Determinazione del parametro

Il problema tipico sui fasci è: dato un fascio $f_k$, trovare il valore (o i valori) di $k$ per cui la retta corrispondente soddisfa una certa condizione geometrica. Questa sezione presenta la strategia generale e la illustra con quattro esempi via via più ricchi: passaggio per un punto, distanza fissata, tangenza a una parabola e classificazione secante/tangente/esterna. Chiude un riassunto del metodo.

• La strategia per determinare il parametro
• Esempio — Passaggio per un punto
• Esempio — Distanza fissata
• Esempio — Tangenza a una parabola
• Esempio — Secante, tangente, esterna
• Metodo generale per problemi sui fasci

The typical problem on pencils is: given a pencil $f_k$, find the value (or values) of $k$ for which the corresponding line satisfies a certain geometric condition. This section presents the general strategy and illustrates it with four progressively richer examples: passing through a point, fixed distance, tangency to a parabola and secant/tangent/external classification. A summary of the method closes it.

• The strategy for determining the parameter
• Example — Passing through a point
• Example — Fixed distance
• Example — Tangency to a parabola
• Example — Secant, tangent, external
• General method for pencil problems

Il problema tipico è: “nel fascio $f_k$, trovare il valore (o i valori) di $k$ per cui la retta corrispondente soddisfa una certa condizione”. Le condizioni più frequenti sono:

• passaggio per un punto $Q$ assegnato;
• parallelismo o perpendicolarità a una retta data;
• distanza fissata da un punto;
• tangenza a una curva (parabola, circonferenza, ecc.);
• condizioni di secanza o di retta esterna rispetto a una curva.

La strategia è sempre la stessa: tradurre la condizione in un’equazione (o disequazione) nel parametro $k$, risolverla, controllare se la generatrice esclusa dalla parametrizzazione fa parte delle soluzioni, e combinare il tutto.

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Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Distanza punto retta · Fascio di rette · Parallelismo · Parametro del fascio · Perpendicolarita · Retta · Tangenza
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni

The typical problem is: “in the pencil $f_k$, find the value (or values) of $k$ for which the corresponding line satisfies a certain condition”. The most frequent conditions are:

• passing through an assigned point $Q$;
• parallelism or perpendicularity to a given line;
• fixed distance from a point;
• tangency to a curve (parabola, circle, etc.);
• conditions of secancy or of a line being external with respect to a curve.

The strategy is always the same: translate the condition into an equation (or inequality) in the parameter $k$, solve it, check whether the generator excluded from the parametrisation is among the solutions, and combine everything.

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Topics: Pencils of lines
Concepts: Point–line distance · Pencil of lines · Parallelism · Pencil parameter · Perpendicularity · Line · Tangency
Functions: Line
Skills: Analytic geometry · Solving equations

La condizione più semplice: imporre che la retta del fascio passi per un punto assegnato. Basta sostituire le coordinate del punto nell’equazione del fascio e risolvere in $k$.

Esempio — Passaggio per un punto

Nel fascio $f_k:\ x - ky + k + 2 = 0$, trovare la retta che passa per $Q(1;0)$.

Sostituzione: $1 - k\cdot 0 + k + 2 = 0 \implies 3 + k = 0 \implies k = -3$.

Retta cercata: $x - (-3)y + (-3) + 2 = 0$, cioè $x + 3y - 1 = 0$.

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Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Fascio di rette · Fascio proprio · Parametro del fascio
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni

The simplest condition: requiring that the line of the pencil pass through an assigned point. It suffices to substitute the coordinates of the point into the equation of the pencil and solve for $k$.

Example — Passing through a point

In the pencil $f_k:\ x - ky + k + 2 = 0$, find the line that passes through $Q(1;0)$.

Substitution: $1 - k\cdot 0 + k + 2 = 0 \implies 3 + k = 0 \implies k = -3$.

Required line: $x - (-3)y + (-3) + 2 = 0$, that is $x + 3y - 1 = 0$.

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Concepts: Pencil of lines · Proper pencil · Pencil parameter
Functions: Line
Skills: Analytic geometry · Solving equations

Quando la condizione riguarda la distanza da un punto, si applica la formula della distanza punto–retta e si ottiene una disequazione (o equazione) nel parametro $k$.

Esempio — Distanza fissata

Nel fascio $f_k:\ x - ky + k + 2 = 0$, determinare per quali $k$ la distanza tra la retta del fascio e il punto $Q(1;2)$ è minore di $1$.

Distanza. Scriviamo la retta in forma implicita $1\cdot x + (-k)\cdot y + (k+2) = 0$ e applichiamo la formula della distanza punto–retta: $d(Q, f_k) = \frac{|1\cdot 1 - k\cdot 2 + k+2|}{\sqrt{1^2 + (-k)^2}} = \frac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}}.$

Disequazione. $\dfrac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}} < 1$. Il denominatore è strettamente positivo, quindi si può portare al numeratore: $|3-k| < \sqrt{1+k^2}.$ Entrambi i membri sono $\ge 0$, siamo nel caso “scorciatoia” del capitolo precedente: eleviamo al quadrato direttamente. $(3-k)^2 < 1+k^2 \iff 9-6k+k^2 < 1+k^2 \iff k > \tfrac{4}{3}.$

Soluzione: $\boxed{k > \tfrac{4}{3}}$.

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Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Distanza punto retta · Equazione implicita · Fascio di rette · Parametro del fascio · Retta
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere disequazioni · Usare formule

When the condition concerns the distance from a point, one applies the point–line distance formula and obtains an inequality (or equation) in the parameter $k$.

Example — Fixed distance

In the pencil $f_k:\ x - ky + k + 2 = 0$, determine for which $k$ the distance between the line of the pencil and the point $Q(1;2)$ is less than $1$.

Distance. We write the line in implicit form $1\cdot x + (-k)\cdot y + (k+2) = 0$ and apply the point–line distance formula: $d(Q, f_k) = \frac{|1\cdot 1 - k\cdot 2 + k+2|}{\sqrt{1^2 + (-k)^2}} = \frac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}}.$

Inequality. $\dfrac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}} < 1$. The denominator is strictly positive, so it can be moved to the numerator: $|3-k| < \sqrt{1+k^2}.$ Both sides are $\ge 0$, so we are in the “shortcut” case of the previous chapter: we square directly. $(3-k)^2 < 1+k^2 \iff 9-6k+k^2 < 1+k^2 \iff k > \tfrac{4}{3}.$

Solution: $\boxed{k > \tfrac{4}{3}}$.

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Functions: Line
Skills: Analytic geometry · Solving inequalities · Using formulae

Per la tangenza a una curva si mette a sistema la retta del fascio con la curva e si impone che il discriminante dell’equazione risolvente sia nullo. Va sempre controllata a parte la generatrice esclusa dalla parametrizzazione.

Esempio — Tangenza a una parabola

Nel fascio $f_k:\ y - 4 = m(x-0)$ di sostegno $P(0;4)$ determinare le rette tangenti alla parabola $y = x^2 - 2x - 2$.

Sistema retta–parabola: $\begin{cases} y = mx + 4 \\ y = x^2 - 2x - 2 \end{cases} \implies x^2 - (2+m)x - 6 = 0.$

Condizione di tangenza: $\Delta = 0$. $\Delta = (2+m)^2 + 24 = m^2 + 4m + 28.$ $\Delta = 0$ richiede $m^2 + 4m + 28 = 0$ con $\Delta_m = 16 - 112 = -96 < 0$: nessun valore reale. La parabola è “troppo lontana” dal punto $P$ — nessuna tangente passa per $P$.

Generatrice esclusa. Per correttezza, controlliamo se la retta verticale $x=0$ (non presente nel fascio parametrizzato da $m$) è tangente. Sostituendo $x=0$ nella parabola si ottiene $y = -2$, un unico punto: $x=0$ è una secante impropria, non tangente. Quindi la parabola non ha tangenti passanti per $P$.

Soluzione: $\boxed{\text{nessuna retta tangente}}$.

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Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Discriminante · Fascio di rette · Fascio proprio · Parametro del fascio · Tangenza
Funzioni: Parabola · Retta
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere sistemi

For tangency to a curve one sets up a system of the line of the pencil with the curve and requires that the discriminant of the resolvent equation be zero. The generator excluded from the parametrisation must always be checked separately.

Example — Tangency to a parabola

In the pencil $f_k:\ y - 4 = m(x-0)$ with base point $P(0;4)$, determine the lines tangent to the parabola $y = x^2 - 2x - 2$.

Line–parabola system: $\begin{cases} y = mx + 4 \\ y = x^2 - 2x - 2 \end{cases} \implies x^2 - (2+m)x - 6 = 0.$

Tangency condition: $\Delta = 0$. $\Delta = (2+m)^2 + 24 = m^2 + 4m + 28.$ $\Delta = 0$ requires $m^2 + 4m + 28 = 0$ with $\Delta_m = 16 - 112 = -96 < 0$: no real value. The parabola is “too far” from the point $P$ — no tangent passes through $P$.

Excluded generator. For correctness, we check whether the vertical line $x=0$ (not present in the pencil parametrised by $m$) is tangent. Substituting $x=0$ into the parabola gives $y = -2$, a single point: $x=0$ is an improper secant, not a tangent. Hence the parabola has no tangents passing through $P$.

Solution: $\boxed{\text{no tangent line}}$.

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Concepts: Discriminant · Pencil of lines · Proper pencil · Pencil parameter · Tangency
Functions: Parabola · Line
Skills: Analytic geometry · Reasoning by cases · Solving systems

Studiando il segno del discriminante in funzione di $k$ si classificano, tutte insieme, le rette del fascio secondo la loro posizione rispetto alla curva: secanti, tangenti o esterne.

Esempio — Secante, tangente, esterna

Nel fascio proprio $f_k:\ k(3x-2y+1) + (6x-4y+1) = 0$ e data la parabola $p: y = 2x^2 + 7$, determinare i valori di $k$ per cui la retta del fascio è (a) tangente, (b) secante, (c) esterna a $p$.

Sistema: $\begin{cases} y = 2x^2 + 7 \\ k(3x-2y+1) + 6x -4y +1 = 0\end{cases}$ Sostituendo $y$ nella seconda equazione otteniamo un polinomio di secondo grado in $x$ con coefficienti dipendenti da $k$; il suo discriminante $\Delta(k)$ è, a sua volta, un polinomio in $k$. Si ha:

• $\Delta(k) > 0$: due intersezioni distinte $\Rightarrow$ secante;
• $\Delta(k) = 0$: intersezione doppia $\Rightarrow$ tangente;
• $\Delta(k) < 0$: nessuna intersezione $\Rightarrow$ esterna.

Lo studio del segno di $\Delta(k)$ dà i tre sottoinsiemi di valori di $k$ corrispondenti alle tre condizioni. Al termine, come sempre, va verificato se la generatrice esclusa dal fascio (quella che si otterrebbe formalmente con $k\to\infty$) è anch’essa soluzione.

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Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Discriminante · Fascio di rette · Fascio proprio · Parametro del fascio · Retta · Retta esterna · Retta secante · Tangenza
Funzioni: Parabola · Retta
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere sistemi

By studying the sign of the discriminant as a function of $k$ one classifies, all together, the lines of the pencil according to their position with respect to the curve: secant, tangent or external.

Example — Secant, tangent, external

In the proper pencil $f_k:\ k(3x-2y+1) + (6x-4y+1) = 0$ and given the parabola $p: y = 2x^2 + 7$, determine the values of $k$ for which the line of the pencil is (a) tangent, (b) secant, (c) external to $p$.

System: $\begin{cases} y = 2x^2 + 7 \\ k(3x-2y+1) + 6x -4y +1 = 0\end{cases}$ Substituting $y$ into the second equation we obtain a second-degree polynomial in $x$ with coefficients depending on $k$; its discriminant $\Delta(k)$ is, in turn, a polynomial in $k$. We have:

• $\Delta(k) > 0$: two distinct intersections $\Rightarrow$ secant;
• $\Delta(k) = 0$: a double intersection $\Rightarrow$ tangent;
• $\Delta(k) < 0$: no intersection $\Rightarrow$ external.

The study of the sign of $\Delta(k)$ gives the three subsets of values of $k$ corresponding to the three conditions. At the end, as always, one must check whether the generator excluded from the pencil (the one that would formally be obtained with $k\to\infty$) is also a solution.

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Tutti i problemi sui fasci seguono lo stesso schema in cinque passi.

In sintesi — Metodo generale per problemi sui fasci

1. Riconoscere se il fascio è proprio o improprio raccogliendo il parametro; identificare le due generatrici.
2. Tradurre la condizione geometrica in un’equazione o disequazione in $k$.
3. Risolvere in $k$.
4. Controllare la generatrice esclusa dalla parametrizzazione.
5. Scrivere le rette soluzione sostituendo i valori di $k$ trovati.

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Concetti: Fascio di rette · Fascio improprio · Fascio proprio · Generatrici · Parametro del fascio
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni

All pencil problems follow the same five-step scheme.

In summary — General method for pencil problems

1. Recognise whether the pencil is proper or improper by collecting the parameter; identify the two generators.
2. Translate the geometric condition into an equation or inequality in $k$.
3. Solve for $k$.
4. Check the generator excluded from the parametrisation.
5. Write the solution lines by substituting the values of $k$ found.

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