Definizione e forma canonica

L’ellisse è il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due fuochi è costante. Da questa definizione, ponendo i fuochi in $F_1(-c;0)$ e $F_2(c;0)$, si ricava con un doppio elevamento al quadrato l’equazione canonica $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, dove $b^2=a^2-c^2$. Chiude la sezione la classica costruzione dei giardinieri con due chiodi e uno spago.

• Definizione di ellisse
• Costruzione con chiodi e spago
• Equazione canonica
• Dimostrazione dell’equazione canonica

The ellipse is the locus of points whose sum of distances from two foci is constant. From this definition, placing the foci at $F_1(-c;0)$ and $F_2(c;0)$, a double squaring yields the canonical equation $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, where $b^2=a^2-c^2$. The section closes with the classic gardeners’ construction using two nails and a string.

• Definition of the ellipse
• Construction with nails and string
• Canonical equation
• Proof of the canonical equation

L’ellisse nasce da una condizione geometrica molto semplice, che generalizza quella della parabola: invece di un solo fuoco se ne prendono due, e si chiede che la somma delle distanze da essi sia costante.

Definizione — Ellisse

Un’ellisse è il luogo dei punti $P$ del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi $F_1, F_2$ (detti fuochi) è una costante positiva, maggiore della distanza tra i fuochi stessi: $P\in E \iff d(P,F_1) + d(P,F_2) = 2a, \qquad 2a > d(F_1,F_2).$

Per ogni punto $P$ dell’ellisse vale $d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a$; $a$ è il semiasse maggiore, $b$ quello minore, e i fuochi distano dall’origine una quantità $c=\sqrt{a^2-b^2}$.

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Ellisse · Fuochi · Luogo geometrico · Semiassi

The ellipse arises from a very simple geometric condition, which generalises that of the parabola: instead of a single focus, two are taken, and one requires that the sum of the distances from them be constant.

Definition — Ellipse

An ellipse is the locus of points $P$ of the plane such that the sum of the distances from two fixed points $F_1, F_2$ (called foci) is a positive constant, greater than the distance between the foci themselves: $P\in E \iff d(P,F_1) + d(P,F_2) = 2a, \qquad 2a > d(F_1,F_2).$

For every point $P$ of the ellipse we have $d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a$; $a$ is the semi-major axis, $b$ the semi-minor axis, and the foci lie at a distance $c=\sqrt{a^2-b^2}$ from the origin.

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Topics: Ellipse
Concepts: Ellipse · Foci · Locus · Semi-axes

La definizione dell’ellisse come luogo a somma di distanze costante suggerisce un modo pratico e sorprendente per disegnarla.

Osservazione — Costruzione materiale con due chiodi e uno spago

Se piantiamo due chiodi in $F_1$ e $F_2$, leghiamo ai loro capi uno spago di lunghezza $2a$ e facciamo scorrere una matita che tiene lo spago teso, la matita disegnerà proprio un’ellisse. È una costruzione usata dai giardinieri per disegnare aiuole ellittiche.

Il motivo è immediato: in ogni istante lo spago teso rappresenta la somma $d(P,F_1)+d(P,F_2)$, che rimane pari alla lunghezza fissa $2a$ dello spago. Quindi ogni posizione della matita soddisfa esattamente la condizione della definizione.

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Ellisse · Fuochi

The definition of the ellipse as a locus with constant sum of distances suggests a practical and surprising way to draw it.

Observation — Physical construction with two nails and a string

If we drive two nails into $F_1$ and $F_2$, tie a string of length $2a$ to their ends and slide a pencil that keeps the string taut, the pencil will trace out precisely an ellipse. It is a construction used by gardeners to lay out elliptical flower beds.

The reason is immediate: at every instant the taut string represents the sum $d(P,F_1)+d(P,F_2)$, which stays equal to the fixed length $2a$ of the string. Thus every position of the pencil satisfies exactly the condition of the definition.

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Topics: Ellipse
Concepts: Ellipse · Foci

Scegliendo un sistema di riferimento comodo, con i fuochi simmetrici rispetto all’origine sull’asse $x$, la condizione della definizione si traduce in un’equazione particolarmente semplice.

Proprietà — Equazione canonica

Se $F_1(-c;0)$ e $F_2(c;0)$ con $c>0$ e $2a>2c$, l’ellisse ha equazione canonica $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{con}\quad b^2 = a^2 - c^2.$ I vertici sull’asse $x$ sono $V_1(-a;0)$ e $V_2(a;0)$; i vertici sull’asse $y$ sono $W_1(0;-b)$ e $W_2(0;b)$. I due numeri $a$ e $b$ si chiamano semiassi: $a$ è il semiasse maggiore (se $a > b$), $b$ è il semiasse minore.

La relazione $b^2 = a^2 - c^2$ lega tra loro i tre parametri fondamentali dell’ellisse: il semiasse maggiore $a$, il semiasse minore $b$ e la semidistanza focale $c$. Nota che è del tutto analoga al teorema di Pitagora, con $a$ come ipotenusa: i punti $(c;0)$, $(0;b)$ e l’origine formano infatti un triangolo rettangolo di ipotenusa $a$.

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Ellisse · Equazione canonica · Fuochi · Semiassi · Vertici
Metodi: Ellisse canonica
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

By choosing a convenient reference frame, with the foci symmetric with respect to the origin on the $x$-axis, the condition of the definition translates into a particularly simple equation.

Property — Canonical equation

If $F_1(-c;0)$ and $F_2(c;0)$ with $c>0$ and $2a>2c$, the ellipse has canonical equation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{con}\quad b^2 = a^2 - c^2.$ The vertices on the $x$-axis are $V_1(-a;0)$ and $V_2(a;0)$; the vertices on the $y$-axis are $W_1(0;-b)$ and $W_2(0;b)$. The two numbers $a$ and $b$ are called semi-axes: $a$ is the semi-major axis (if $a > b$), $b$ is the semi-minor axis.

The relation $b^2 = a^2 - c^2$ links together the three fundamental parameters of the ellipse: the semi-major axis $a$, the semi-minor axis $b$ and the focal semi-distance $c$. Note that it is entirely analogous to Pythagoras’ theorem, with $a$ as the hypotenuse: the points $(c;0)$, $(0;b)$ and the origin do in fact form a right triangle with hypotenuse $a$.

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Topics: Ellipse
Concepts: Ellipse · Canonical equation · Foci · Semi-axes · Vertices
Methods: Canonical ellipse
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Ricaviamo l’equazione canonica direttamente dalla definizione di luogo, traducendo in coordinate la condizione sulla somma delle distanze.

Dimostrazione — Equazione canonica

Dalla definizione di luogo, posto $P(x;y)$: $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a.$ Le due distanze sono entrambe $\ge 0$, ma la somma di due radicali non si può elevare al quadrato “direttamente”: bisogna prima isolarne una. $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}.$ Eleviamo al quadrato entrambi i membri (il secondo membro dev’essere $\ge 0$, cioè $2a \ge \sqrt{(x-c)^2+y^2}$, che è vero per definizione di ellisse): $(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2 + y^2.$ Sviluppando e semplificando i termini comuni: $4cx - 4a^2 = -4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \iff a^2 - cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$ Eleviamo al quadrato di nuovo (entrambi i membri $\ge 0$ dentro la regione di definizione): $a^4 - 2a^2 cx + c^2 x^2 = a^2\bigl[(x-c)^2 + y^2\bigr] = a^2 x^2 - 2a^2 cx + a^2 c^2 + a^2 y^2.$ Semplificando e riordinando: $a^4 - a^2 c^2 = (a^2 - c^2)x^2 + a^2 y^2.$ Ponendo $b^2 = a^2 - c^2$ (positivo perché $a > c$) e dividendo tutto per $a^2 b^2$ si arriva alla forma canonica. $\blacksquare$

Attenzione — Doppio elevamento al quadrato

L’unica vera difficoltà nella derivazione è che bisogna elevare al quadrato due volte, perché dopo il primo elevamento compare ancora un radicale. Una volta isolato il radicale residuo e fatto il secondo elevamento, i conti si semplificano magicamente.

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Ellisse · Equazione canonica · Luogo geometrico
Metodi: Ellisse canonica
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica · Risolvere equazioni

We derive the canonical equation directly from the definition of locus, translating the condition on the sum of the distances into coordinates.

Proof — Canonical equation

From the definition of locus, setting $P(x;y)$: $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a.$ The two distances are both $\ge 0$, but the sum of two radicals cannot be squared “directly”: one of them must first be isolated. $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}.$ We square both sides (the right-hand side must be $\ge 0$, that is $2a \ge \sqrt{(x-c)^2+y^2}$, which is true by the definition of the ellipse): $(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2 + y^2.$ Expanding and cancelling the common terms: $4cx - 4a^2 = -4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \iff a^2 - cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$ We square again (both sides $\ge 0$ inside the region of definition): $a^4 - 2a^2 cx + c^2 x^2 = a^2\bigl[(x-c)^2 + y^2\bigr] = a^2 x^2 - 2a^2 cx + a^2 c^2 + a^2 y^2.$ Simplifying and rearranging: $a^4 - a^2 c^2 = (a^2 - c^2)x^2 + a^2 y^2.$ Setting $b^2 = a^2 - c^2$ (positive because $a > c$) and dividing everything by $a^2 b^2$ we arrive at the canonical form. $\blacksquare$

Warning — Double squaring

The only real difficulty in the derivation is that one has to square twice, because after the first squaring a radical still appears. Once the remaining radical is isolated and the second squaring is done, the computations simplify magically.

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Topics: Ellipse
Concepts: Ellipse · Canonical equation · Locus
Methods: Canonical ellipse
Skills: Proving · Analytic geometry · Solving equations

La definizione dell’ellisse come luogo a somma di distanze costante è comoda per il calcolo, ma non spiega il nome della curva né il suo legame con il cono. Per capirlo bisogna risalire alla geometria greca e poi fare un salto di venti secoli fino a un’elegante dimostrazione ottocentesca.

Apollonio e le sezioni coniche

Nel III secolo a.C. Apollonio di Perga raccolse nelle sue Coniche lo studio sistematico delle curve che si ottengono tagliando un cono con un piano. Fu lui a introdurre i nomi ellisse, parabola e iperbole, presi dal vocabolario dei problemi di applicazione delle aree: il termine ellisse (dal greco élleipsis, “mancanza”, “difetto”) indica che una certa area risulta in difetto rispetto a un quadrato di confronto. Apollonio studiò queste curve con metodi puramente geometrici, senza coordinate e senza alcun riferimento ai fuochi: l’idea che l’ellisse fosse anche il luogo a somma di distanze costante era già nota agli antichi, ma il legame tra le due descrizioni — la sezione del cono e la proprietà focale — restava tutt’altro che ovvio.

Le sfere di Dandelin

Solo nel 1822 il matematico belga Germinal Pierre Dandelin trovò una dimostrazione tanto semplice quanto sorprendente di quel legame. Immaginiamo di tagliare un cono con un piano che ne produca un’ellisse. Nella regione tra il piano e il vertice inseriamo due sfere, ciascuna inscritta nel cono (cioè tangente lateralmente lungo una circonferenza) e tangente al piano di taglio: una “sopra” e una “sotto” la sezione. Queste due sfere si chiamano oggi sfere di Dandelin, e toccano il piano esattamente nei due fuochi $F_1$ e $F_2$ dell’ellisse.

L’argomento sfrutta un solo fatto elementare: due segmenti di tangente condotti da uno stesso punto a una sfera hanno la stessa lunghezza. Sia $P$ un punto qualunque dell’ellisse e tracciamo la generatrice del cono che passa per $P$: essa tocca le due sfere in due punti, $A$ e $B$. Allora il segmento $PF_1$ e il segmento $PA$ sono entrambi tangenti alla sfera superiore da $P$, dunque $PF_1 = PA$; analogamente $PF_2 = PB$. Sommando, $PF_1 + PF_2 = PA + PB = AB,$ e $AB$ è la distanza, misurata lungo il cono, tra le due circonferenze di tangenza: una quantità che non dipende dal punto $P$ scelto. Ritroviamo così, per pura geometria dello spazio, la definizione focale $d(P,F_1) + d(P,F_2) = 2a$, con $2a = AB$. È il ponte che unisce l’ellisse di Apollonio, nata dal taglio del cono, all’ellisse dei fuochi che disegniamo con chiodi e spago (Boyer; Stillwell).

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Ellisse · Fuochi
Persone: Apollonio di Perga · Germinal Pierre Dandelin

Defining the ellipse as the locus where the sum of distances is constant is convenient for computation, but it explains neither the name of the curve nor its connection with the cone. To understand that, we must go back to Greek geometry and then jump twenty centuries forward to an elegant nineteenth-century proof.

Apollonius and the conic sections

In the third century BC Apollonius of Perga gathered in his Conics the systematic study of the curves obtained by cutting a cone with a plane. It was he who introduced the names ellipse, parabola and hyperbola, borrowed from the vocabulary of the application-of-areas problems: the word ellipse (from the Greek élleipsis, “falling short”, “deficiency”) signals that a certain area comes out deficient compared with a reference square. Apollonius studied these curves by purely geometric methods, with no coordinates and no reference to foci: the idea that the ellipse was also the locus of constant sum of distances was already known to the ancients, but the link between the two descriptions — the section of the cone and the focal property — remained far from obvious.

The Dandelin spheres

Only in 1822 did the Belgian mathematician Germinal Pierre Dandelin find a proof of that link, as simple as it is surprising. Imagine cutting a cone with a plane that produces an ellipse. In the region between the plane and the apex we insert two spheres, each inscribed in the cone (that is, tangent to it along a circle) and tangent to the cutting plane: one “above” and one “below” the section. These two spheres are today called Dandelin spheres, and they touch the plane exactly at the two foci $F_1$ and $F_2$ of the ellipse.

The argument uses a single elementary fact: two tangent segments drawn from the same point to a sphere have equal length. Let $P$ be any point of the ellipse and draw the generator of the cone through $P$: it touches the two spheres at two points, $A$ and $B$. Then the segment $PF_1$ and the segment $PA$ are both tangent to the upper sphere from $P$, so $PF_1 = PA$; likewise $PF_2 = PB$. Adding, $PF_1 + PF_2 = PA + PB = AB,$ and $AB$ is the distance, measured along the cone, between the two circles of tangency: a quantity that does not depend on the chosen point $P$. Thus, by pure solid geometry, we recover the focal definition $d(P,F_1) + d(P,F_2) = 2a$, with $2a = AB$. This is the bridge joining Apollonius’s ellipse, born from the section of the cone, to the ellipse of the foci that we draw with nails and string (Boyer; Stillwell).

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