Formule di Cardano per le equazioni di terzo grado

La box storica di apertura ha raccontato la rivalità Tartaglia–Cardano. Qui vediamo concretamente la formula di Cardano per risolvere le equazioni di terzo grado: è la generalizzazione naturale della formula del $\Delta$ per il secondo grado, ed è il vero motivo per cui i matematici del Rinascimento dovettero arrendersi all’esistenza dei numeri immaginari. Il percorso passa per due mosse: ridurre l’equazione alla forma depressa e poi applicare la formula risolutiva.

• La forma depressa
• La formula di Cardano
• Cardano in azione
• Il caso irriducibile e i numeri immaginari
• Una cubica completa

The opening historical box told of the Tartaglia–Cardano rivalry. Here we see concretely the Cardano formula for solving third-degree equations: it is the natural generalisation of the $\Delta$ formula for the second degree, and it is the real reason why the mathematicians of the Renaissance had to surrender to the existence of imaginary numbers. The path passes through two moves: reducing the equation to the depressed form and then applying the solving formula.

• The depressed form
• Cardano’s formula
• Cardano in action
• The irreducible case and imaginary numbers
• A complete cubic

La formula di Cardano per le equazioni di terzo grado è la generalizzazione naturale della formula del $\Delta$ per il secondo grado, ed è il vero motivo per cui i matematici del Rinascimento dovettero arrendersi all’esistenza dei numeri immaginari (che incontreremo formalmente nel capitolo sui numeri complessi). Il primo passo consiste nel semplificare l’equazione eliminando il termine di secondo grado.

Passo 1: ridurre alla forma depressa. Ogni equazione di terzo grado $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ($a\neq 0$) può essere ridotta, con la sostituzione $x=y-\dfrac{b}{3a}$, alla forma depressa $y^3 + py + q = 0,$ in cui sparisce il termine di secondo grado. È l’analogo del completamento del quadrato fatto per il secondo grado.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione terzo grado · Forma depressa
Competenze: Risolvere equazioni
Persone: Gerolamo Cardano

Cardano’s formula for third-degree equations is the natural generalisation of the $\Delta$ formula for the second degree, and it is the real reason why the mathematicians of the Renaissance had to surrender to the existence of imaginary numbers (which we shall meet formally in the chapter on complex numbers). The first step consists in simplifying the equation by removing the second-degree term.

Step 1: reduce to the depressed form. Every third-degree equation $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ($a\neq 0$) can be reduced, with the substitution $x=y-\dfrac{b}{3a}$, to the depressed form $y^3 + py + q = 0,$ in which the second-degree term disappears. It is the analogue of the completing of the square done for the second degree.

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Third-degree equation · Depressed form
Skills: Solving equations
People: Gerolamo Cardano

Passo 2: la formula di Cardano. Una volta ridotta l’equazione alla forma depressa $y^3+py+q=0$, la soluzione si ottiene da una formula chiusa che ricorda quella del secondo grado.

Proprietà — Formula di Cardano per $y^3+py+q=0$

Posto il discriminante della cubica $\Delta_3 = -4p^3-27q^2 \quad\text{(o equivalentemente }\, D=\Bigl(\tfrac{q}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{p}{3}\Bigr)^3\text{),}$ una soluzione è $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}.$

Il segno di $D$ gioca lo stesso ruolo del discriminante del secondo grado: se $D>0$ c’è una sola radice reale, se $D<0$ ce ne sono tre reali (il “caso irriducibile”), se $D=0$ le radici reali coincidono in parte.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Discriminante cubica · Equazione terzo grado · Forma depressa
Metodi: Cardano cubica
Competenze: Usare formule
Persone: Gerolamo Cardano

Step 2: Cardano’s formula. Once the equation has been reduced to the depressed form $y^3+py+q=0$, the solution is obtained from a closed formula reminiscent of the one for the second degree.

Property — Cardano's formula for $y^3+py+q=0$

Setting the discriminant of the cubic $\Delta_3 = -4p^3-27q^2 \quad\text{(or equivalently }\, D=\Bigl(\tfrac{q}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{p}{3}\Bigr)^3\text{),}$ one solution is $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}.$

The sign of $D$ plays the same role as the discriminant of the second degree: if $D>0$ there is a single real root, if $D<0$ there are three real ones (the “irreducible case”), if $D=0$ the real roots partly coincide.

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Discriminant of the cubic · Third-degree equation · Depressed form
Methods: Cardano cubic
Skills: Using formulas
People: Gerolamo Cardano

Applichiamo la formula di Cardano a una cubica già in forma depressa.

Esempio — Cardano in azione: $y^3+6y-20=0$

Qui $p=6$, $q=-20$. $D = 100 + 8 = 108 > 0$ (una sola radice reale). $y = \sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}} = \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}+\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}} = 2.$ L’identità $(1+\sqrt{3})^3 = 10+6\sqrt{3}$ permette di semplificare le radici cubiche.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione terzo grado
Metodi: Cardano cubica
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

Let us apply Cardano’s formula to a cubic already in depressed form.

Example — Cardano in action: $y^3+6y-20=0$

Here $p=6$, $q=-20$. $D = 100 + 8 = 108 > 0$ (a single real root). $y = \sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}} = \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}+\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}} = 2.$ The identity $(1+\sqrt{3})^3 = 10+6\sqrt{3}$ lets us simplify the cube roots.

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Third-degree equation
Methods: Cardano cubic
Skills: Solving equations · Using formulas

Osservazione — Il "caso irriducibile" e i numeri immaginari

Quando $D<0$ la formula chiede di estrarre la radice quadrata di un numero negativo: i matematici del 1500 ne erano disgustati. Ma il bello è che, anche in questo caso, le tre radici reali esistono (perché $\Delta_3>0$): la formula le esprime passando per quantità immaginarie che, sommandosi, danno comunque numeri reali. È il primo esempio storico in cui “per arrivare al reale bisogna passare dall’immaginario”. Cardano stesso fece i conti con $\sqrt{-15}$ nell’Ars Magna, dichiarandoli “tanto sottili quanto inutili”. Bombelli (1572) ne fece un calcolo coerente: lo riprenderemo nel capitolo Numeri complessi (Boyer, cap. 13).

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Discriminante cubica · Equazione terzo grado · Numeri immaginari
Persone: Rafael Bombelli · Gerolamo Cardano

Observation — The "irreducible case" and imaginary numbers

When $D<0$ the formula asks us to take the square root of a negative number: the mathematicians of the 1500s were disgusted by it. But the beauty is that, even in this case, the three real roots exist (because $\Delta_3>0$): the formula expresses them by passing through imaginary quantities which, on adding up, nevertheless give real numbers. It is the first historical example in which “to reach the real one must pass through the imaginary”. Cardano himself reckoned with $\sqrt{-15}$ in the Ars Magna, declaring them “as subtle as they are useless”. Bombelli (1572) made a consistent computation of them: we shall return to this in the chapter Complex numbers (Boyer, ch. 13).

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Discriminant of the cubic · Third-degree equation · Imaginary numbers
People: Rafael Bombelli · Gerolamo Cardano

Quando la cubica non è depressa, si applica prima la sostituzione che elimina il termine di secondo grado e poi la formula di Cardano.

Esempio — Cubica completa: $x^3-3x^2-3x-5=0$

Pongo $x=y+1$ e deprimo. Espandendo: $(y+1)^3-3(y+1)^2-3(y+1)-5 = y^3-6y-10 = 0.$ $p=-6$, $q=-10$, $D=25-8=17>0$. Formula: $y=\sqrt[3]{5+\sqrt{17}}+\sqrt[3]{5-\sqrt{17}}\approx 2{,}904.$ Quindi $x = y+1\approx 3{,}904$ è la radice reale.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione terzo grado · Forma depressa
Metodi: Cardano cubica
Competenze: Risolvere equazioni

When the cubic is not depressed, one first applies the substitution that removes the second-degree term and then Cardano’s formula.

Example — Complete cubic: $x^3-3x^2-3x-5=0$

I set $x=y+1$ and depress. Expanding: $(y+1)^3-3(y+1)^2-3(y+1)-5 = y^3-6y-10 = 0.$ $p=-6$, $q=-10$, $D=25-8=17>0$. Formula: $y=\sqrt[3]{5+\sqrt{17}}+\sqrt[3]{5-\sqrt{17}}\approx 2{,}904.$ Hence $x = y+1\approx 3{,}904$ is the real root.

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Methods: Cardano cubic
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