Radici n-esime

Nei complessi ogni numero non nullo ha esattamente $n$ radici $n$-esime, che si calcolano facilmente in forma esponenziale distribuendo l’argomento in $n$ parti uguali. Geometricamente le radici sono i vertici di un poligono regolare inscritto in una circonferenza.

• Radici n-esime di un numero complesso
• Le radici cubiche di 8

In the complex numbers every non-zero number has exactly $n$ $n$th roots, which are easily computed in exponential form by distributing the argument into $n$ equal parts. Geometrically the roots are the vertices of a regular polygon inscribed in a circle.

• nth roots of a complex number
• The cube roots of 8

A differenza dei reali, dove la radice $n$-esima può non esistere o essere unica, nei complessi ogni numero non nullo ha sempre esattamente $n$ radici $n$-esime distinte.

Proprietà — Radici $n$-esime di un numero complesso

Dato $z=\rho\,e^{i\theta}$ con $\rho>0$, le radici $n$-esime di $z$ sono esattamente $n$, date da: $w_k = \sqrt[n]{\rho}\,\exp\!\left(i\,\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \ldots, n-1.$ Queste $n$ radici sono i vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto nella circonferenza di centro l’origine e raggio $\sqrt[n]{\rho}$.

Tutte le radici hanno lo stesso modulo $\sqrt[n]{\rho}$ e argomenti che differiscono di $2\pi/n$: per questo si dispongono agli angoli di un poligono regolare.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma esponenziale · Radici n esime
Metodi: Numeri complessi polare
Competenze: Usare formule

Unlike the reals, where the $n$th root may not exist or may be unique, in the complex numbers every non-zero number always has exactly $n$ distinct $n$th roots.

Property — $n$th roots of a complex number

Given $z=\rho\,e^{i\theta}$ with $\rho>0$, the $n$th roots of $z$ are exactly $n$, given by: $w_k = \sqrt[n]{\rho}\,\exp\!\left(i\,\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \ldots, n-1.$ These $n$ roots are the vertices of a regular polygon with $n$ sides inscribed in the circle centred at the origin with radius $\sqrt[n]{\rho}$.

All the roots have the same modulus $\sqrt[n]{\rho}$ and arguments differing by $2\pi/n$: for this reason they are arranged at the vertices of a regular polygon.

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Topics: Complex numbers
Concepts: Exponential form · nth roots
Methods: Numeri complessi polare
Skills: Use formulae

Esempio — Le radici cubiche di 8

Poiché $8 = 8\cdot e^{i\cdot 0}$, applicando la formula delle radici $n$-esime con $n=3$ e $\sqrt[3]{8}=2$ si ottiene: $w_0 = 2\,e^{i\cdot 0} = 2,\quad w_1 = 2\,e^{i\cdot 2\pi/3} = 2\Bigl(-\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt 3}{2}\Bigr) = -1 + i\sqrt{3},\quad w_2 = 2\,e^{i\cdot 4\pi/3} = -1 - i\sqrt{3}.$ Le tre radici formano un triangolo equilatero centrato nell’origine.

Le tre radici cubiche di 8 sono i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio $\sqrt[3]{8}=2$.

In generale, le $n$ radici $n$-esime di un numero complesso sono i vertici di un poligono regolare a $n$ lati, inscritto nel cerchio di raggio $\sqrt[n]{\rho}$. Nell’esempio, $n=3$ dà un triangolo equilatero.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma esponenziale · Piano di argand gauss · Radici n esime
Competenze: Calcolare · Usare formule

Example — The cube roots of 8

Since $8 = 8\cdot e^{i\cdot 0}$, applying the formula for the $n$th roots with $n=3$ and $\sqrt[3]{8}=2$ one obtains: $w_0 = 2\,e^{i\cdot 0} = 2,\quad w_1 = 2\,e^{i\cdot 2\pi/3} = 2\Bigl(-\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt 3}{2}\Bigr) = -1 + i\sqrt{3},\quad w_2 = 2\,e^{i\cdot 4\pi/3} = -1 - i\sqrt{3}.$ The three roots form an equilateral triangle centred at the origin.

The three cube roots of 8 are the vertices of an equilateral triangle inscribed in the circle of radius $\sqrt[3]{8}=2$.

In general, the $n$ $n$th roots of a complex number are the vertices of a regular polygon with $n$ sides, inscribed in the circle of radius $\sqrt[n]{\rho}$. In the example, $n=3$ gives an equilateral triangle.

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Topics: Complex numbers
Concepts: Exponential form · Argand-Gauss plane · nth roots
Skills: Calculate · Use formulae