Sviluppo di Taylor

Il differenziale approssima $f$ con una retta; il polinomio di Taylor fa di meglio, approssimandola con una parabola, poi una cubica, e così via. È la generalizzazione delle “funzioni equivalenti” viste con i limiti, con un resto (Lagrange, Peano, Cauchy) che controlla l’errore. Chiudono la sezione gli sviluppi di Maclaurin fondamentali e le applicazioni al calcolo dei limiti.

• Dall’idea del differenziale a Taylor
• Derivate successive
• Il polinomio di Taylor
• Il resto — Lagrange, Peano, Cauchy
• Sviluppi di Maclaurin notevoli
• Applicazioni di Taylor — limiti e infinitesimi

The differential approximates $f$ with a line; the Taylor polynomial does better, approximating it with a parabola, then a cubic, and so on. It is the generalisation of the “equivalent functions” seen with limits, with a remainder (Lagrange, Peano, Cauchy) that controls the error. The section closes with the fundamental Maclaurin expansions and the applications to computing limits.

• From the idea of the differential to Taylor
• Higher-order derivatives
• The Taylor polynomial
• The remainder — Lagrange, Peano, Cauchy
• Standard Maclaurin expansions
• Applications of Taylor — limits and infinitesimals