Equazioni omogenee di secondo grado

Un’equazione goniometrica omogenea di secondo grado ha la forma $A\sin^2 x + B\sin x\cos x + C\cos^2 x = 0$, in cui tutti i monomi hanno lo stesso grado totale (due) in $\sin$ e $\cos$. Si risolve dividendo per $\cos^2 x$ e ottenendo un’equazione di secondo grado in $\tan x$. Anche le equazioni con un termine costante aggiuntivo possono essere ricondotte a questa forma.

• Definizione e metodo di risoluzione
• Equazioni riconducibili a omogenee

A second-degree homogeneous trigonometric equation has the form $A\sin^2 x + B\sin x\cos x + C\cos^2 x = 0$, in which all the monomials have the same total degree (two) in $\sin$ and $\cos$. It is solved by dividing by $\cos^2 x$ and obtaining a second-degree equation in $\tan x$. Equations with an additional constant term can also be reduced to this form.

• Definition and solution method
• Equations reducible to homogeneous ones

Le equazioni omogenee di secondo grado in $\sin$ e $\cos$ si riconoscono perché ogni monomio ha lo stesso grado. Il metodo di risoluzione le trasforma in un’equazione di secondo grado in $\tan x$.

Definizione — Equazione omogenea di secondo grado

Un’equazione goniometrica si dice omogenea di secondo grado in $\sin$ e $\cos$ se è del tipo $A\sin^2 x + B\sin x\cos x + C\cos^2 x = 0.$ Tutti i monomi hanno lo stesso grado totale in $\sin$ e $\cos$: due.

In sintesi — Metodo di risoluzione

1. Controllare se $\cos x = 0$ è soluzione, sostituendo $x=\pi/2+k\pi$ direttamente.
2. Dividere l’equazione per $\cos^2 x$ (possibile perché il caso $\cos x = 0$ è già stato gestito): $A\tan^2 x + B\tan x + C = 0.$
3. Porre $t = \tan x$ e risolvere un’equazione di secondo grado in $t$.
4. Tornare a $x$ con $x = \arctan t + k\pi$.

Esempio

Risolvere $\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0$.

Caso $\cos x = 0$: sostituendo $x=\pi/2$ si ottiene $1 - 0 + 0 = 1\ne 0$. Non è soluzione.

Dividiamo per $\cos^2 x$: $\tan^2 x - 3\tan x + 2 = 0.$ Con $t=\tan x$: $\ t^2 - 3t + 2 = 0 \iff (t-1)(t-2) = 0 \iff t=1 \ \vee\ t=2$.

Ritorno a $x$: $\ x = \arctan 1 + k\pi = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$, oppure $x = \arctan 2 + k\pi$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione goniometrica · Equazione omogenea
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Goniometriche equazioni
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni · Usare formule

Second-degree homogeneous equations in $\sin$ and $\cos$ are recognised because every monomial has the same degree. The solution method turns them into a second-degree equation in $\tan x$.

Definition — Second-degree homogeneous equation

A trigonometric equation is said to be homogeneous of second degree in $\sin$ and $\cos$ if it is of the type $A\sin^2 x + B\sin x\cos x + C\cos^2 x = 0.$ All the monomials have the same total degree in $\sin$ and $\cos$: two.

In summary — Solution method

1. Check whether $\cos x = 0$ is a solution, by substituting $x=\pi/2+k\pi$ directly.
2. Divide the equation by $\cos^2 x$ (possible because the case $\cos x = 0$ has already been handled): $A\tan^2 x + B\tan x + C = 0.$
3. Set $t = \tan x$ and solve a second-degree equation in $t$.
4. Go back to $x$ with $x = \arctan t + k\pi$.

Example

Solve $\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0$.

Case $\cos x = 0$: substituting $x=\pi/2$ gives $1 - 0 + 0 = 1\ne 0$. Not a solution.

Divide by $\cos^2 x$: $\tan^2 x - 3\tan x + 2 = 0.$ With $t=\tan x$: $\ t^2 - 3t + 2 = 0 \iff (t-1)(t-2) = 0 \iff t=1 \ \vee\ t=2$.

Back to $x$: $\ x = \arctan 1 + k\pi = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$, or $x = \arctan 2 + k\pi$.

Links

Topics: Trigonometric equations
Concepts: Trigonometric equation · Homogeneous equation
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Methods: Trigonometric equations
Skills: Reasoning by cases · Solving equations · Using formulae

Non tutte le equazioni con termini quadratici in $\sin$ e $\cos$ sono già omogenee: a volte compare un termine costante. Un semplice trucco basato sull’identità fondamentale permette di ricondurle alla forma omogenea.

Osservazione — Equazioni riconducibili a omogenee

Se un’equazione contiene anche un termine “costante” — del tipo $A\sin^2 x + B\sin x\cos x + C\cos^2 x + D = 0$ — la si può riportare alla forma omogenea moltiplicando il termine $D$ per $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, che lo trasforma in $D\sin^2 x + D\cos^2 x$ e lo distribuisce su entrambi i termini quadratici.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione omogenea
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

Not all equations with quadratic terms in $\sin$ and $\cos$ are already homogeneous: sometimes a constant term appears. A simple trick based on the fundamental identity lets us reduce them to homogeneous form.

Observation — Equations reducible to homogeneous ones

If an equation also contains a “constant” term — of the type $A\sin^2 x + B\sin x\cos x + C\cos^2 x + D = 0$ — it can be brought to homogeneous form by multiplying the term $D$ by $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, which turns it into $D\sin^2 x + D\cos^2 x$ and distributes it over both quadratic terms.

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Concepts: Homogeneous equation
Functions: Cosine · Sine
Skills: Solving equations · Using formulae