{R}$.

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Topics: Complex numbers
Concepts: Conjugate · Cartesian form · Cartesian plane
Methods: Numeri complessi cartesiana
Skills: Calculate · Use formulae

Il modulo misura la “grandezza” di un numero complesso: geometricamente è la distanza del punto $(a;b)$ dall’origine.

Proprietà — Modulo

Il modulo di $z=a+ib$ è $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$ Vale $|z|^2 = z\cdot\bar{z}$. Per ogni $z$ si ha $|z|\ge 0$, con uguaglianza se e solo se $z=0$.

La relazione $|z|^2 = z\cdot\bar z$ collega il modulo al coniugato: moltiplicando un numero per il suo coniugato si ottiene sempre un numero reale non negativo, pari al quadrato del modulo. È proprio questa proprietà a rendere possibile la razionalizzazione nella divisione.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Coniugato · Modulo
Competenze: Calcolare

The modulus measures the “size” of a complex number: geometrically it is the distance of the point $(a;b)$ from the origin.

Property — Modulus

The modulus of $z=a+ib$ is $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$ It holds that $|z|^2 = z\cdot\bar{z}$. For every $z$ we have $|z|\ge 0$, with equality if and only if $z=0$.

The relation $|z|^2 = z\cdot\bar z$ links the modulus to the conjugate: multiplying a number by its conjugate always gives a non-negative real number, equal to the square of the modulus. It is precisely this property that makes rationalisation possible in division.

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Topics: Complex numbers
Concepts: Conjugate · Modulus
Skills: Calculate

Dopo Bombelli i numeri complessi restarono a lungo strumenti di calcolo sospetti: comparivano nelle formule, davano risultati corretti, ma nessuno sapeva dire che cosa fossero. Lo stesso Euler li usava con maestria pur chiamandoli «impossibili». La svolta decisiva non fu un nuovo calcolo, bensì un’immagine: rappresentare $z=a+ib$ come il punto di coordinate $(a;b)$ nel piano. In questo modo l’unità immaginaria $i$ smette di essere un simbolo misterioso e diventa una direzione precisa — la rotazione di un angolo retto rispetto all’asse reale.

Tre scoperte quasi indipendenti

L’idea del piano complesso fu trovata più volte, in modo pressoché indipendente. Il primo fu il norvegese-danese Caspar Wessel, che nel 1799 presentò all’Accademia danese una memoria in cui i numeri complessi erano vettori del piano e la moltiplicazione corrispondeva a sommare gli angoli e moltiplicare le lunghezze: un lavoro rimasto però quasi ignorato per un secolo. Nel 1806 lo svizzero Jean-Robert Argand, un libraio parigino dilettante di matematica, pubblicò anonimamente lo stesso schema geometrico, che oggi porta il suo nome (Boyer; Katz).

Gauss e la piena legittimità

La consacrazione arrivò con Carl Friedrich Gauss, che possedeva la rappresentazione geometrica già da giovane e la usò nelle sue dimostrazioni del teorema fondamentale dell’algebra. Fu Gauss, in una memoria del 1831, a proporre il termine numero complesso al posto di «immaginario» e a difendere pubblicamente la piena dignità di questi numeri, togliendo loro ogni alone di paradosso (Stillwell). Da allora scrivere $z=a+ib$ e vederlo come un punto del piano sono la stessa cosa: la geometria del piano di Argand-Gauss è il linguaggio naturale con cui, in questo capitolo, interpreteremo modulo, argomento e coniugato.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Numero complesso · Piano di argand gauss
Persone: Argand · Caspar Wessel · Carl Friedrich Gauss

After Bombelli, complex numbers long remained suspect computational tools: they appeared in formulas and gave correct results, yet no one could say what they were. Euler himself used them masterfully while still calling them “impossible”. The decisive turn was not a new calculation but an image: representing $z=a+ib$ as the point with coordinates $(a;b)$ in the plane. In this way the imaginary unit $i$ ceases to be a mysterious symbol and becomes a precise direction — the rotation by a right angle with respect to the real axis.

Three almost independent discoveries

The idea of the complex plane was found several times, almost independently. The first was the Norwegian-Danish Caspar Wessel, who in 1799 presented to the Danish Academy a memoir in which complex numbers were vectors of the plane and multiplication corresponded to adding the angles and multiplying the lengths: a work that remained almost unnoticed for a century. In 1806 the Swiss Jean-Robert Argand, a Parisian bookseller and amateur mathematician, published anonymously the same geometric scheme, which today bears his name (Boyer; Katz).

Gauss and full legitimacy

The consecration came with Carl Friedrich Gauss, who had possessed the geometric representation since his youth and used it in his proofs of the fundamental theorem of algebra. It was Gauss, in a memoir of 1831, who proposed the term complex number in place of “imaginary” and publicly defended the full dignity of these numbers, stripping them of any air of paradox (Stillwell). Since then, writing $z=a+ib$ and seeing it as a point of the plane are one and the same: the geometry of the Argand-Gauss plane is the natural language with which, in this chapter, we shall interpret modulus, argument, and conjugate.

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Topics: Complex numbers Concepts: Complex number · Argand-Gauss plane People: Caspar Wessel · Argand · Carl Friedrich Gauss