Scorciatoie quando entrambi i membri sono sempre non negativi

Lo sdoppiamento in casi nasceva dal fatto che il secondo membro poteva avere segno qualunque. Se invece il secondo membro è, per costruzione, una quantità sempre $\ge 0$ (un altro radicale, un valore assoluto, una distanza), allora lo studio del segno è gratuito: basta imporre le CE ed elevare direttamente al quadrato, senza distinguere casi.

• Elevare al quadrato senza sdoppiare
• Esempio — distanza nel fascio di rette
• Esempio — due radicali a confronto

The splitting into cases arose from the fact that the right-hand side could have any sign. If instead the right-hand side is, by construction, a quantity that is always $\ge 0$ (another radical, an absolute value, a distance), then the sign study is free: it is enough to impose the existence conditions and square directly, without distinguishing cases.

• Squaring without splitting into cases
• Example — distance in a pencil of lines
• Example — two radicals compared

Nei due casi precedenti lo sdoppiamento nasceva dal fatto che il secondo membro poteva avere segno qualunque. Se invece il secondo membro è, per costruzione, una quantità sempre $\ge 0$ — un altro radicale, un valore assoluto, una somma di quadrati, una distanza — allora lo studio del segno è gratuito: non serve distinguere casi. Basta imporre le CE ed elevare direttamente al quadrato.

Proprietà — Quando si può elevare al quadrato senza sdoppiare casi

Data una disequazione nella forma $\sqrt{A(x)}\ \lessgtr\ \sqrt{B(x)},\qquad \sqrt{A(x)}\ \lessgtr\ |C(x)|,\qquad |A(x)|\ \lessgtr\ |C(x)|,$ il secondo membro è sempre $\ge 0$ (entro le CE). Pertanto anche il primo membro, essendo non negativo, ha lo stesso segno e si può elevare direttamente al quadrato senza distinguere casi. Il procedimento si riduce a tre passaggi:

1. Scrivere le CE (sui radicali al primo e al secondo membro).
2. Elevare al quadrato entrambi i membri.
3. Intersecare la soluzione con le CE.

Dimostrazione

Per l’equivalenza $\sqrt{A}\le |C| \iff A\le C^2$ entro le CE basta osservare che entrambi i membri sono $\ge 0$: la funzione $t\mapsto t^2$ è strettamente crescente su $[0,+\infty)$ e quindi monotona; applicandola a ogni membro la disuguaglianza si conserva. Per $|A|\le |C|$ il ragionamento è identico notando che $|A|^2=A^2$ e $|C|^2=C^2$: il valore assoluto sparisce nel momento in cui si eleva al quadrato, e non va nemmeno “studiato”. $\blacksquare$

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Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Valore assoluto
Metodi: Elevamento al quadrato · Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Dimostrare · Risolvere disequazioni

In the two previous cases the splitting arose from the fact that the right-hand side could have any sign. If instead the right-hand side is, by construction, a quantity that is always $\ge 0$ — another radical, an absolute value, a sum of squares, a distance — then the sign study is free: there is no need to distinguish cases. It is enough to impose the existence conditions and square directly.

Property — When one can square without splitting into cases

Given an inequality of the form $\sqrt{A(x)}\ \lessgtr\ \sqrt{B(x)},\qquad \sqrt{A(x)}\ \lessgtr\ |C(x)|,\qquad |A(x)|\ \lessgtr\ |C(x)|,$ the right-hand side is always $\ge 0$ (within the existence conditions). Therefore the left-hand side too, being non-negative, has the same sign and one can square directly without distinguishing cases. The procedure reduces to three steps:

1. Write the existence conditions (on the radicals on the left- and right-hand sides).
2. Square both sides.
3. Intersect the solution with the existence conditions.

Proof

For the equivalence $\sqrt{A}\le |C| \iff A\le C^2$ within the existence conditions it suffices to observe that both sides are $\ge 0$: the function $t\mapsto t^2$ is strictly increasing on $[0,+\infty)$ and hence monotonic; applying it to each side preserves the inequality. For $|A|\le |C|$ the reasoning is identical, noting that $|A|^2=A^2$ and $|C|^2=C^2$: the absolute value disappears the moment one squares, and need not even be “studied”. $\blacksquare$

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Topics: Irrational inequalities
Concepts: Existence conditions · Irrational inequality · Absolute value
Methods: Squaring · Non-negative sides shortcut
Skills: Proving · Solving inequalities

Una disequazione “scorciatoia” tipica: una distanza da confrontare con un valore.

Esempio — Distanza nel fascio di rette

Nel fascio di rette $f_k:\ x-ky+k+2=0$, determina i valori di $k$ per cui la distanza dal punto $Q(1;2)$ alla retta del fascio è minore di $1$.

Distanza punto–retta: $d(Q,f_k)=\frac{|1\cdot 1 - k\cdot 2 + k+2|}{\sqrt{1+k^2}} = \frac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}}.$

Disequazione: $\dfrac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}} < 1$.

CE: il denominatore è $\sqrt{1+k^2}$ con $1+k^2>0$ sempre, quindi nessuna restrizione su $k$.

Il denominatore è strettamente positivo, quindi possiamo moltiplicare entrambi i membri per $\sqrt{1+k^2}$ conservando il verso: $|3-k| < \sqrt{1+k^2}.$ Siamo nel caso $|A| < \sqrt{B}$: entrambi i membri sono $\ge 0$, possiamo elevare al quadrato direttamente: $(3-k)^2 < 1+k^2 \iff 9-6k+k^2 < 1+k^2 \iff -6k < -8 \iff k>\tfrac{4}{3}.$

Soluzione: $\boxed{\,k>\tfrac{4}{3}\,}$.

Nota come il valore assoluto e la radice, entrambi non negativi, permettano di elevare al quadrato “a colpo sicuro”: il $|3-k|^2=(3-k)^2$ fa sparire il modulo senza alcuno studio del segno.

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Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Disequazione irrazionale · Distanza punto retta · Fascio di rette · Retta · Valore assoluto
Metodi: Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

A typical “shortcut” inequality: a distance to be compared with a value.

Example — Distance in a pencil of lines

In the pencil of lines $f_k:\ x-ky+k+2=0$, determine the values of $k$ for which the distance from the point $Q(1;2)$ to the line of the pencil is less than $1$.

Point–line distance: $d(Q,f_k)=\frac{|1\cdot 1 - k\cdot 2 + k+2|}{\sqrt{1+k^2}} = \frac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}}.$

Inequality: $\dfrac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}} < 1$.

Existence conditions: the denominator is $\sqrt{1+k^2}$ with $1+k^2>0$ always, so no restriction on $k$.

The denominator is strictly positive, so we can multiply both sides by $\sqrt{1+k^2}$ preserving the direction: $|3-k| < \sqrt{1+k^2}.$ We are in the case $|A| < \sqrt{B}$: both sides are $\ge 0$, we can square directly: $(3-k)^2 < 1+k^2 \iff 9-6k+k^2 < 1+k^2 \iff -6k < -8 \iff k>\tfrac{4}{3}.$

Solution: $\boxed{\,k>\tfrac{4}{3}\,}$.

Note how the absolute value and the root, both non-negative, allow squaring “with certainty”: the $|3-k|^2=(3-k)^2$ makes the modulus disappear without any sign study.

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Topics: Irrational inequalities
Concepts: Irrational inequality · Point–line distance · Pencil of lines · Line · Absolute value
Methods: Non-negative sides shortcut
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Quando entrambi i membri sono radicali, la scorciatoia è immediata: si scrivono le CE su tutti e due gli argomenti e si eleva al quadrato.

Esempio — $\sqrt{x^2-1}\ge \sqrt{x+5}$

CE: $\begin{cases}x^2-1\ge 0 \\ x+5\ge 0\end{cases} \iff \begin{cases}x\le -1 \vee x\ge 1 \\ x\ge -5\end{cases} \iff -5\le x\le -1 \vee x\ge 1.$

Elevamento al quadrato (lecito perché entrambi i membri sono $\ge 0$): $x^2-1\ge x+5 \iff x^2-x-6\ge 0 \iff (x-3)(x+2)\ge 0 \iff x\le -2 \vee x\ge 3.$

Intersezione con le CE:

• con $-5\le x\le -1$: la zona $x\le -2$, ovvero $-5\le x\le -2$;
• con $x\ge 1$: la zona $x\ge 3$.

Soluzione: $\boxed{\,-5\le x\le -2 \ \vee\ x\ge 3\,}$.

Il passaggio delicato non è l’elevamento (qui gratuito), ma ricordarsi di intersecare il risultato con le CE: senza di esse si includerebbero valori in cui una delle due radici non esiste.

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Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Elevamento al quadrato
Metodi: Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Risolvere disequazioni

When both sides are radicals, the shortcut is immediate: one writes the existence conditions on both arguments and squares.

Example — $\sqrt{x^2-1}\ge \sqrt{x+5}$

Existence conditions: $\begin{cases}x^2-1\ge 0 \\ x+5\ge 0\end{cases} \iff \begin{cases}x\le -1 \vee x\ge 1 \\ x\ge -5\end{cases} \iff -5\le x\le -1 \vee x\ge 1.$

Squaring (legitimate because both sides are $\ge 0$): $x^2-1\ge x+5 \iff x^2-x-6\ge 0 \iff (x-3)(x+2)\ge 0 \iff x\le -2 \vee x\ge 3.$

Intersection with the existence conditions:

• with $-5\le x\le -1$: the region $x\le -2$, that is $-5\le x\le -2$;
• with $x\ge 1$: the region $x\ge 3$.

Solution: $\boxed{\,-5\le x\le -2 \ \vee\ x\ge 3\,}$.

The delicate step is not the squaring (free here), but remembering to intersect the result with the existence conditions: without them one would include values where one of the two roots does not exist.

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