Probabilità condizionata e correlazione

Spesso vogliamo aggiornare la probabilità di un evento alla luce di un’informazione già acquisita: è questo il ruolo della probabilità condizionata $P(A \mid B)$. Da essa nasce la formula del prodotto, che esprime la probabilità dell’intersezione di due eventi, e la nozione di correlazione, che misura se il verificarsi di un evento favorisce, sfavorisce o lascia invariato l’altro.

• Probabilità condizionata
• Formula del prodotto
• Correlazione tra eventi

Often we want to update the probability of an event in the light of information already acquired: this is the role of conditional probability $P(A \mid B)$. From it arises the product formula, which expresses the probability of the intersection of two events, and the notion of correlation, which measures whether the occurrence of one event favours, works against, or leaves unchanged the other.

• Conditional probability
• Product formula
• Correlation between events

Quando riceviamo un’informazione su un esperimento, la probabilità che assegniamo a un evento può cambiare. La probabilità condizionata formalizza questo aggiornamento.

Definizione

La probabilità condizionata di $A$ dato $B$, con $P(B) > 0$, è: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$ È la probabilità di $A$ “sapendo che” $B$ si è verificato: riduce l’universo degli esiti a $B$ e misura la frazione di $B$ che sta anche in $A$.

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Probabilita · Probabilita condizionata
Metodi: Prob condizionata
Competenze: Calcolo probabilita

When we receive some information about an experiment, the probability we assign to an event can change. Conditional probability formalises this update.

Definition

The conditional probability of $A$ given $B$, with $P(B) > 0$, is: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$ It is the probability of $A$ “knowing that” $B$ has occurred: it reduces the universe of outcomes to $B$ and measures the fraction of $B$ that also lies in $A$.

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Topics: Probability
Concepts: Probability · Conditional probability
Methods: Conditional prob
Skills: Calculating probability

Riordinando la definizione di probabilità condizionata otteniamo un’espressione per la probabilità dell’intersezione di due eventi.

Proprietà — Formula del prodotto

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A).$

La doppia scrittura mostra che possiamo scomporre l’intersezione partendo indifferentemente da $A$ o da $B$: si sceglie quello per cui le probabilità sono più facili da calcolare.

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Formula del prodotto · Probabilita condizionata
Competenze: Usare formule

Rearranging the definition of conditional probability we obtain an expression for the probability of the intersection of two events.

Property — Product formula

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A).$

The two ways of writing it show that we can decompose the intersection starting equally from $A$ or from $B$: we choose the one for which the probabilities are easier to compute.

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Topics: Probability
Concepts: Product formula · Conditional probability
Skills: Using formulae

La correlazione misura quanto il verificarsi di un evento modifica la probabilità di un altro, confrontando la probabilità dell’intersezione con quella che avremmo se i due eventi fossero indipendenti.

Definizione — Correlazione

La correlazione tra due eventi $A$ e $B$ è la quantità: $\operatorname{corr}(A,B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A) \cdot P(B)} - 1.$

• Se $\operatorname{corr}(A,B) = 0$: gli eventi sono indipendenti (definizione equivalente a $P(A \cap B) = P(A)P(B)$).
• Se $\operatorname{corr}(A,B) > 0$: correlazione positiva. Il verificarsi di $B$ favorisce $A$, cioè $P(A \mid B) > P(A)$.
• Se $\operatorname{corr}(A,B) < 0$: correlazione negativa. Il verificarsi di $B$ sfavorisce $A$, cioè $P(A \mid B) < P(A)$.

Esempio — Eventi indipendenti vs correlati

Lancio due dadi equilibrati. Evento $A$: “il primo dado mostra 6”. Evento $B$: “il secondo dado mostra 6”. $P(A) = P(B) = 1/6$, $P(A \cap B) = 1/36$. Il prodotto $P(A) \cdot P(B) = 1/36$ coincide con $P(A \cap B)$: indipendenti. ✓

Evento $C$: “la somma dei due dadi è $12$”. $P(C) = 1/36$ (solo l’esito $(6,6)$). $P(C \mid A)$: sapendo che il primo è $6$, il secondo deve essere $6$: $P(C \mid A) = 1/6$. Poiché $1/6 > 1/36$, i due eventi $A$ e $C$ sono correlati positivamente.

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Correlazione · Eventi indipendenti · Probabilita condizionata
Competenze: Calcolo probabilita

Correlation measures how much the occurrence of one event changes the probability of another, comparing the probability of the intersection with the one we would have if the two events were independent.

Definition — Correlation

The correlation between two events $A$ and $B$ is the quantity: $\operatorname{corr}(A,B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A) \cdot P(B)} - 1.$

• If $\operatorname{corr}(A,B) = 0$: the events are independent (a definition equivalent to $P(A \cap B) = P(A)P(B)$).
• If $\operatorname{corr}(A,B) > 0$: positive correlation. The occurrence of $B$ favours $A$, that is, $P(A \mid B) > P(A)$.
• If $\operatorname{corr}(A,B) < 0$: negative correlation. The occurrence of $B$ works against $A$, that is, $P(A \mid B) < P(A)$.

Example — Independent vs correlated events

I roll two fair dice. Event $A$: “the first die shows 6”. Event $B$: “the second die shows 6”. $P(A) = P(B) = 1/6$, $P(A \cap B) = 1/36$. The product $P(A) \cdot P(B) = 1/36$ coincides with $P(A \cap B)$: independent. ✓

Event $C$: “the sum of the two dice is $12$”. $P(C) = 1/36$ (only the outcome $(6,6)$). $P(C \mid A)$: knowing that the first is $6$, the second must be $6$: $P(C \mid A) = 1/6$. Since $1/6 > 1/36$, the two events $A$ and $C$ are positively correlated.

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Concepts: Correlation · Independent events · Conditional probability
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