Definizione di probabilità

Che cos’è, esattamente, la probabilità di un evento? Esistono più modi di rispondere: l’approccio frequentista la lega alla frequenza con cui l’evento si ripete in molte prove, mentre l’approccio soggettivista (dovuto a Bruno de Finetti) la interpreta come il prezzo equo di una scommessa. Entrambi conducono alle stesse regole formali, riassunte negli assiomi di Kolmogorov, da cui discendono le proprietà pratiche del calcolo: probabilità del complementare e probabilità dell’unione di due eventi.

• Approccio frequentista e soggettivista
• Assiomi di Kolmogorov
• Complementare e unione di eventi

What exactly is the probability of an event? There are several ways to answer: the frequentist approach ties it to the frequency with which the event recurs over many trials, whereas the subjectivist approach (due to Bruno de Finetti) interprets it as the fair price of a bet. Both lead to the same formal rules, summarised in Kolmogorov’s axioms, from which the practical properties of the calculus follow: the probability of the complement and the probability of the union of two events.

• Frequentist and subjectivist approach
• Kolmogorov’s axioms
• Complement and union of events

La parola “probabilità” può essere definita in modi diversi, che partono da idee differenti ma conducono alle stesse regole di calcolo.

In sintesi — Due approcci

• Frequentista: la probabilità di un evento $E$ è il limite della frequenza relativa di $E$ al crescere del numero di prove ripetute nelle stesse condizioni.
• De Finettiana (soggettivista): la probabilità di un evento $E$ è il prezzo che uno scommettitore razionale è disposto a pagare per un biglietto che vale $1$ se $E$ si verifica e $0$ altrimenti. È una misura di “fiducia” nel verificarsi di $E$.

Entrambe le definizioni portano alle stesse regole formali. Nel caso di esperimenti con casi equiprobabili (lancio di un dado equilibrato, estrazione da un’urna, ecc.) si ha la formula elementare $P(E) = \text{casi favorevoli}/\text{casi possibili}$.

La definizione soggettivista si deve al matematico italiano Bruno de Finetti, uno dei fondatori della moderna teoria della probabilità.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Definizione frequentista · Definizione soggettivista · Probabilita
Persone: De Finetti

The word “probability” can be defined in different ways, which start from different ideas but lead to the same rules of calculation.

In brief — Two approaches

• Frequentist: the probability of an event $E$ is the limit of the relative frequency of $E$ as the number of trials repeated under the same conditions grows.
• De Finettian (subjectivist): the probability of an event $E$ is the price that a rational gambler is willing to pay for a ticket worth $1$ if $E$ occurs and $0$ otherwise. It is a measure of “confidence” in the occurrence of $E$.

Both definitions lead to the same formal rules. In the case of experiments with equally likely cases (the roll of a fair die, drawing from an urn, and so on) we obtain the elementary formula $P(E) = \text{casi favorevoli}/\text{casi possibili}$.

The subjectivist definition is due to the Italian mathematician Bruno de Finetti, one of the founders of the modern theory of probability.

Links

Topics: Probability
Concepts: Frequentist definition · Subjectivist definition · Probability
People: De Finetti

Qualunque sia l’interpretazione che diamo alla probabilità, essa deve rispettare poche regole di base, formalizzate dal matematico russo Andrej Kolmogorov. Da questi tre assiomi discende tutto il calcolo delle probabilità.

Proprietà — Assiomi di Kolmogorov

Una funzione di probabilità $P$ sugli eventi soddisfa:

1. $0 \le P(E) \le 1$ per ogni evento $E$;
2. $P(\Omega) = 1$ (lo spazio campionario è certo);
3. $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2)$ se $E_1$ ed $E_2$ sono incompatibili (cioè $E_1 \cap E_2 = \emptyset$).

Il terzo assioma, detto di additività, si estende a un numero qualsiasi di eventi a due a due incompatibili.

Storia — L'assiomatizzazione di Kolmogorov (1933)

Per quasi tre secoli, da Pascal e Fermat in poi, la probabilità restò una raccolta di tecniche efficaci ma priva di un fondamento rigoroso. Fu il matematico russo Andrej Kolmogorov (1903–1987) a darle una base solida nel 1933, con l’opera Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (“Concetti fondamentali del calcolo delle probabilità”). Sfruttando la moderna teoria della misura, egli identificò la probabilità con una misura di massa totale $1$ definita su una famiglia di eventi, riducendo l’intera disciplina proprio ai tre assiomi qui sopra. Da allora il calcolo delle probabilità è diventato un capitolo pienamente rigoroso della matematica (Boyer; Kline).

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Assiomi di kolmogorov · Probabilita
Persone: Kolmogorov

Whatever interpretation we give to probability, it must obey a few basic rules, formalised by the Russian mathematician Andrey Kolmogorov. From these three axioms the whole of probability theory follows.

Property — Kolmogorov's axioms

A probability function $P$ on events satisfies:

1. $0 \le P(E) \le 1$ for every event $E$;
2. $P(\Omega) = 1$ (the sample space is certain);
3. $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2)$ if $E_1$ and $E_2$ are mutually exclusive (that is, $E_1 \cap E_2 = \emptyset$).

The third axiom, called the additivity axiom, extends to any number of pairwise mutually exclusive events.

History — Kolmogorov's axiomatisation (1933)

For almost three centuries, from Pascal and Fermat onwards, probability remained a collection of effective techniques but lacked a rigorous foundation. It was the Russian mathematician Andrey Kolmogorov (1903–1987) who gave it a solid basis in 1933, with the work Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (“Foundations of the Theory of Probability”). Drawing on modern measure theory, he identified probability with a measure of total mass $1$ defined on a family of events, reducing the whole discipline precisely to the three axioms above. From then on the calculus of probability became a fully rigorous branch of mathematics (Boyer; Kline).

Links

Topics: Probability
Concepts: Kolmogorov’s axioms · Probability
People: Kolmogorov

Dai tre assiomi di Kolmogorov seguono immediatamente i risultati più utilizzati nella pratica.

Proprietà — Primi risultati

Per qualunque evento $A$ e qualunque coppia di eventi $A, B$:

• $P(\emptyset) = 0$, $\; P(\Omega) = 1$;
• Evento contrario (complementare): $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$;
• Unione di due eventi: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (con sottrazione dell’intersezione contata due volte).

La formula dell’unione sottrae $P(A \cap B)$ perché, sommando $P(A)$ e $P(B)$, gli esiti comuni a entrambi verrebbero altrimenti conteggiati due volte.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Evento complementare · Probabilita · Unione di eventi
Metodi: Complementare prob
Competenze: Usare formule

From Kolmogorov’s three axioms the most widely used results in practice follow immediately.

Property — First results

For any event $A$ and any pair of events $A, B$:

• $P(\emptyset) = 0$, $\; P(\Omega) = 1$;
• Opposite (complementary) event: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$;
• Union of two events: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (subtracting the intersection counted twice).

The union formula subtracts $P(A \cap B)$ because, on adding $P(A)$ and $P(B)$, the outcomes common to both would otherwise be counted twice.

Links

Topics: Probability
Concepts: Complementary event · Probability · Union of events
Methods: Complementary prob
Skills: Using formulae

Molto prima del celebre carteggio tra Pascal e Fermat del 1654, un medico e matematico milanese aveva già intuito le regole del caso al tavolo da gioco.

Gerolamo Cardano (1501–1576) — lo stesso a cui dobbiamo la formula risolutiva dell’equazione di terzo grado — era un accanito giocatore d’azzardo. Intorno al 1564 scrisse il Liber de ludo aleae (“Libro sul gioco dei dadi”), che è considerato il primo trattato sistematico di calcolo delle probabilità. L’opera ebbe però un destino sfortunato: rimase inedita e fu pubblicata solo postuma nel 1663, quando ormai Pascal e Fermat avevano già fondato la nuova disciplina, così che la sua influenza storica fu quasi nulla (Boyer; Katz).

In quel libretto Cardano formulò, forse per la prima volta con chiarezza, l’idea che in un gioco equo la probabilità di un evento sia il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero totale di casi ugualmente possibili. Lanciando un dado equilibrato, per esempio, la probabilità di ottenere un numero pari è $P(\text{pari}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$ Cardano comprese anche che con il lancio di due dadi i casi possibili sono $6 \times 6 = 36$, e ne enumerò correttamente gli esiti — un ragionamento combinatorio tutt’altro che ovvio all’epoca. Intuì persino una versione rudimentale della regola del prodotto per eventi ripetuti e indipendenti, pur commettendo alcuni errori che soltanto Pascal e Fermat avrebbero poi corretto in modo rigoroso.

La figura di Cardano ci ricorda che le grandi idee matematiche raramente nascono in un istante: la probabilità “classica” attribuita a Laplace affonda le sue radici in intuizioni maturate nei due secoli precedenti, spesso proprio nella pratica concreta del gioco d’azzardo.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Casi favorevoli casi possibili · Probabilita
Persone: Gerolamo Cardano · Pierre-Simon Laplace

Long before the famous correspondence between Pascal and Fermat of 1654, a physician and mathematician from Milan had already grasped the rules of chance at the gaming table.

Gerolamo Cardano (1501–1576) — the same man to whom we owe the formula for solving the cubic equation — was an inveterate gambler. Around 1564 he wrote the Liber de ludo aleae (“Book on Games of Dice”), which is regarded as the first systematic treatise on the calculus of probability. The work had an unlucky fate, however: it remained unpublished and appeared only posthumously in 1663, by which time Pascal and Fermat had already founded the new discipline, so that its historical influence was almost nil (Boyer; Katz).

In that little book Cardano stated, perhaps for the first time clearly, the idea that in a fair game the probability of an event is the ratio between the number of favourable cases and the total number of equally possible cases. Rolling a fair die, for instance, the probability of getting an even number is $P(\text{even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$ Cardano also understood that with a throw of two dice the possible cases are $6 \times 6 = 36$, and he correctly enumerated the outcomes — a piece of combinatorial reasoning by no means obvious at the time. He even glimpsed a rudimentary version of the product rule for repeated, independent events, though he made a few errors that only Pascal and Fermat would later correct rigorously.

Cardano’s figure reminds us that great mathematical ideas rarely arise in an instant: the “classical” probability attributed to Laplace has its roots in insights that matured over the two preceding centuries, often precisely in the concrete practice of gambling.

Links

Topics: Probability
Concepts: Probability · Favourable cases over possible cases
People: Gerolamo Cardano · Pierre-Simon de Laplace