Similitudine tra solidi e teorema di Talete

Il teorema di Talete si estende allo spazio: un fascio di piani paralleli taglia segmenti proporzionali su due trasversali. Ne discende la legge dei rapporti di similitudine tra solidi (aree come $k^2$, volumi come $k^3$), che si applica al calcolo del volume di un tronco di piramide.

• Teorema di Talete nello spazio
• Rapporti di similitudine tra solidi
• Tronco di piramide come differenza

Thales’ theorem extends to space: a pencil of parallel planes cuts proportional segments on two transversals. From this follows the law of ratios of similarity between solids (areas as $k^2$, volumes as $k^3$), which is applied to computing the volume of a frustum of a pyramid.

• Thales’ theorem in space
• Ratios of similarity between solids
• Frustum of a pyramid as a difference

Il teorema di Talete, noto dal piano, ha una versione spaziale in cui le rette parallele sono sostituite da piani paralleli.

Teorema — Teorema di Talete nello spazio

Un fascio di piani paralleli tagliato da due rette trasversali determina segmenti proporzionali sulle due rette: $\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}.$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Teorema talete
Competenze: Geometria sintetica
Persone: Talete

Thales’ theorem, known from the plane, has a spatial version in which the parallel lines are replaced by parallel planes.

Theorem — Thales' theorem in space

A pencil of parallel planes cut by two transversal lines determines proportional segments on the two lines: $\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}.$

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Thales’ theorem
Skills: Synthetic geometry
People: Thales

Quando due solidi sono simili, i rapporti tra le loro grandezze seguono una legge di potenze del rapporto di similitudine.

Proprietà — Rapporti di similitudine per i solidi

Se due solidi sono simili con rapporto di similitudine $k$ (il rapporto tra lati omologhi), allora:

• rapporto tra aree omologhe: $k^2$;
• rapporto tra volumi: $k^3$.

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Similitudine solidi · Superficie · Volume
Competenze: Usare formule

When two solids are similar, the ratios between their magnitudes follow a power law of the ratio of similarity.

Property — Ratios of similarity for solids

If two solids are similar with ratio of similarity $k$ (the ratio between corresponding sides), then:

• ratio between corresponding areas: $k^2$;
• ratio between volumes: $k^3$.

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Similarity of solids · Surface area · Volume
Skills: Using formulas

Un tronco di piramide si ottiene sezionando una piramide con un piano parallelo alla base: il suo volume è la differenza tra la piramide completa e quella “piccola” tagliata via.

Esempio — Piramide sezionata = tronco

Tronco di piramide a base triangolare equilatera: lato della base inferiore $\ell=2$, lato della base superiore $\ell'=1$, distanza tra le basi $h_{\text{tronco}}=3$.

Rapporto di similitudine: $k = \ell'/\ell = 1/2$. Le altezze della piramide “completa” e di quella “piccola” stanno nel rapporto $h/h' = 1/k = 2$, con $h = h'+3$, da cui $h' = 3$ e $h = 6$. $V_{\text{grande}} = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4\cdot 6 = 2\sqrt{3}, \qquad V_{\text{piccola}} = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1\cdot 3 = \tfrac{\sqrt{3}}{4}.$ $V_{\text{tronco}} = V_{\text{grande}} - V_{\text{piccola}} = 2\sqrt{3} - \tfrac{\sqrt{3}}{4} = \boxed{\tfrac{7\sqrt{3}}{4}}.$

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Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Similitudine solidi · Tronco di piramide · Volume
Competenze: Calcolare

A frustum of a pyramid is obtained by cutting a pyramid with a plane parallel to the base: its volume is the difference between the complete pyramid and the “small” one cut away.

Example — Sectioned pyramid = frustum

Frustum of a pyramid with an equilateral triangular base: side of the lower base $\ell=2$, side of the upper base $\ell'=1$, distance between the bases $h_{\text{tronco}}=3$.

Ratio of similarity: $k = \ell'/\ell = 1/2$. The heights of the “complete” pyramid and of the “small” one are in the ratio $h/h' = 1/k = 2$, with $h = h'+3$, from which $h' = 3$ and $h = 6$. $V_{\text{grande}} = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4\cdot 6 = 2\sqrt{3}, \qquad V_{\text{piccola}} = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1\cdot 3 = \tfrac{\sqrt{3}}{4}.$ $V_{\text{tronco}} = V_{\text{grande}} - V_{\text{piccola}} = 2\sqrt{3} - \tfrac{\sqrt{3}}{4} = \boxed{\tfrac{7\sqrt{3}}{4}}.$

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Similarity of solids · Frustum of a pyramid · Volume
Skills: Calculating