Fondamenti di geometria euclidea

Entriamo nel mondo della geometria. A differenza dell’algebra, qui non calcoliamo: dimostriamo. Il capitolo parte dalla struttura logica di un teorema — ipotesi, tesi, postulati, sillogismo — e da un metodo pratico per costruire una dimostrazione. Da lì si sviluppa tutta l’impalcatura della geometria euclidea del biennio: i tre criteri di congruenza dei triangoli, che sono il mattone fondamentale, e poi le loro applicazioni classiche (angoli opposti al vertice, triangolo isoscele, teorema dell’angolo esterno, somma degli angoli interni). Si arriva ai luoghi geometrici (asse e bisettrice), al parallelismo con gli angoli alterni interni, ai quadrilateri (trapezio, parallelogramma, rombo, rettangolo) e infine a due risultati potenti: il teorema della cerniera e il teorema di Talete.

Sezioni

• Che cos’è un teorema?
• Come dimostrare un teorema di geometria
• Criteri di congruenza dei triangoli
• Angoli opposti al vertice
• Triangolo isoscele
• Teorema dell’angolo esterno
• Somma degli angoli interni di un poligono
• Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli
• Luogo geometrico
• Rette parallele e angoli
• Dimostrazioni con il parallelismo
• Asse di un segmento
• Quadrilateri
• Teorema della cerniera
• Teorema di Talete

Approfondimenti

• Euclide e gli Elementi
• Talete di Mileto e l’altezza della piramide

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

We enter the world of geometry. Unlike algebra, here we do not calculate: we prove. The chapter starts from the logical structure of a theorem — hypothesis, thesis, postulates, syllogism — and from a practical method for constructing a proof. From there the whole scaffolding of the two-year Euclidean geometry course develops: the three congruence criteria for triangles, which are the fundamental building block, and then their classic applications (vertically opposite angles, the isosceles triangle, the exterior angle theorem, the sum of the interior angles). We arrive at loci (the perpendicular bisector and the angle bisector), at parallelism with alternate interior angles, at quadrilaterals (trapezium, parallelogram, rhombus, rectangle) and finally at two powerful results: the hinge theorem and the intercept theorem.

Sections

• What is a theorem?
• How to prove a geometry theorem
• Congruence criteria for triangles
• Vertically opposite angles
• The isosceles triangle
• The exterior angle theorem
• The sum of the interior angles of a polygon
• Congruence criteria for right triangles
• Locus
• Parallel lines and angles
• Proofs using parallelism
• The perpendicular bisector of a segment
• Quadrilaterals
• The hinge theorem
• The intercept theorem

Further reading

• Euclid and the Elements
• Thales of Miletus and the height of the pyramid

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Quando due rette si intersecano formano quattro angoli, a due a due opposti rispetto al punto di incontro. La prima applicazione dei criteri di congruenza è dimostrare che gli angoli opposti al vertice sono uguali.

Teorema — Angoli opposti al vertice

Due angoli opposti al vertice sono congruenti.

Dimostrazione

Siano $\widehat{CMA}$ e $\widehat{BMD}$ angoli opposti al vertice formati dall’intersezione di due rette in $M$. L’idea è mostrare che i due angoli compaiono in triangoli congruenti.

1. Ipotesi. $\widehat{CMA}$ e $\widehat{BMD}$ sono opposti al vertice (costruiti per prolungamento).
2. Considero. I triangoli $CMA$ e $BMD$ e ne confronto gli elementi: $\begin{array}{|c|c|} \hline \widehat{CMA} & \widehat{BMD} \\ \hline CM & BM \\ AM & DM \\ \hline \end{array}$
3. Deduco. Ne segue che $\triangle CMA \cong \triangle BMD$ per il I criterio.
4. Verificato. Gli elementi corrispondenti dei due triangoli sono dunque congruenti: $AC\cong DB,\quad \widehat{CAM}\cong\widehat{BDM},\quad \boxed{\widehat{ACM}\cong\widehat{DBM}}$

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli opposti al vertice · Angolo · Criteri congruenza · Dimostrazione
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

When two lines intersect they form four angles, in pairs opposite with respect to the point of meeting. The first application of the congruence criteria is to prove that vertically opposite angles are equal.

Theorem — Vertically opposite angles

Two vertically opposite angles are congruent.

Proof

Let $\widehat{CMA}$ and $\widehat{BMD}$ be vertically opposite angles formed by the intersection of two lines at $M$. The idea is to show that the two angles appear in congruent triangles.

1. Hypothesis. $\widehat{CMA}$ and $\widehat{BMD}$ are vertically opposite (built by extension).
2. I consider. The triangles $CMA$ and $BMD$ and I compare their elements: $\begin{array}{|c|c|} \hline \widehat{CMA} & \widehat{BMD} \\ \hline CM & BM \\ AM & DM \\ \hline \end{array}$
3. I deduce. It follows that $\triangle CMA \cong \triangle BMD$ by the first criterion.
4. Verified. The corresponding elements of the two triangles are therefore congruent: $AC\cong DB,\quad \widehat{CAM}\cong\widehat{BDM},\quad \boxed{\widehat{ACM}\cong\widehat{DBM}}$

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Vertically opposite angles · Angle · Congruence criteria · Proof
Skills: Proving · Synthetic geometry

Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è $\pi$. E per un quadrilatero? E per un pentagono? C’è una formula generale che vale per ogni poligono convesso.

Teorema — Somma degli angoli interni di un poligono

In un poligono convesso di $n$ lati la somma degli angoli interni è: $(n-2)\cdot\pi \qquad\text{cioè}\qquad (n-2)\cdot 180^\circ.$

Dimostrazione

L’idea è suddividere il poligono in triangoli e poi sottrarre gli angoli “di troppo”.

1. Costruzione. Scelgo un punto $O$ interno al poligono e lo congiungo con tutti i vertici, ottenendo $n$ triangoli.
2. Osservo. La somma di tutti gli angoli dei triangoli così formati è $n\cdot\pi$.
3. Osservo. Tuttavia, gli angoli che si affacciano nel punto $O$ formano un angolo giro: $2\pi$. Questi angoli non fanno parte degli angoli interni del poligono.
4. Deduco. Sottraendo, la somma degli angoli interni del poligono è $n\pi - 2\pi = (n-2)\pi$.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Dimostrazione · Poligono · Somma angoli poligono · Somma angoli triangolo
Competenze: Dimostrare · Usare formule

We know that the sum of the interior angles of a triangle is $\pi$. And for a quadrilateral? And for a pentagon? There is a general formula that holds for every convex polygon.

Theorem — Sum of the interior angles of a polygon

In a convex polygon of $n$ sides the sum of the interior angles is: $(n-2)\cdot\pi \qquad\text{that is}\qquad (n-2)\cdot 180^\circ.$

Proof

The idea is to subdivide the polygon into triangles and then subtract the “excess” angles.

1. Construction. I choose a point $O$ interior to the polygon and join it to all the vertices, obtaining $n$ triangles.
2. I observe. The sum of all the angles of the triangles thus formed is $n\cdot\pi$.
3. I observe. However, the angles that face onto the point $O$ form a full angle: $2\pi$. These angles do not belong to the interior angles of the polygon.
4. I deduce. Subtracting, the sum of the interior angles of the polygon is $n\pi - 2\pi = (n-2)\pi$.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Proof · Polygon · Sum of the angles of a polygon · Sum of the angles of a triangle
Skills: Proving · Using formulae

Per i triangoli rettangoli bastano meno informazioni rispetto al caso generale, perché il fatto di avere un angolo retto è già un dato in più. Vediamo i criteri specifici, che discendono tutti dai tre criteri generali.

Teorema — Congruenza dei triangoli rettangoli

Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti:

1. i due cateti (dal I criterio — SAS);
2. ipotenusa e un cateto (dal III criterio — SSS, il secondo cateto si ottiene per Pitagora);
3. ipotenusa e un angolo acuto (dal II criterio — il secondo angolo acuto è il complementare);
4. un cateto e l’angolo acuto adiacente (dal II criterio — ASA);
5. un cateto e l’angolo acuto opposto (dal II criterio — ASA, l’altro angolo acuto è il complementare).

Un triangolo rettangolo: i due cateti $a,b$, l’ipotenusa $c$ e i due angoli acuti $\alpha,\beta$ (complementari).

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Congruenza · Criteri congruenza · Triangolo rettangolo
Competenze: Geometria sintetica · Ragionare per casi
Persone: Pitagora

For right triangles fewer pieces of information are needed compared to the general case, because having a right angle is already one extra datum. Let us look at the specific criteria, which all descend from the three general criteria.

Theorem — Congruence of right triangles

Two right triangles are congruent if they have respectively congruent:

1. the two legs (from the first criterion — SAS);
2. hypotenuse and one leg (from the third criterion — SSS, the second leg is obtained by Pythagoras);
3. hypotenuse and one acute angle (from the second criterion — the second acute angle is the complementary one);
4. a leg and the adjacent acute angle (from the second criterion — ASA);
5. a leg and the opposite acute angle (from the second criterion — ASA, the other acute angle is the complementary one).

A right triangle: the two legs $a,b$, the hypotenuse $c$ and the two acute angles $\alpha,\beta$ (complementary).

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Congruence · Congruence criteria · Right triangle
Skills: Synthetic geometry · Reasoning by cases
People: Pythagoras

Il parallelismo, combinato con i criteri di congruenza, è uno strumento potentissimo. Vediamo una dimostrazione classica affrontata con il ragionamento all’indietro (Backward Thinking): si parte dalla tesi e si risale verso le ipotesi.

Esempio — Backward Thinking

$M$ è il punto medio di $PQ$. Una retta $r$ diversa da $PQ$ passa per $M$. Su $r$ si prendono $S$ e $T$ da parti opposte di $M$ con $MS\cong MT$. Dimostrare che $PT \parallel QS$.

La configurazione: $M$ punto medio di $PQ$, e $S,T$ simmetrici rispetto a $M$ su una retta per $M$.

Il metodo Backward Thinking si visualizza con un diagramma a catena che parte dalla tesi e risale verso le ipotesi:

Il diagramma a catena del ragionamento all’indietro: dalla tesi (in alto) si scende fino alle ipotesi (in basso).

Letto dal basso verso l’alto, il diagramma diventa la dimostrazione:

Dimostrazione

1. Ipotesi. $PM \cong QM$ (punto medio), $SM \cong TM$ (ipotesi), $\widehat{PMS}\cong\widehat{QMT}$ (opposti al vertice).
2. Deduco. Per il I criterio: $\triangle PMT\cong\triangle QMS$.
3. Deduco. Dunque $\widehat{TPM}\cong\widehat{SQM}$ (elementi corrispondenti).
4. Deduco. Per il teorema degli alterni interni: $PT \parallel QS$.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Criteri congruenza · Dimostrazione · Parallelismo · Retta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

Parallelism, combined with the congruence criteria, is an extremely powerful tool. Let us look at a classic proof tackled with backward reasoning (Backward Thinking): we start from the thesis and work back towards the hypotheses.

Example — Backward Thinking

$M$ is the midpoint of $PQ$. A line $r$ other than $PQ$ passes through $M$. On $r$ we take $S$ and $T$ on opposite sides of $M$ with $MS\cong MT$. Prove that $PT \parallel QS$.

The configuration: $M$ midpoint of $PQ$, and $S,T$ symmetric with respect to $M$ on a line through $M$.

The Backward Thinking method is visualised with a chain diagram that starts from the thesis and works back towards the hypotheses:

The chain diagram of backward reasoning: from the thesis (at the top) we descend down to the hypotheses (at the bottom).

Read from the bottom upwards, the diagram becomes the proof:

Proof

1. Hypothesis. $PM \cong QM$ (midpoint), $SM \cong TM$ (hypothesis), $\widehat{PMS}\cong\widehat{QMT}$ (vertically opposite).
2. Deduce. By the first criterion: $\triangle PMT\cong\triangle QMS$.
3. Deduce. Hence $\widehat{TPM}\cong\widehat{SQM}$ (corresponding elements).
4. Deduce. By the alternate interior angles theorem: $PT \parallel QS$.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Alternate interior angles · Congruence criteria · Proof · Parallelism · Line
Skills: Proving · Synthetic geometry

Riprendiamo la caratterizzazione dell’asse come luogo geometrico, questa volta con una figura completa che accompagna passo passo la dimostrazione.

Teorema — Asse di un segmento

Se un punto $C$ ha uguale distanza dagli estremi $A$ e $B$ di un segmento, allora $C$ appartiene all’asse di $AB$.

Dimostrazione

$CA\cong CB$ e $M$ punto medio di $AB$: i triangoli $ACM$ e $BCM$ sono congruenti per il III criterio, quindi $CM\perp AB$.

Success

1. Ipotesi. $AC \cong BC$ (ipotesi).
2. Costruzione. Contrassegno con $M$ il punto medio di $AB$ e congiungo $C$ con $M$.
3. Considero. I triangoli $ACM$ e $BCM$:
   • $AC \cong BC$ (ipotesi)
   • $AM \cong BM$ ($M$ punto medio)
   • $CM \cong CM$ (lato in comune)
4. Deduco. Per il III criterio: $\triangle ACM \cong \triangle BCM$.
5. Deduco. Ne segue $\widehat{AMC}\cong\widehat{BMC}$. Poiché sono supplementari e congruenti, sono entrambi retti.
6. Tesi. Dunque $CM$ è perpendicolare ad $AB$ e passa per il punto medio $M$: $C$ appartiene all’asse di $AB$.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Asse del segmento · Criteri congruenza · Dimostrazione · Luogo geometrico
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

We return to the characterisation of the perpendicular bisector as a locus, this time with a complete figure that accompanies the proof step by step.

Theorem — Perpendicular bisector of a segment

If a point $C$ is at equal distance from the endpoints $A$ and $B$ of a segment, then $C$ lies on the perpendicular bisector of $AB$.

Proof

$CA\cong CB$ and $M$ midpoint of $AB$: the triangles $ACM$ and $BCM$ are congruent by the third criterion, so $CM\perp AB$.

Success

1. Hypothesis. $AC \cong BC$ (hypothesis).
2. Construction. I mark $M$ as the midpoint of $AB$ and join $C$ to $M$.
3. Consider. The triangles $ACM$ and $BCM$:
   • $AC \cong BC$ (hypothesis)
   • $AM \cong BM$ ($M$ midpoint)
   • $CM \cong CM$ (common side)
4. Deduce. By the third criterion: $\triangle ACM \cong \triangle BCM$.
5. Deduce. It follows that $\widehat{AMC}\cong\widehat{BMC}$. Since they are supplementary and congruent, they are both right angles.
6. Thesis. Hence $CM$ is perpendicular to $AB$ and passes through the midpoint $M$: $C$ lies on the perpendicular bisector of $AB$.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Perpendicular bisector · Congruence criteria · Proof · Locus
Skills: Proving · Synthetic geometry

Dopo le uguaglianze (le congruenze), studiamo le disuguaglianze tra elementi di un triangolo. Il teorema della cerniera confronta due triangoli con due coppie di lati uguali ma angolo compreso diverso: ad angolo maggiore corrisponde lato opposto maggiore, esattamente come una cerniera che si apre.

Teorema — della cerniera

Se due triangoli hanno due coppie di lati rispettivamente congruenti ma gli angoli compresi sono disuguali, allora i terzi lati sono disuguali nello stesso senso: $\begin{cases} AB\cong A'B' \\ BC\cong B'C' \\ \widehat{ABC} > \widehat{A'B'C'} \end{cases} \implies \overline{AC} > \overline{A'C'}$

Stessi due lati, ma angolo compreso maggiore a sinistra: il terzo lato $AC$ è più lungo di $A'C'$.

Vale anche il teorema inverso: se i terzi lati sono disuguali, lo sono anche gli angoli compresi.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Disuguaglianza triangolare · Teorema cerniera · Teorema inverso · Triangolo
Competenze: Geometria sintetica

After the equalities (the congruences), we study the inequalities between the elements of a triangle. The hinge theorem compares two triangles with two pairs of equal sides but a different included angle: a larger angle corresponds to a larger opposite side, exactly like a hinge that opens.

Theorem — the hinge theorem

If two triangles have two pairs of respectively congruent sides but the included angles are unequal, then the third sides are unequal in the same sense: $\begin{cases} AB\cong A'B' \\ BC\cong B'C' \\ \widehat{ABC} > \widehat{A'B'C'} \end{cases} \implies \overline{AC} > \overline{A'C'}$

The same two sides, but a larger included angle on the left: the third side $AC$ is longer than $A'C'$.

The converse theorem also holds: if the third sides are unequal, so are the included angles.

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Concepts: Triangle inequality · Hinge theorem · Converse theorem · Triangle
Skills: Synthetic geometry

La geometria che studiamo a scuola prende il nome di euclidea proprio perché nasce da un libro. Prima di entrare nei teoremi, vale la pena conoscere l’opera che ha dato forma all’idea stessa di dimostrazione matematica.

Storia — Euclide e gli Elementi

La geometria che studiamo a scuola si chiama “euclidea” perché viene da un libro: gli Elementi (Stoicheîa) di Euclide, scritti ad Alessandria d’Egitto intorno al 300 a.C. Sono tredici libri (in realtà tredici “rotoli” di papiro) che, partendo da appena cinque postulati e cinque nozioni comuni, deducono in modo rigorosamente concatenato 465 proposizioni di geometria piana, teoria dei numeri e geometria solida.

Gli Elementi sono il libro di matematica più letto, copiato e commentato di tutti i tempi: dopo la Bibbia, è probabilmente il testo che ha avuto più edizioni nella storia europea. La loro influenza sull’idea stessa di “dimostrazione matematica” è immensa: per oltre duemila anni, presentare un’idea “more geometrico” (alla maniera dei geometri) ha significato presentarla con il rigore di Euclide. Anche Newton, nei suoi Principia, e Spinoza, nella sua Etica, scelgono questa forma espositiva (Boyer, Storia della matematica, cap. 4); si veda anche Netz, cap. 3, per una rilettura moderna del contesto greco.

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• An introduction to mathematical theorems — TED-Ed

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Postulato · Teoria
Competenze: Dimostrare
Persone: Euclide · Isaac Newton

The geometry we study at school is called Euclidean precisely because it is born from a book. Before entering into the theorems, it is worth getting to know the work that gave shape to the very idea of mathematical proof.

History — Euclid and the Elements

The geometry we study at school is called “Euclidean” because it comes from a book: the Elements (Stoicheîa) of Euclid, written in Alexandria in Egypt around 300 BC. They are thirteen books (actually thirteen papyrus “scrolls”) that, starting from just five postulates and five common notions, deduce in a rigorously chained way 465 propositions of plane geometry, number theory and solid geometry.

The Elements are the most read, copied and commented mathematics book of all time: after the Bible, it is probably the text that has had the most editions in European history. Their influence on the very idea of “mathematical proof” is immense: for over two thousand years, presenting an idea “more geometrico” (in the manner of the geometers) has meant presenting it with the rigour of Euclid. Newton too, in his Principia, and Spinoza, in his Ethics, chose this expository form (Boyer, A History of Mathematics, ch. 4); see also Netz, ch. 3, for a modern re-reading of the Greek context.

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• An introduction to mathematical theorems — TED-Ed

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People: Euclid · Isaac Newton