Equazione della circonferenza

La circonferenza nasce come luogo geometrico: l’insieme dei punti che distano una quantità fissa da un centro. Traducendo questa condizione in coordinate si ottiene la sua equazione, che può presentarsi in due forme equivalenti (vertice e standard). In questa sezione ricaviamo l’equazione, dimostriamo il passaggio dalla definizione alla formula e impariamo a riconoscere quando un’equazione di secondo grado rappresenta davvero una circonferenza.

• Definizione di circonferenza
• Forma implicita ed esplicita
• Dalla definizione all’equazione
• Quando un’equazione è una circonferenza

The circle arises as a locus: the set of points lying at a fixed distance from a centre. Translating this condition into coordinates yields its equation, which can appear in two equivalent forms (vertex and standard). In this section we derive the equation, prove the passage from the definition to the formula, and learn to recognise when a second-degree equation really represents a circle.

• Definition of a circle
• Implicit and explicit form
• From the definition to the equation
• When an equation is a circle

Nel piano cartesiano la circonferenza si definisce, come in geometria euclidea, attraverso una condizione sulle distanze: tutti e soli i punti che si trovano a distanza fissata da un punto dato.

Definizione — Circonferenza

La circonferenza di centro $C(x_0;y_0)$ e raggio $R>0$ è il luogo dei punti del piano che distano esattamente $R$ da $C$: $P \in \text{circonferenza} \iff d(P, C) = R.$

Il centro $C$ e il raggio $R$ individuano completamente la circonferenza: basta conoscere questi due dati per tracciarla e, come vedremo, per scriverne l’equazione.

Esplora la definizione con la simulazione: trascina il centro $C$ e regola il raggio $r$ per vedere come cambia l’equazione della circonferenza.

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Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Centro · Circonferenza · Distanza tra punti · Luogo geometrico · Piano cartesiano · Raggio
Competenze: Geometria analitica

In the Cartesian plane the circle is defined, as in Euclidean geometry, through a condition on distances: all and only the points that lie at a fixed distance from a given point.

Definition — Circle

The circle with centre $C(x_0;y_0)$ and radius $R>0$ is the locus of the points of the plane that lie at exactly distance $R$ from $C$: $P \in \text{circonferenza} \iff d(P, C) = R.$

The centre $C$ and the radius $R$ completely determine the circle: knowing these two data is enough to draw it and, as we shall see, to write its equation.

Explore the definition with the simulation: drag the centre $C$ and adjust the radius $r$ to see how the equation of the circle changes.

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Topics: Analytical circle
Concepts: Centre · Circle · Distance between points · Locus · Cartesian plane · Radius
Skills: Analytical geometry

L’equazione della circonferenza si può scrivere in due forme equivalenti: la forma “vertice”, che mette in evidenza centro e raggio, e la forma “standard”, che è un’equazione di secondo grado con termini $x^2$ e $y^2$ dai coefficienti uguali.

Proprietà — Forma implicita ed esplicita

L’equazione di una circonferenza di centro $C(x_0;y_0)$ e raggio $R$ è $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \qquad \text{(forma ``vertice'')}$ che, sviluppando, diventa $x^2 + y^2 + a x + b y + c = 0 \qquad \text{(forma ``standard'')}$ con la corrispondenza $a = -2 x_0,\quad b = -2 y_0,\quad c = x_0^2 + y_0^2 - R^2.$ Invertendo, data l’equazione nella forma standard si ricavano centro e raggio: $\boxed{C\left(-\tfrac{a}{2};\ -\tfrac{b}{2}\right),\qquad R^2 = \tfrac{a^2}{4} + \tfrac{b^2}{4} - c.}$

Le due forme si usano in situazioni diverse: la forma vertice è comoda quando centro e raggio sono noti, la forma standard quando la circonferenza è data da un’equazione o va determinata imponendo delle condizioni.

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Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Centro · Equazione circonferenza · Forma standard · Forma vertice · Raggio
Metodi: Circonferenza equazione
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

The equation of a circle can be written in two equivalent forms: the “vertex” form, which highlights centre and radius, and the “standard” form, which is a second-degree equation with $x^2$ and $y^2$ terms having equal coefficients.

Property — Implicit and explicit form

The equation of a circle with centre $C(x_0;y_0)$ and radius $R$ is $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \qquad \text{(forma ``vertice'')}$ which, on expanding, becomes $x^2 + y^2 + a x + b y + c = 0 \qquad \text{(forma ``standard'')}$ with the correspondence $a = -2 x_0,\quad b = -2 y_0,\quad c = x_0^2 + y_0^2 - R^2.$ Inverting, given the equation in standard form the centre and radius are recovered: $\boxed{C\left(-\tfrac{a}{2};\ -\tfrac{b}{2}\right),\qquad R^2 = \tfrac{a^2}{4} + \tfrac{b^2}{4} - c.}$

The two forms are used in different situations: the vertex form is convenient when centre and radius are known, the standard form when the circle is given by an equation or is to be determined by imposing conditions.

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Topics: Analytical circle
Concepts: Centre · Circle equation · Standard form · Vertex form · Radius
Methods: Circle equation
Skills: Analytical geometry · Using formulae

Ricaviamo l’equazione della circonferenza partendo dalla sua definizione di luogo geometrico, traducendo in coordinate la condizione $d(P,C)=R$.

Storia — Fermat e i luoghi del secondo grado

Questo passaggio — tradurre in equazione la proprietà «$d(P,C)=R$» — è esattamente il metodo che Pierre de Fermat codificò nella sua Ad locos planos et solidos isagoge (composta intorno al 1636). Fermat stabilì che, quando due quantità incognite $x$ e $y$ compaiono legate da un’equazione, il punto $P(x;y)$ descrive un luogo: le equazioni di primo grado danno rette, quelle di secondo grado le coniche, tra cui la circonferenza (Katz). Nel suo linguaggio la circonferenza è dunque un luogo del secondo grado, e la forma $x^2+y^2+ax+by+c=0$ è la traduzione algebrica della sua definizione geometrica (Boyer).

Dimostrazione

Dalla definizione di luogo: $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} = R$. I due membri sono $\ge 0$ ($R>0$ e il primo è una distanza), quindi si può elevare al quadrato senza ulteriori condizioni, ottenendo la forma “vertice”. Sviluppando i quadrati e riordinando: $x^2 - 2x_0 x + x_0^2 + y^2 - 2y_0 y + y_0^2 = R^2$ che, con le posizioni $a=-2x_0$, $b=-2y_0$, $c=x_0^2+y_0^2-R^2$, diventa la forma standard. L’inversione delle formule è immediata. ∎

Il passaggio chiave è che elevare al quadrato non introduce soluzioni estranee, perché entrambi i membri dell’uguaglianza sono già non negativi.

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Concetti: Distanza tra punti · Equazione circonferenza · Forma standard · Forma vertice · Piano cartesiano
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica
Persone: Pierre de Fermat

We derive the equation of the circle starting from its locus definition, translating the condition $d(P,C)=R$ into coordinates.

History — Fermat and second-degree loci

This step — translating the property "$d(P,C)=R$" into an equation — is exactly the method that Pierre de Fermat codified in his Ad locos planos et solidos isagoge (composed around 1636). Fermat established that, whenever two unknown quantities $x$ and $y$ appear linked by an equation, the point $P(x;y)$ traces a locus: first-degree equations give straight lines, second-degree ones give the conics, among them the circle (Katz). In his language the circle is therefore a second-degree locus, and the form $x^2+y^2+ax+by+c=0$ is the algebraic translation of its geometric definition (Boyer).

Proof

From the locus definition: $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} = R$. The two sides are $\ge 0$ ($R>0$ and the first is a distance), so we can square without further conditions, obtaining the “vertex” form. Expanding the squares and rearranging: $x^2 - 2x_0 x + x_0^2 + y^2 - 2y_0 y + y_0^2 = R^2$ which, with the settings $a=-2x_0$, $b=-2y_0$, $c=x_0^2+y_0^2-R^2$, becomes the standard form. Inverting the formulae is immediate. ∎

The key point is that squaring introduces no extraneous solutions, because both sides of the equality are already non-negative.

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Topics: Analytical circle
Concepts: Distance between points · Circle equation · Standard form · Vertex form · Cartesian plane
Skills: Proving · Analytical geometry

Non ogni equazione di secondo grado in $x$ e $y$ rappresenta una circonferenza. Occorre controllare la struttura dei termini di grado due e il segno del raggio al quadrato.

Attenzione — Quando un'equazione non è una circonferenza

Perché un’equazione del tipo $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$ rappresenti una circonferenza occorre che:

• siano presenti contemporaneamente i termini $x^2$ e $y^2$ (altrimenti è una parabola o degenera);
• i coefficienti di $x^2$ e di $y^2$ siano uguali ($A = B$, così dividendo per $A$ si ottiene la forma standard);
• $R^2 = \tfrac{a^2}{4} + \tfrac{b^2}{4} - c$ sia positivo. Se $R^2 = 0$ l‘“equazione” descrive un unico punto (il centro); se $R^2 < 0$ non ha soluzioni reali (insieme vuoto).

I casi $R^2 = 0$ e $R^2 < 0$ si chiamano circonferenze degeneri: formalmente l’equazione è nella forma standard, ma geometricamente non c’è alcuna circonferenza vera e propria.

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Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Circonferenza degenere · Equazione circonferenza · Forma standard · Raggio
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi

Not every second-degree equation in $x$ and $y$ represents a circle. One must check the structure of the degree-two terms and the sign of the squared radius.

Caution — When an equation is not a circle

For an equation of the type $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$ to represent a circle it is necessary that:

• the terms $x^2$ and $y^2$ are present simultaneously (otherwise it is a parabola or it degenerates);
• the coefficients of $x^2$ and $y^2$ are equal ($A = B$, so that dividing by $A$ gives the standard form);
• $R^2 = \tfrac{a^2}{4} + \tfrac{b^2}{4} - c$ is positive. If $R^2 = 0$ the “equation” describes a single point (the centre); if $R^2 < 0$ it has no real solutions (empty set).

The cases $R^2 = 0$ and $R^2 < 0$ are called degenerate circles: formally the equation is in standard form, but geometrically there is no genuine circle.

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Topics: Analytical circle
Concepts: Degenerate circle · Circle equation · Standard form · Radius
Skills: Analytical geometry · Reasoning by cases