Disequazioni irrazionali

In Seconda abbiamo imparato a risolvere le equazioni irrazionali e le versioni base delle disequazioni nelle due tipologie canoniche $\sqrt{A(x)} > B(x)$ e $\sqrt{A(x)} < B(x)$. In Terza il passo successivo è affrontare le disequazioni più complesse: casi misti, più radicali simultanei, scorciatoie quando entrambi i membri sono $\ge 0$, disequazioni fratte con radicali.

La difficoltà è tutta concentrata in un fatto: elevare al quadrato non è un’operazione innocente quando si lavora con le disequazioni. Elevare al quadrato conserva la disuguaglianza solo se entrambi i membri sono non negativi; in caso contrario può invertirne il verso o introdurre soluzioni false. Per questo il metodo classico si articola in due casi, e a seconda del verso della disequazione questi si combinano in un modo o nell’altro. Il capitolo isola due tipologie fondamentali, ne mostra le scorciatoie e si chiude con una mappa decisionale e un esempio completo di disequazione fratta con radicali.

Sezioni

• Tipologia I: la radice minore di un’espressione
• Tipologia II: la radice maggiore di un’espressione
• Scorciatoie quando entrambi i membri sono sempre non negativi
• Somme di quantità sempre non negative
• Disequazioni fratte con radicali: studio del segno
• Applicazione: rette a distanza assegnata

Approfondimenti

• Promemoria sulle condizioni di esistenza
• Mappa decisionale: che tipo di disequazione ho davanti?

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

In the second year we learnt to solve irrational equations and the basic versions of the inequalities in the two canonical types $\sqrt{A(x)} > B(x)$ and $\sqrt{A(x)} < B(x)$. In the third year the next step is to tackle the more complex inequalities: mixed cases, several radicals at once, shortcuts when both sides are $\ge 0$, fractional inequalities with radicals.

The whole difficulty is concentrated in one fact: squaring is not an innocent operation when working with inequalities. Squaring preserves the inequality only if both sides are non-negative; otherwise it can reverse its direction or introduce false solutions. This is why the classical method splits into two cases, and depending on the direction of the inequality these combine in one way or the other. The chapter isolates two fundamental types, shows their shortcuts, and closes with a decision map and a complete example of a fractional inequality with radicals.

Sezioni

• Type I: the root smaller than an expression
• Type II: the root greater than an expression
• Shortcuts when both sides are always non-negative
• Sums of always non-negative quantities
• Fractional inequalities with radicals: sign study
• Application: lines at an assigned distance

Approfondimenti

• A reminder about the existence conditions
• Decision map: what type of inequality am I facing?

Esercizi

• All the chapter’s worked exercises

Riconoscere la struttura di una disequazione irrazionale, prima di calcolare, fa risparmiare molto lavoro. Ecco la sequenza di domande da porsi.

In sintesi — Mappa decisionale

Di fronte a una disequazione irrazionale, chiediti in quest’ordine:

1. È una somma sempre $\ge 0$? Se sì, la risposta è immediata: la disequazione $\ge 0$ è sempre vera entro le CE, quella $<0$ non ha soluzioni.
2. Entrambi i membri sono sempre $\ge 0$? Se sì — cioè se sono due radicali, o una radice e un valore assoluto, o due valori assoluti — eleva direttamente al quadrato senza sdoppiare.
3. Altrimenti, in che verso è la disequazione?
   • $\sqrt{A}\le B$: Tipologia I, sistema con tre condizioni.
   • $\sqrt{A}\ge B$: Tipologia II, unione di due casi.
4. Se c’è una frazione, combina il tutto in una tabella del segno.
5. In fondo, interseca con le CE. Sempre.

Le prime due domande servono a scovare le scorciatoie; solo se falliscono si ricade sul metodo generale delle due tipologie. L’ultimo passo, l’intersezione con le CE, non va mai dimenticato.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica · Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

Recognising the structure of an irrational inequality, before calculating, saves a great deal of work. Here is the sequence of questions to ask yourself.

In brief — Decision map

When facing an irrational inequality, ask yourself, in this order:

1. Is it an always $\ge 0$ sum? If so, the answer is immediate: the inequality $\ge 0$ is always true within the CE, the one $<0$ has no solutions.
2. Are both sides always $\ge 0$? If so — that is, if they are two radicals, or a root and an absolute value, or two absolute values — square directly without splitting.
3. Otherwise, in which direction is the inequality?
   • $\sqrt{A}\le B$: Type I, a system with three conditions.
   • $\sqrt{A}\ge B$: Type II, a union of two cases.
4. If there is a fraction, combine everything in a sign table.
5. At the end, intersect with the CE. Always.

The first two questions serve to hunt out the shortcuts; only if they fail do we fall back on the general method of the two types. The last step, the intersection with the CE, must never be forgotten.

Links

Topics: Irrational inequalities
Concepts: Existence conditions · Irrational inequality
Methods: Irrational inequality by cases · Non-negative sides shortcut
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities

Qualunque cosa tu faccia con una disequazione irrazionale, la prima mossa è sempre la stessa: scrivere le condizioni di esistenza.

Osservazione — Un promemoria sulle CE

La prima mossa è sempre scrivere le condizioni di esistenza (CE):

• per ogni radice di indice pari l’argomento deve essere $\ge 0$;
• per ogni denominatore l’espressione deve essere $\ne 0$.

Una soluzione calcolata senza CE è, semplicemente, un insieme di valori candidati, che va poi intersecato con le CE. In tutto il capitolo scriveremo le CE come prima cosa e le riporteremo in fondo.

Tenere le CE sempre sotto controllo è ciò che distingue una risposta corretta da un insieme di soluzioni “sporcato” da valori in cui la radice non esiste nemmeno.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Competenze: Risolvere disequazioni

Whatever you do with an irrational inequality, the first move is always the same: writing down the existence conditions.

Remark — A reminder about the CE

The first move is always to write down the existence conditions (CE):

• for every root of even index the argument must be $\ge 0$;
• for every denominator the expression must be $\ne 0$.

A solution computed without the CE is, quite simply, a set of candidate values, which must then be intersected with the CE. Throughout the chapter we shall write the CE as the very first thing and bring them back in at the end.

Keeping the CE always under control is what distinguishes a correct answer from a solution set “polluted” by values at which the root does not even exist.

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Topics: Irrational inequalities
Concepts: Existence conditions · Irrational inequality
Skills: Solving inequalities

Una disequazione (o equazione) irrazionale del tipo “scorciatoia” compare molto spesso quando si traduce in formule una condizione geometrica di distanza. Vediamo un esempio tipico che rincontreremo nel capitolo sui fasci di rette.

Esempio — Trova le rette per $P$ a distanza fissata da $Q$

Determina le rette passanti per $P(2;4)$ che distano $3$ dal punto $Q(-2;4)$.

Impostazione. Una retta per $P$ ha equazione $y-4=m(x-2)$, cioè in forma implicita $mx - y - 2m + 4 = 0$. La distanza di $Q(-2;4)$ da essa è: $d(Q,r) = \frac{|m(-2) - 4 - 2m + 4|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|-4m|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{4|m|}{\sqrt{m^2+1}}.$

Equazione. $d(Q,r)=3$ diventa $\frac{4|m|}{\sqrt{m^2+1}} = 3 \iff 4|m| = 3\sqrt{m^2+1}.$

Siamo in un caso “scorciatoia”: primo membro $|A|$, secondo membro un multiplo positivo di $\sqrt{B}$, entrambi $\ge 0$. Eleviamo direttamente al quadrato senza sdoppiamenti di segno (il $|m|^2=m^2$ fa sparire il valore assoluto): $16 m^2 = 9(m^2+1) \iff 7m^2 = 9 \iff m^2 = \tfrac{9}{7} \iff m = \pm\tfrac{3}{\sqrt{7}}.$

Il caso escluso: retta verticale. La parametrizzazione $y-4=m(x-2)$ non include le rette verticali. Controlliamo a parte: la retta $x=2$ dista $|-2-2|=4$ da $Q$, e $4\ne 3$, quindi non è una soluzione.

Soluzione: esistono esattamente due rette, $\boxed{\,y-4 = \pm\tfrac{3}{\sqrt{7}}(x-2)\,}$.

Osservazione — Perché non abbiamo avuto bisogno di sdoppiare

Se avessimo ignorato la struttura e trattato $4|m| = 3\sqrt{m^2+1}$ come “una radice da isolare”, avremmo aggiunto le condizioni $4|m|\ge 0$ (sempre vera) e $3\sqrt{m^2+1}\ge 0$ (sempre vera). Nessuna di queste restringe il dominio: è il riconoscere la struttura “entrambi i membri sempre $\ge 0$” che ci dice, prima ancora di calcolare, che tali condizioni saranno inutili.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Disequazione irrazionale · Distanza punto retta · Fascio di rette · Retta · Valore assoluto
Metodi: Elevamento al quadrato · Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

An irrational inequality (or equation) of the “shortcut” type appears very often when a geometric distance condition is translated into formulae. Let us look at a typical example that we shall meet again in the chapter on pencils of lines.

Example — Find the lines through $P$ at a fixed distance from $Q$

Determine the lines through $P(2;4)$ that are at distance $3$ from the point $Q(-2;4)$.

Set-up. A line through $P$ has equation $y-4=m(x-2)$, that is, in implicit form $mx - y - 2m + 4 = 0$. The distance of $Q(-2;4)$ from it is: $d(Q,r) = \frac{|m(-2) - 4 - 2m + 4|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|-4m|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{4|m|}{\sqrt{m^2+1}}.$

Equation. $d(Q,r)=3$ becomes $\frac{4|m|}{\sqrt{m^2+1}} = 3 \iff 4|m| = 3\sqrt{m^2+1}.$

We are in a “shortcut” case: left-hand side $|A|$, right-hand side a positive multiple of $\sqrt{B}$, both $\ge 0$. We square directly without sign-splitting (the $|m|^2=m^2$ makes the absolute value disappear): $16 m^2 = 9(m^2+1) \iff 7m^2 = 9 \iff m^2 = \tfrac{9}{7} \iff m = \pm\tfrac{3}{\sqrt{7}}.$

The excluded case: the vertical line. The parametrisation $y-4=m(x-2)$ does not include the vertical lines. Let us check separately: the line $x=2$ is at distance $|-2-2|=4$ from $Q$, and $4\ne 3$, so it is not a solution.

Solution: there are exactly two lines, $\boxed{\,y-4 = \pm\tfrac{3}{\sqrt{7}}(x-2)\,}$.

Remark — Why we did not need to split

Had we ignored the structure and treated $4|m| = 3\sqrt{m^2+1}$ as “a root to isolate”, we would have added the conditions $4|m|\ge 0$ (always true) and $3\sqrt{m^2+1}\ge 0$ (always true). Neither of these restricts the domain: it is recognising the structure “both sides always $\ge 0$” that tells us, even before calculating, that such conditions will be useless.

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Topics: Irrational inequalities
Concepts: Irrational inequality · Point–line distance · Pencil of lines · Line · Absolute value
Methods: Squaring · Non-negative sides shortcut
Skills: Analytic geometry · Using formulae