Serie geometriche di aree

Un caso affascinante in cui l’algebra incontra la geometria: figure simili che si rimpiccioliscono all’infinito producono una somma di aree che converge a un valore finito. L’idea è la stessa della serie geometrica, e permette di calcolare esattamente l’area totale di configurazioni infinite come spirali di triangoli o figure frattali.

• La spirale di triangoli simili
• La stellina frattale

A fascinating case in which algebra meets geometry: similar figures that shrink to infinity produce a sum of areas that converges to a finite value. The idea is the same as the geometric series, and it lets us compute exactly the total area of infinite configurations such as spirals of triangles or fractal figures.

• The spiral of similar triangles
• The fractal star

Una configurazione di figure simili che si rimpiccioliscono con rapporto costante genera una somma di aree che è una serie geometrica: se il rapporto è minore di 1, la somma converge a un valore finito.

Esempio — Spirale di triangoli simili ("paguro")

Una spirale di triangoli rettangoli consecutivi, ciascuno costruito sull’ipotenusa del precedente, con rapporto di similitudine $k$.

Se l’area del primo triangolo è $A_1$, le aree successive sono: $A_1,\; k^2 A_1,\; k^4 A_1,\; k^6 A_1,\; \ldots$ La somma degli infiniti triangoli è una serie geometrica: $A_{\text{tot}} = A_1\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(k^2)^n = \frac{A_1}{1-k^2}, \qquad |k|<1.$

Esempio — Un caso numerico

Con $k=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $A_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $A_{\text{tot}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1-3/4} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/4} = 2\sqrt{3}$

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Serie geometrica · Similitudine
Competenze: Modellizzare · Usare formule

A configuration of similar figures that shrink with a constant ratio generates a sum of areas that is a geometric series: if the ratio is less than 1, the sum converges to a finite value.

Example — Spiral of similar triangles ("hermit crab")

A spiral of consecutive right-angled triangles, each built on the hypotenuse of the previous one, with similarity ratio $k$.

If the area of the first triangle is $A_1$, the subsequent areas are: $A_1,\; k^2 A_1,\; k^4 A_1,\; k^6 A_1,\; \ldots$ The sum of the infinitely many triangles is a geometric series: $A_{\text{tot}} = A_1\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(k^2)^n = \frac{A_1}{1-k^2}, \qquad |k|<1.$

Example — A numerical case

With $k=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ and $A_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $A_{\text{tot}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1-3/4} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/4} = 2\sqrt{3}$

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Topics: Quadratic equations
Concepts: Geometric series · Similarity
Skills: Modelling · Using formulae

Aggiungendo a ogni passo triangolini sempre più piccoli sui lati della figura, si ottiene un contorno frattale la cui area totale converge, ancora una volta grazie a una serie geometrica.

Esempio — Stellina frattale

Partendo da un triangolo equilatero di lato $\ell$, si costruiscono sui punti medi dei lati tre triangolini equilateri di lato $\ell/3$ (rivolti verso l’esterno), formando una stella. Il processo si ripete su ogni nuovo lato.

Primo passo della costruzione della stellina frattale: sul triangolo di lato $\ell$ crescono tre triangolini di lato $\ell/3$.

Ad ogni passo si aggiungono $3\cdot 4^{n-1}$ triangolini di lato $\ell/3^n$. L’area aggiunta al passo $n$ è: $\Delta A_n = 3\cdot 4^{n-1}\cdot\frac{(\ell/3^n)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}\,\ell^2}{4}\cdot\frac{4^{n-1}}{9^n}.$ L’area totale della stella dopo infiniti passi converge (serie geometrica con $r=4/9<1$).

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Frattale · Serie geometrica
Competenze: Modellizzare · Usare formule

By adding smaller and smaller triangles to the sides of the figure at every step, we obtain a fractal outline whose total area converges, once again thanks to a geometric series.

Example — Fractal star

Starting from an equilateral triangle of side $\ell$, three equilateral triangles of side $\ell/3$ are built on the midpoints of the sides (pointing outwards), forming a star. The process repeats on every new side.

First step of the construction of the fractal star: on the triangle of side $\ell$ grow three triangles of side $\ell/3$.

At each step $3\cdot 4^{n-1}$ triangles of side $\ell/3^n$ are added. The area added at step $n$ is: $\Delta A_n = 3\cdot 4^{n-1}\cdot\frac{(\ell/3^n)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}\,\ell^2}{4}\cdot\frac{4^{n-1}}{9^n}.$ The total area of the star after infinitely many steps converges (geometric series with $r=4/9<1$).

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Topics: Quadratic equations
Concepts: Fractal · Geometric series
Skills: Modelling · Using formulae