Integrale

L’integrale è l’operazione inversa del differenziale: una somma infinita di pezzettini infinitesimi. Partiamo dall’integrale definito come area sotto una curva, poi introduciamo la primitiva come strumento di calcolo e il legame $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, cuore del teorema fondamentale del calcolo. Da qui passiamo subito alle applicazioni geometriche — volumi di sfera, cono e piramide per integrazione — anticipate dal principio di Cavalieri, il ponte intuitivo tra geometria sintetica e analisi. Seguono le tecniche di calcolo (sostituzione, parti, frazioni algebriche, integrali irrazionali) e le applicazioni dell’integrale definito: area tra due curve, volumi di rotazione con i metodi dei dischi e dei gusci cilindrici, funzioni pari e dispari, integrali impropri.

Sezioni

• L’integrale definito
• La primitiva
• Tavola delle primitive elementari
• Il principio di Cavalieri
• Volumi per integrazione
• Tecniche di integrazione
• Applicazioni dell’integrale definito

Esercizi

• Tutti gli esercizi del capitolo

The integral is the inverse operation of the differential: an infinite sum of infinitesimal pieces. We start from the definite integral as the area under a curve, then we introduce the antiderivative as a tool for computation and the link $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, the heart of the fundamental theorem of calculus. From here we move straight to the geometric applications — volumes of the sphere, cone and pyramid by integration — anticipated by Cavalieri’s principle, the intuitive bridge between synthetic geometry and analysis. Then come the computation techniques (substitution, parts, algebraic fractions, irrational integrals) and the applications of the definite integral: area between two curves, volumes of revolution with the disc and cylindrical shell methods, even and odd functions, improper integrals.

Sezioni

• The definite integral
• The antiderivative
• Table of elementary antiderivatives
• Cavalieri’s principle
• Volumes by integration
• Integration techniques
• Applications of the definite integral

Esercizi

• All the chapter exercises

Calcolare un integrale significa quasi sempre riconoscere una primitiva. Conviene quindi tenere a mente una piccola tavola di primitive elementari, ottenute semplicemente “leggendo al contrario” le regole di derivazione. La costante additiva $C$ ricorda che la primitiva è definita a meno di una costante (l’integrale indefinito).

In sintesi — Primitive elementari

$f(x)$	$\mathcal{P}(f)$	$f(x)$	$\mathcal{P}(f)$
$x^n$ ($n\ne-1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$	$\cos x$	$\sin x + C$
$1$	$x+C$	$\sin x$	$-\cos x + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln	x	+ C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + C$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$

La primitiva è lineare: $\mathcal{P}(\alpha f+\beta g) = \alpha\,\mathcal{P}(f)+\beta\,\mathcal{P}(g)$.

Grazie alla linearità, un integrale di una combinazione di funzioni si spezza nella somma dei singoli integrali, ciascuno risolubile con la tavola.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale indefinito · Linearita dell integrale · Primitiva
Competenze: Integrare · Usare formule

Computing an integral almost always means recognising an antiderivative. It is therefore worth keeping in mind a small table of elementary antiderivatives, obtained simply by “reading the differentiation rules backwards”. The additive constant $C$ reminds us that the antiderivative is defined up to a constant (the indefinite integral).

In brief — Elementary antiderivatives

$f(x)$	$\mathcal{P}(f)$	$f(x)$	$\mathcal{P}(f)$
$x^n$ ($n\ne-1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$	$\cos x$	$\sin x + C$
$1$	$x+C$	$\sin x$	$-\cos x + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln	x	+ C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + C$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$

The antiderivative is linear: $\mathcal{P}(\alpha f+\beta g) = \alpha\,\mathcal{P}(f)+\beta\,\mathcal{P}(g)$.

Thanks to linearity, an integral of a combination of functions splits into the sum of the individual integrals, each solvable with the table.

Links

Topics: Integral
Concepts: Indefinite integral · Linearity of the integral · Antiderivative
Skills: Integrating · Using formulae