Piramidi

La piramide ha una base poligonale e un vertice fuori dal suo piano, con facce laterali triangolari. Studiamo la definizione, le formule di volume, superficie e apotema per la piramide retta regolare, e applichiamo tutto al tetraedro regolare.

• La piramide
• Volume, superficie e apotema della piramide
• Il tetraedro regolare

The pyramid has a polygonal base and a vertex outside its plane, with triangular lateral faces. We study the definition, the formulas for volume, surface area and slant height for the right regular pyramid, and apply it all to the regular tetrahedron.

• The pyramid
• Volume, surface area and slant height of the pyramid
• The regular tetrahedron

La piramide è il poliedro che “converge” verso un unico vertice.

Definizione — Piramide

Una piramide ha una base poligonale e un vertice $V$ fuori dal piano della base; le facce laterali sono triangoli. È retta se il piede dell’altezza condotta da $V$ coincide con il centro della base (e la base è regolare).

Piramide con vertice $V$, piede dell’altezza $H$ e altezza $h$.

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Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Piramide · Poliedro
Competenze: Geometria sintetica

The pyramid is the polyhedron that “converges” towards a single vertex.

Definition — Pyramid

A pyramid has a polygonal base and a vertex $V$ outside the plane of the base; the lateral faces are triangles. It is right if the foot of the altitude drawn from $V$ coincides with the centre of the base (and the base is regular).

Pyramid with vertex $V$, foot of the altitude $H$ and height $h$.

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Pyramid · Polyhedron
Skills: Synthetic geometry

Le formule della piramide retta regolare ruotano attorno a un elemento chiave, l’apotema della piramide.

Proprietà — Formule della piramide

• Volume: $V = \tfrac{1}{3}S_b\cdot h$.
• Superficie laterale (piramide retta regolare): $S_{\text{lat}} = \tfrac{1}{2}\, p_b\cdot a$, dove $a$ è l’apotema della piramide, cioè l’altezza di una faccia laterale triangolare.
• Apotema: se $m$ è l’apotema della base e $h$ l’altezza, allora $a = \sqrt{m^2+h^2}$.
• Angoli notevoli: l’angolo tra spigolo e base è quello tra lo spigolo laterale e la sua proiezione sulla base; l’angolo tra faccia e base è l’angolo diedro, che si misura con la sezione normale.

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Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Angolo diedro · Apotema · Piramide · Superficie · Volume
Competenze: Usare formule

The formulas of the right regular pyramid revolve around one key element, the slant height of the pyramid.

Property — Formulas of the pyramid

• Volume: $V = \tfrac{1}{3}S_b\cdot h$.
• Lateral surface area (right regular pyramid): $S_{\text{lat}} = \tfrac{1}{2}\, p_b\cdot a$, where $a$ is the slant height of the pyramid, that is, the height of a triangular lateral face.
• Slant height: if $m$ is the apothem of the base and $h$ the height, then $a = \sqrt{m^2+h^2}$.
• Notable angles: the angle between an edge and the base is the one between the lateral edge and its projection onto the base; the angle between a face and the base is the dihedral angle, which is measured with the normal section.

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Dihedral angle · Apothem · Pyramid · Surface area · Volume
Skills: Using formulas

Il tetraedro regolare è la piramide più simmetrica: una piramide a base triangolare con tutte le facce uguali.

Esempio — Tetraedro regolare

Tutte le facce sono triangoli equilateri di lato $\ell=2$.

• Altezza del triangolo equilatero di base: $h_b=\sqrt{3}$.
• Apotema della base: $m = h_b/3 = \sqrt{3}/3$.
• Raggio del cerchio inscritto nella base: $r = \sqrt{3}/3$.
• Altezza del tetraedro: $h=\sqrt{\ell^2 - (2m)^2} = \sqrt{4 - \tfrac{4}{3}} = \sqrt{\tfrac{8}{3}} = 2\sqrt{\tfrac{2}{3}}.$

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Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Apotema · Piramide · Poliedri regolari
Competenze: Calcolare · Usare formule

The regular tetrahedron is the most symmetric pyramid: a pyramid with a triangular base and all faces equal.

Example — Regular tetrahedron

All the faces are equilateral triangles with side $\ell=2$.

• Height of the equilateral triangle of the base: $h_b=\sqrt{3}$.
• Apothem of the base: $m = h_b/3 = \sqrt{3}/3$.
• Radius of the circle inscribed in the base: $r = \sqrt{3}/3$.
• Height of the tetrahedron: $h=\sqrt{\ell^2 - (2m)^2} = \sqrt{4 - \tfrac{4}{3}} = \sqrt{\tfrac{8}{3}} = 2\sqrt{\tfrac{2}{3}}.$

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Apothem · Pyramid · Regular polyhedra
Skills: Calculating · Using formulas