Teorema di Talete

Il teorema di Talete è il ponte tra la geometria e le proporzioni: un fascio di rette parallele “taglia” due trasversali in segmenti proporzionali. Lo useremo moltissimo nello studio della similitudine. Alla figura del teorema si affianca la storia del suo autore, Talete di Mileto, e della celebre misura dell’altezza della piramide.

• Il teorema di Talete
• Talete di Mileto e l’altezza della piramide

The intercept theorem is the bridge between geometry and proportions: a pencil of parallel lines “cuts” two transversals into proportional segments. We shall use it a great deal in the study of similarity. Alongside the figure of the theorem stands the story of its author, Thales of Miletus, and of the celebrated measurement of the height of the pyramid.

• The intercept theorem
• Thales of Miletus and the height of the pyramid

Il teorema di Talete lega il parallelismo alle proporzioni: quando più rette parallele tagliano due trasversali, i segmenti che vi determinano stanno nella stessa proporzione. È la base di tutta la teoria della similitudine.

Teorema — di Talete

Un fascio di rette parallele che taglia due trasversali determina su di esse segmenti proporzionali. $r_1\parallel r_2\parallel r_3 \implies \frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}$

Le tre parallele $r_1,r_2,r_3$ tagliano le due trasversali in segmenti proporzionali: $AB:BC = A'B':B'C'$.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Proporzionalita · Retta · Rette parallele · Teorema di talete · Trasversale
Competenze: Geometria sintetica · Usare formule
Persone: Talete

The intercept theorem links parallelism to proportions: when several parallel lines cut two transversals, the segments they determine on them are in the same proportion. It is the foundation of the whole theory of similarity.

Theorem — the intercept theorem

A pencil of parallel lines cutting two transversals determines proportional segments on them. $r_1\parallel r_2\parallel r_3 \implies \frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}$

The three parallel lines $r_1,r_2,r_3$ cut the two transversals in proportional segments: $AB:BC = A'B':B'C'$.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Proportionality · Line · Parallel lines · Intercept theorem · Transversal
Skills: Synthetic geometry · Using formulae
People: Thales

Dietro il teorema c’è una figura storica affascinante: Talete di Mileto, il primo matematico “per nome” della tradizione greca.

Storia — Talete di Mileto e l'altezza della piramide

Talete di Mileto (circa 624—546 a.C.) è considerato il primo matematico “per nome” della tradizione greca: prima di lui, le conoscenze geometriche erano collettive e anonime. La leggenda — riportata da Plutarco, da Diogene Laerzio e da altri — racconta che Talete riuscì a misurare l’altezza della Grande Piramide di Cheope semplicemente piantando un bastone nella sabbia e aspettando il momento in cui la sua ombra fosse uguale alla sua altezza: in quell’istante anche l’ombra della piramide era uguale alla sua altezza. È un’applicazione, di fatto, del teorema sui triangoli simili — con un secolo di anticipo rispetto alla sistematizzazione greca della geometria (Boyer, Storia della matematica, cap. 3).

Sempre a Talete vengono attribuiti i primi risultati “dimostrati” della geometria piana: che il diametro divide il cerchio in due parti uguali, che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti, che gli angoli opposti al vertice sono uguali. Sono i mattoni elementari del nostro libro — e, in un certo senso, di tutta la matematica occidentale (Netz, cap. 1).

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Teorema di talete · Triangolo isoscele
Persone: Talete

Behind the theorem lies a fascinating historical figure: Thales of Miletus, the first mathematician “by name” in the Greek tradition.

History — Thales of Miletus and the height of the pyramid

Thales of Miletus (around 624—546 BC) is regarded as the first mathematician “by name” in the Greek tradition: before him, geometrical knowledge was collective and anonymous. The legend — reported by Plutarch, by Diogenes Laertius and by others — tells that Thales managed to measure the height of the Great Pyramid of Cheops simply by planting a stick in the sand and waiting for the moment when its shadow was equal to its height: at that instant the pyramid’s shadow too was equal to its height. It is, in fact, an application of the theorem on similar triangles — a century ahead of the Greek systematisation of geometry (Boyer, A History of Mathematics, ch. 3).

Thales is also credited with the first “proved” results of plane geometry: that the diameter divides the circle into two equal parts, that the base angles of an isosceles triangle are congruent, that vertically opposite angles are equal. These are the elementary building blocks of our book — and, in a certain sense, of all Western mathematics (Netz, ch. 1).

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Intercept theorem · Isosceles triangle
People: Thales