Archi, corde e radianti

I primi oggetti che vivono sulla circonferenza sono gli archi e le corde. Due punti individuano sempre due archi (uno minore e uno maggiore) e una corda che li congiunge. Introduciamo poi la misura degli angoli in radianti, che lega in modo diretto l’ampiezza di un angolo alla lunghezza dell’arco che esso individua.

• Archi e corde
• Radianti e lunghezza d’arco
• Conversione gradi-radianti
• Archimede e la misura del cerchio

The first objects that live on the circle are arcs and chords. Two points always determine two arcs (a minor one and a major one) and a chord joining them. We then introduce the measure of angles in radians, which directly links the size of an angle to the length of the arc it determines.

• Arcs and chords
• Radians and arc length
• Degree-radian conversion
• Archimedes and the measurement of the circle

Sulla circonferenza distinguiamo due oggetti fondamentali: la porzione di curva compresa fra due punti (l’arco) e il segmento che li unisce (la corda).

Definizione — Arco e corda

Un arco è la porzione di circonferenza compresa tra due punti $A$ e $B$. Due punti individuano due archi: l’arco minore e l’arco maggiore.

Una corda è il segmento che congiunge due punti della circonferenza. Si dice che la corda $AB$ sottende l’arco $AB$ (per convenzione, quello minore).

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Arco · Corda

On the circle we distinguish two fundamental objects: the portion of curve between two points (the arc) and the segment that joins them (the chord).

Definition — Arc and chord

An arc is the portion of the circle between two points $A$ and $B$. Two points determine two arcs: the minor arc and the major arc.

A chord is the segment joining two points of the circle. The chord $AB$ is said to subtend the arc $AB$ (by convention, the minor one).

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Arc · Chord

La misura in radianti nasce da un’idea semplice: misurare un angolo tramite la lunghezza dell’arco che esso individua, rapportata al raggio.

Proprietà — Radianti e lunghezza d'arco

La misura in radianti di un angolo è il rapporto tra l’arco corrispondente e il raggio. La lunghezza di un arco si ottiene come: $\ell_{\text{arco}} = \alpha_{\text{rad}} \cdot r$

Storia — Archimede imbriglia $\pi$

Che la lunghezza dell’intera circonferenza sia $2\pi r$ presuppone di saper stimare $\pi$. Nell’opera Sulla misura del cerchio Archimede di Siracusa (287–212 a.C.) inscrisse e circoscrisse alla circonferenza poligoni regolari, raddoppiando progressivamente i lati fino al poligono di $96$ lati. Poiché il perimetro inscritto è più corto e quello circoscritto più lungo della circonferenza, ottenne la doppia disuguaglianza $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$, cioè $\pi$ compreso tra $3{,}1408\ldots$ e $3{,}1428\ldots$ (Boyer, Dunham). È il primo esempio documentato di calcolo rigoroso di un valore numerico tramite stime superiori e inferiori.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Arco · Radiante
Competenze: Usare formule
Persone: Archimede

Radian measure arises from a simple idea: measuring an angle by the length of the arc it determines, relative to the radius.

Property — Radians and arc length

The measure in radians of an angle is the ratio between the corresponding arc and the radius. The length of an arc is obtained as: $\ell_{\text{arco}} = \alpha_{\text{rad}} \cdot r$

History — Archimedes bounds $\pi$

That the whole circumference measures $2\pi r$ presupposes being able to estimate $\pi$. In his work Measurement of a Circle Archimedes of Syracuse (287–212 BC) inscribed and circumscribed regular polygons about the circle, repeatedly doubling the number of sides up to a $96$-sided polygon. Since the inscribed perimeter is shorter and the circumscribed one longer than the circumference, he obtained the double inequality $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$, that is $\pi$ between $3.1408\ldots$ and $3.1428\ldots$ (Boyer, Dunham). It is the first documented case of a numerical value computed rigorously through upper and lower estimates.

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Arc · Radian
Skills: Using formulae

Conviene memorizzare i valori notevoli della conversione tra gradi e radianti: ricorrono continuamente nei problemi sulla circonferenza e in trigonometria.

In sintesi — Tabella di conversione gradi/radianti

Gradi	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$360°$
Radianti	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Radiante
Competenze: Usare formule

It is worth memorising the notable values of the conversion between degrees and radians: they recur constantly in problems on the circle and in trigonometry.

In brief — Degree/radian conversion table

Degrees	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$360°$
Radians	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Radian
Skills: Using formulae

Il numero $\pi$ compare in ogni formula sulla circonferenza — lunghezza $2\pi r$, area $\pi r^2$ — ma quanto vale davvero? La risposta più antica e rigorosa la diede Archimede di Siracusa (287–212 a.C.) nel breve trattato Sulla misura del cerchio (in greco Kýklou métrēsis), tre proposizioni che sono un capolavoro di ragionamento geometrico.

L’idea: stringere il cerchio fra due poligoni

Una circonferenza è una curva, e misurarla direttamente è impossibile con riga e compasso. Archimede aggirò l’ostacolo con un’idea semplice e potente: racchiudere la circonferenza fra due poligoni regolari, uno inscritto e uno circoscritto, di cui invece sappiamo calcolare esattamente il perimetro.

Il perimetro del poligono inscritto è più corto della circonferenza; quello del poligono circoscritto è più lungo. La lunghezza vera resta dunque “imprigionata” fra i due: $P_{\text{inscritto}} < 2\pi r < P_{\text{circoscritto}}$

Più lati hanno i poligoni, più i due perimetri si avvicinano fra loro e più stretta diventa la morsa attorno al valore incognito.

Il poligono di 96 lati

Archimede non si fermò a poche stime: partendo dall’esagono regolare raddoppiò più volte il numero dei lati — $6 \to 12 \to 24 \to 48 \to 96$ — ricavando a ogni passo, con calcoli esatti su radici quadrate, il nuovo perimetro. Arrivato al poligono di $96$ lati ottenne la celebre doppia disuguaglianza: $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$

In numeri decimali, $3{,}1408\ldots < \pi < 3{,}1428\ldots$. Il valore $\tfrac{22}{7} = 3\tfrac{1}{7}$ è ancora oggi la frazione con cui si approssima $\pi$ nei conti rapidi (Boyer, Dunham).

Perché è importante

Il metodo di Archimede è la prima comparsa di un’idea che percorre tutta la matematica: approssimare una quantità inafferrabile con una successione di stime per difetto e per eccesso che la stringono da entrambi i lati. È l’antenato diretto del concetto di limite e del calcolo integrale, che nasceranno duemila anni più tardi. Con lo stesso spirito, nella sua opera Sulla sfera e il cilindro, Archimede dimostrò che l’area del cerchio equivale a quella di un triangolo con base pari alla circonferenza e altezza uguale al raggio, cioè $\pi r^2$ (Katz).

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Arco · Circonferenza
Persone: Archimede

The number $\pi$ appears in every formula about the circle — circumference $2\pi r$, area $\pi r^2$ — but what is its actual value? The oldest and most rigorous answer was given by Archimedes of Syracuse (287–212 BC) in the short treatise Measurement of a Circle (in Greek Kýklou métrēsis), three propositions that are a masterpiece of geometric reasoning.

The idea: squeezing the circle between two polygons

A circle is a curve, and measuring it directly is impossible with straightedge and compass. Archimedes got around the obstacle with a simple, powerful idea: enclose the circle between two regular polygons, one inscribed and one circumscribed, whose perimeters we can compute exactly.

The perimeter of the inscribed polygon is shorter than the circumference; that of the circumscribed one is longer. The true length therefore stays “trapped” between the two: $P_{\text{inscribed}} < 2\pi r < P_{\text{circumscribed}}$

The more sides the polygons have, the closer the two perimeters come to each other and the tighter the grip on the unknown value.

The 96-sided polygon

Archimedes did not stop at a few estimates: starting from the regular hexagon he repeatedly doubled the number of sides — $6 \to 12 \to 24 \to 48 \to 96$ — computing at each step, through exact calculations on square roots, the new perimeter. Reaching the $96$-sided polygon he obtained the celebrated double inequality: $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$

In decimal terms, $3.1408\ldots < \pi < 3.1428\ldots$. The value $\tfrac{22}{7} = 3\tfrac{1}{7}$ is still today the fraction used to approximate $\pi$ in quick calculations (Boyer, Dunham).

Why it matters

Archimedes’ method is the first appearance of an idea that runs through all of mathematics: approximating an elusive quantity by a sequence of estimates from below and from above that squeeze it from both sides. It is the direct ancestor of the concept of limit and of integral calculus, which would be born two thousand years later. In the same spirit, in his work On the Sphere and Cylinder, Archimedes proved that the area of the circle equals that of a triangle whose base is the circumference and whose height is the radius, that is $\pi r^2$ (Katz).

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Arc · Circle
People: Archimedes