Forma generale con generatrici

Esiste un modo più potente e unificato per descrivere un fascio: partire da due rette date, dette generatrici. Combinandole linearmente si ottiene un fascio che è proprio o improprio a seconda che le due rette siano incidenti o parallele. Questa sezione presenta la forma a due generatrici, la comoda scrittura monoparametrica $r_1 + k\,r_2 = 0$ e l’insidia della generatrice esclusa dalla parametrizzazione.

• Il fascio a due generatrici
• La scrittura monoparametrica

There is a more powerful and unified way to describe a pencil: starting from two given lines, called generators. Combining them linearly yields a pencil that is proper or improper according to whether the two lines are incident or parallel. This section presents the two-generator form, the convenient single-parameter notation $r_1 + k\,r_2 = 0$ and the pitfall of the generator excluded from the parametrisation.

• The two-generator pencil
• The single-parameter notation

Esiste un modo più potente e unificato per descrivere un fascio: costruirlo a partire da due rette date.

Proprietà — Fascio a due generatrici

Siano $r_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $r_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ due rette distinte, scritte in forma implicita. L’equazione $\alpha\,(a_1 x + b_1 y + c_1) + \beta\,(a_2 x + b_2 y + c_2) = 0, \qquad (\alpha;\beta)\ne(0;0),$ al variare della coppia $(\alpha;\beta)$, descrive:

• un fascio proprio se $r_1$ e $r_2$ sono incidenti, con sostegno il loro punto di intersezione;
• un fascio improprio se $r_1$ e $r_2$ sono parallele, con direzione comune.

Le rette $r_1$ e $r_2$ vengono dette generatrici del fascio.

La forza di questa scrittura è che unifica i due tipi di fascio: basta guardare se le generatrici si incontrano o sono parallele per sapere se il fascio è proprio o improprio, senza bisogno di calcolare esplicitamente il sostegno.

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Equazione implicita · Fascio di rette · Fascio improprio · Fascio proprio · Generatrici · Sostegno del fascio
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

There is a more powerful and unified way to describe a pencil: to build it from two given lines.

Property — Pencil with two generators

Let $r_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ and $r_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ be two distinct lines, written in implicit form. The equation $\alpha\,(a_1 x + b_1 y + c_1) + \beta\,(a_2 x + b_2 y + c_2) = 0, \qquad (\alpha;\beta)\ne(0;0),$ as the pair $(\alpha;\beta)$ varies, describes:

• a proper pencil if $r_1$ and $r_2$ are incident, with support their point of intersection;
• an improper pencil if $r_1$ and $r_2$ are parallel, with a common direction.

The lines $r_1$ and $r_2$ are called the generators of the pencil.

The strength of this notation is that it unifies the two types of pencil: one need only look at whether the generators meet or are parallel to know whether the pencil is proper or improper, without needing to compute the support explicitly.

Links

Topics: Pencils of lines
Concepts: Implicit equation · Pencil of lines · Improper pencil · Proper pencil · Generators · Support of the pencil
Functions: Line
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Normalizzando $\alpha=1$ nella forma a due generatrici si ottiene la scrittura monoparametrica usata nella pratica: $r_1 + k\,r_2 = 0,$ dove $k$ è il parametro del fascio. Bisogna però ricordare che questa normalizzazione esclude una delle due generatrici: precisamente, ponendo $k\to\infty$ si “ottiene” formalmente $r_2=0$, ma nessun valore finito di $k$ dà $r_2$.

Attenzione

Quando si risolvono problemi con $r_1 + k\,r_2 = 0$, occorre sempre controllare a parte se la generatrice $r_2$ è essa stessa soluzione del problema: essa non è mai raggiunta da un valore finito di $k$.

Osservazione — Come riconoscere le generatrici di un fascio scritto come $r_1+k\,r_2=0$

Se un fascio è dato nella forma $F(x,y) + k\,G(x,y) = 0$, le due generatrici sono semplicemente $F=0$ e $G=0$: basta raccogliere tutto ciò che non dipende da $k$ in $F$, e tutto ciò che moltiplica $k$ in $G$. Se poi $F$ e $G$ sono incidenti, il fascio è proprio; se sono parallele, è improprio.

Esempio — Trovare il sostegno di un fascio proprio

Dato il fascio $f_k:\ x - ky + k + 2 = 0$, determinare il sostegno (se il fascio è proprio).

Raccolta del parametro: $k\,(-y + 1) + (x + 2) = 0$.

Le due generatrici sono $r_1: x+2 = 0$ (cioè $x=-2$) e $r_2: -y+1=0$ (cioè $y=1$). Sono due rette incidenti (una verticale e una orizzontale), quindi il fascio è proprio con sostegno nel loro punto di intersezione $P(-2;1)$.

Nella simulazione seguente il fascio proprio è generato da $r_1:\ x - y - 1 = 0$ e $r_2:\ x + y - 3 = 0$: al variare del parametro $k$ la retta $r_1 + k\,r_2 = 0$ ruota attorno al sostegno $P(2;1)$.

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Fascio di rette · Fascio proprio · Generatrici · Parametro del fascio · Sostegno del fascio
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi

Normalising $\alpha=1$ in the two-generator form gives the single-parameter notation used in practice: $r_1 + k\,r_2 = 0,$ where $k$ is the parameter of the pencil. One must remember, however, that this normalisation excludes one of the two generators: precisely, letting $k\to\infty$ one formally “obtains” $r_2=0$, but no finite value of $k$ gives $r_2$.

Warning

When solving problems with $r_1 + k\,r_2 = 0$, one must always check separately whether the generator $r_2$ is itself a solution of the problem: it is never reached by a finite value of $k$.

Remark — How to recognise the generators of a pencil written as $r_1+k\,r_2=0$

If a pencil is given in the form $F(x,y) + k\,G(x,y) = 0$, the two generators are simply $F=0$ and $G=0$: one just collects everything that does not depend on $k$ into $F$, and everything that multiplies $k$ into $G$. If then $F$ and $G$ are incident, the pencil is proper; if they are parallel, it is improper.

Example — Finding the support of a proper pencil

Given the pencil $f_k:\ x - ky + k + 2 = 0$, determine the support (if the pencil is proper).

Collecting the parameter: $k\,(-y + 1) + (x + 2) = 0$.

The two generators are $r_1: x+2 = 0$ (that is $x=-2$) and $r_2: -y+1=0$ (that is $y=1$). They are two incident lines (one vertical and one horizontal), so the pencil is proper with support at their point of intersection $P(-2;1)$.

In the following simulation the proper pencil is generated by $r_1:\ x - y - 1 = 0$ and $r_2:\ x + y - 3 = 0$: as the parameter $k$ varies, the line $r_1 + k\,r_2 = 0$ rotates about the support $P(2;1)$.

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Topics: Pencils of lines
Concepts: Pencil of lines · Proper pencil · Generators · Parameter of the pencil · Support of the pencil
Functions: Line
Skills: Analytic geometry · Solving systems