Modelli di crescita esponenziale

Ogni volta che una quantità varia in modo proporzionale al suo valore attuale, la legge che la descrive è esponenziale. Per questo l’esponenziale compare ovunque: nel decadimento radioattivo e nella datazione al carbonio-14, nell’interesse composto e nella capitalizzazione continua, nell’assorbimento della luce, nella pressione atmosferica e nel raffreddamento dei corpi. Questa sezione raccoglie i modelli più importanti.

• Perché gli esponenziali sono ovunque
• Decadimento radioattivo e datazione al carbonio-14
• Interesse semplice, composto e continuo
• Legge di Beer-Lambert
• Pressione atmosferica con la quota
• Raffreddamento di Newton

Whenever a quantity varies in proportion to its current value, the law that describes it is exponential. This is why the exponential appears everywhere: in radioactive decay and carbon-14 dating, in compound interest and continuous compounding, in the absorption of light, in atmospheric pressure and in the cooling of bodies. This section collects the most important models.

• Why exponentials are everywhere
• Radioactive decay and carbon-14 dating
• Simple, compound and continuous interest
• Beer-Lambert law
• Atmospheric pressure with altitude
• Newton’s cooling

C’è un principio unico dietro tutti i fenomeni esponenziali: la variazione proporzionale al valore attuale.

Osservazione — Perché gli esponenziali sono ovunque

Ogni volta che una quantità $y$ cresce (o decresce) in modo proporzionale al suo valore attuale, la legge che la descrive è esponenziale. Qualche esempio:

• Decadimento radioattivo: $N(t) = N_0 \cdot \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{t/\tau}$, con $\tau$ “tempo di dimezzamento”.
• Interesse composto: un capitale $C_0$ che rende il tasso $r$ all’anno diventa $C(t) = C_0\,(1+r)^t$ dopo $t$ anni.
• Crescita demografica o epidemie (fase iniziale): il numero di individui (o di contagiati) raddoppia a intervalli costanti.

Nelle pagine seguenti approfondiamo questi modelli, con i dati e i conti numerici che li rendono concreti.

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Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Crescita esponenziale · Decadimento esponenziale · Interesse composto
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare

There is a single principle behind all exponential phenomena: the variation proportional to the current value.

Observation — Why exponentials are everywhere

Every time a quantity $y$ grows (or decays) in a way proportional to its current value, the law that describes it is exponential. A few examples:

• Radioactive decay: $N(t) = N_0 \cdot \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{t/\tau}$, with $\tau$ the “half-life”.
• Compound interest: a capital $C_0$ that yields the rate $r$ per year becomes $C(t) = C_0\,(1+r)^t$ after $t$ years.
• Population growth or epidemics (initial phase): the number of individuals (or of infected people) doubles at constant intervals.

In the following pages we look more closely at these models, with the data and the numerical calculations that make them concrete.

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Topics: Exponential function
Concepts: Exponential growth · Exponential decay · Compound interest
Functions: Exponential function
Skills: Modelling

Un nucleo radioattivo decade con una probabilità per unità di tempo che è la stessa per ogni nucleo: ne segue che la frazione di nuclei sopravvissuti dopo un tempo $\tau$ (tempo di dimezzamento) si riduce a metà. Dopo $n$ dimezzamenti restano $N_0/2^n$ nuclei.

Esempio — Datazione al carbonio-14

Il $^{14}$C ha tempo di dimezzamento $\tau\approx 5730$ anni. In un essere vivente la concentrazione di $^{14}$C rispetto al $^{12}$C è circa $r_0=1{,}3\cdot 10^{-12}$. In una reliquia di osso si misura una concentrazione $r=0{,}25\,r_0$. Quanti anni ha?

Dal modello: $r(t)/r_0 = (1/2)^{t/\tau}$. Quindi $(1/2)^{t/\tau} = 0{,}25 = (1/2)^2 \implies t/\tau = 2 \implies t = 2\tau \approx 11\,460 \text{ anni}.$

Esempio — Caso non intero: $0{,}3\,r_0$

$(1/2)^{t/\tau}=0{,}3 \implies t/\tau = \log_{1/2}(0{,}3) = -\dfrac{\ln 0{,}3}{\ln 2} = \dfrac{\ln(10/3)}{\ln 2} \approx 1{,}737$, dunque $t\approx 1{,}737\cdot 5730 \approx 9\,950 \text{ anni}$.

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Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Decadimento esponenziale · Tempo di dimezzamento
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Usare formule

A radioactive nucleus decays with a probability per unit time that is the same for every nucleus: it follows that the fraction of nuclei surviving after a time $\tau$ (half-life) is reduced by half. After $n$ halvings there remain $N_0/2^n$ nuclei.

Example — Carbon-14 dating

$^{14}$C has half-life $\tau\approx 5730$ years. In a living being the concentration of $^{14}$C relative to $^{12}$C is about $r_0=1{,}3\cdot 10^{-12}$. In a bone relic a concentration $r=0{,}25\,r_0$ is measured. How old is it?

From the model: $r(t)/r_0 = (1/2)^{t/\tau}$. Hence $(1/2)^{t/\tau} = 0{,}25 = (1/2)^2 \implies t/\tau = 2 \implies t = 2\tau \approx 11\,460 \text{ years}.$

Example — Non-integer case: $0{,}3\,r_0$

$(1/2)^{t/\tau}=0{,}3 \implies t/\tau = \log_{1/2}(0{,}3) = -\dfrac{\ln 0{,}3}{\ln 2} = \dfrac{\ln(10/3)}{\ln 2} \approx 1{,}737$, hence $t\approx 1{,}737\cdot 5730 \approx 9\,950 \text{ years}$.

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Topics: Exponential function
Concepts: Exponential decay · Half-life
Functions: Exponential function
Skills: Modelling · Using formulae

Un capitale iniziale $C_0$ investito al tasso annuo $r$ può rendere in tre modi diversi, a seconda di come e quando gli interessi vengono reinvestiti.

Esempio — 1000 euro al 5% per 10 anni

Confronto numerico:

• Semplice: $1000\cdot(1+0{,}5)=1500$.
• Composto annuo: $1000\cdot 1{,}05^{10}\approx 1628{,}89$.
• Composto mensile: $1000\cdot (1+0{,}05/12)^{120}\approx 1647{,}01$.
• Continuo: $1000\cdot e^{0{,}5}\approx 1648{,}72$.

La capitalizzazione continua è il limite a cui tendono le composte sempre più frequenti. In Quinta vedremo che il limite $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$ è esattamente lo stesso conto, fatto al tasso del $100\%$.

Il numero $e\approx 2{,}718$, detto numero di Nepero, è la base “naturale” degli esponenziali ed emerge proprio da questo passaggio al limite della capitalizzazione continua.

Storia — Il numero $e$ e l'interesse composto

Fu proprio un problema di interesse composto a portare alla luce il numero $e$: nel 1683, studiando quanto rende un capitale composto sempre più spesso, Jacob Bernoulli riconobbe che $\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^n$ cresce ma resta limitato tra $2$ e $3$, avvicinandosi a un valore fisso al crescere di $n$ (Boyer). Non riuscì però a calcolarlo con precisione. Fu Leonhard Euler, nella Introductio in analysin infinitorum (1748), a fissarne la notazione $e$, a calcolarne molte cifre decimali e a dimostrarne l’irrazionalità, elevandolo a costante fondamentale dell’analisi (Dunham, Katz).

Video consigliati

• What’s so special about Euler’s number e? — 3Blue1Brown
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Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Capitalizzazione continua · Interesse composto · Numero di nepero
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Persone: Jacob Bernoulli · Leonhard Euler (Eulero) · John Napier (Nepero)

An initial capital $C_0$ invested at the annual rate $r$ can yield in three different ways, depending on how and when the interest is reinvested.

Example — 1000 euros at 5% for 10 years

Numerical comparison:

• Simple: $1000\cdot(1+0{,}5)=1500$.
• Annual compound: $1000\cdot 1{,}05^{10}\approx 1628{,}89$.
• Monthly compound: $1000\cdot (1+0{,}05/12)^{120}\approx 1647{,}01$.
• Continuous: $1000\cdot e^{0{,}5}\approx 1648{,}72$.

Continuous compounding is the limit towards which ever more frequent compounding tends. In Year 5 we shall see that the limit $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$ is exactly the same calculation, done at the rate of $100\%$.

The number $e\approx 2{,}718$, called Napier’s number, is the “natural” base of the exponentials and emerges precisely from this passage to the limit of continuous compounding.

History — The number $e$ and compound interest

It was precisely a compound-interest problem that first brought the number $e$ to light: in 1683, studying how much a capital earns when compounded ever more often, Jacob Bernoulli recognised that $\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^n$ grows yet stays bounded between $2$ and $3$, approaching a fixed value as $n$ increases (Boyer). He could not, however, compute it precisely. It was Leonhard Euler, in the Introductio in analysin infinitorum (1748), who fixed the notation $e$, calculated many of its decimal digits and proved its irrationality, raising it to a fundamental constant of analysis (Dunham, Katz).

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Topics: Exponential function
Concepts: Continuous compounding · Compound interest · Napier’s number
Functions: Exponential function
Skills: Modelling · Using formulae
People: John Napier (Nepero)

Quando un fascio luminoso attraversa un mezzo che assorbe, l’intensità $I$ decresce esponenzialmente con lo spessore $x$:

$I(x) = I_0\,e^{-\mu x},$

dove $\mu$ è il coefficiente di assorbimento. Lo spessore di dimezzamento è $x_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\mu}$. È la stessa legge del decadimento radioattivo, con il tempo sostituito dallo spessore.

Esempio — Il rosso in piscina

In una piscina, il rosso si attenua a $1/2$ dell’intensità iniziale dopo circa $5\,\text{m}$. Dopo $20\,\text{m}$ ne resta $1/16$: ecco perché gli oggetti in profondità appaiono blu.

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Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Usare formule

When a light beam passes through an absorbing medium, the intensity $I$ decreases exponentially with the thickness $x$:

$I(x) = I_0\,e^{-\mu x},$

where $\mu$ is the absorption coefficient. The half-value thickness is $x_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\mu}$. It is the same law as radioactive decay, with time replaced by thickness.

Example — Red in a swimming pool

In a swimming pool, red is attenuated to $1/2$ of the initial intensity after about $5\,\text{m}$. After $20\,\text{m}$ only $1/16$ remains: this is why objects deep down appear blue.

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Functions: Exponential function
Skills: Modelling · Using formulae

Approssimando l’atmosfera come isoterma, la pressione decresce esponenzialmente con la quota $h$:

$p(h) = p_0\,e^{-h/H},\quad H \approx 8{,}5 \text{ km (scala isoterma)}.$

A $h=H\ln 2 \approx 5{,}9\,\text{km}$ la pressione si dimezza: è il motivo per cui sopra i $5500\,\text{m}$ il corpo inizia a soffrire. Sull’Everest, a $8848\,\text{m}$, si ha $p\approx p_0\cdot e^{-1{,}04}\approx 0{,}35\,p_0$.

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Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Decadimento esponenziale · Numero di nepero
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Usare formule

Approximating the atmosphere as isothermal, the pressure decreases exponentially with the altitude $h$:

$p(h) = p_0\,e^{-h/H},\quad H \approx 8{,}5 \text{ km (isothermal scale)}.$

At $h=H\ln 2 \approx 5{,}9\,\text{km}$ the pressure halves: this is why above $5500\,\text{m}$ the body begins to suffer. On Everest, at $8848\,\text{m}$, one has $p\approx p_0\cdot e^{-1{,}04}\approx 0{,}35\,p_0$.

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Functions: Exponential function
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La legge di Newton del raffreddamento afferma che la differenza di temperatura tra un corpo caldo e l’ambiente decade esponenzialmente:

$T(t)-T_{\text{amb}}=(T_0-T_{\text{amb}})\,e^{-t/\tau}.$

Esempio — Un caffè che si raffredda

Un caffè a $90\,°\text{C}$ in una stanza a $20\,°\text{C}$ con $\tau=10\,\text{min}$: dopo $20\,\text{min}$ è a $20+70/e^2\approx 29{,}5\,°\text{C}$.

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Concetti: Decadimento esponenziale · Numero di nepero
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Persone: Isaac Newton

Newton’s law of cooling states that the temperature difference between a hot body and its surroundings decays exponentially:

$T(t)-T_{\text{amb}}=(T_0-T_{\text{amb}})\,e^{-t/\tau}.$

Example — A cooling coffee

A coffee at $90\,°\text{C}$ in a room at $20\,°\text{C}$ with $\tau=10\,\text{min}$: after $20\,\text{min}$ it is at $20+70/e^2\approx 29{,}5\,°\text{C}$.

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People: Isaac Newton