Formule di duplicazione

Ponendo $\beta=\alpha$ nelle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione, che esprimono seno, coseno e tangente dell’angolo doppio $2\alpha$. Il coseno ha tre forme equivalenti: quella in soli seni e quella in soli coseni permettono di abbassare il grado di $\sin^2$ e $\cos^2$, dando origine alle utilissime formule di linearizzazione.

• Le formule di duplicazione
• Abbassare il grado: formule di linearizzazione
• Esempio: linearizzare sin⁴α

Setting $\beta=\alpha$ in the addition formulae gives the duplication formulae, which express the sine, cosine and tangent of the double angle $2\alpha$. The cosine has three equivalent forms: the one in sines only and the one in cosines only allow us to lower the degree of $\sin^2$ and $\cos^2$, giving rise to the extremely useful linearisation formulae.

• The duplication formulae
• Lowering the degree: linearisation formulae
• Example: linearising sin⁴α

Che cosa succede quando i due angoli di una formula di addizione sono uguali? Ponendo $\beta = \alpha$ nelle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione, che esprimono i valori goniometrici dell’angolo doppio $2\alpha$.

Proprietà — Formule di duplicazione

Sostituendo $\beta = \alpha$ nelle formule di addizione:

\sin(2\alpha) &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos(2\alpha) &= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \\ \tan(2\alpha) &= \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned}$$

Le tre forme di $\cos(2\alpha)$ sono tutte equivalenti (si passa dall’una all’altra usando l’identità fondamentale $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$) e si scelgono in base al contesto: la forma in soli $\sin$ e quella in soli $\cos$ sono particolarmente utili quando si vuole eliminare una delle due funzioni.

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Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di addizione · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule duplicazione
Competenze: Dimostrare · Usare formule

What happens when the two angles of an addition formula are equal? Setting $\beta = \alpha$ in the addition formulae gives the duplication formulae, which express the trigonometric values of the double angle $2\alpha$.

Property — Duplication formulae

Substituting $\beta = \alpha$ into the addition formulae:

\sin(2\alpha) &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos(2\alpha) &= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \\ \tan(2\alpha) &= \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned}$$

The three forms of $\cos(2\alpha)$ are all equivalent (one passes from one to another using the fundamental identity $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$) and are chosen according to the context: the form in $\sin$ only and the one in $\cos$ only are particularly useful when we want to eliminate one of the two functions.

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Topics: Trigonometric formulae
Concepts: Addition formulae · Duplication formulae
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Methods: Duplication formulae
Skills: Proving · Using formulae

Osservazione — Utilità delle diverse forme del coseno

Le formule $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$ e $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ hanno un’applicazione cruciale: permettono di abbassare il grado di $\sin^2$ e $\cos^2$, esprimendoli in funzione di $\cos(2\alpha)$: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2},\qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}.$ Queste due formule sono note anche come formule di linearizzazione: trasformano un prodotto (o una potenza) di seni e coseni in una somma, utile per integrare e per semplificare le identità goniometriche.

Ricavarle è immediato: basta isolare $\sin^2\alpha$ nella prima forma e $\cos^2\alpha$ nella terza forma delle formule di duplicazione del coseno. Il vantaggio è che un termine di secondo grado in $\sin$ o $\cos$ viene sostituito da un termine di primo grado in $\cos(2\alpha)$, molto più facile da manipolare.

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Observation — Usefulness of the different forms of the cosine

The formulae $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$ and $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ have a crucial application: they allow us to lower the degree of $\sin^2$ and $\cos^2$, expressing them in terms of $\cos(2\alpha)$: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2},\qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}.$ These two formulae are also known as linearisation formulae: they turn a product (or a power) of sines and cosines into a sum, which is useful for integrating and for simplifying trigonometric identities.

Deriving them is immediate: it is enough to isolate $\sin^2\alpha$ in the first form and $\cos^2\alpha$ in the third form of the cosine duplication formulae. The advantage is that a second-degree term in $\sin$ or $\cos$ is replaced by a first-degree term in $\cos(2\alpha)$, which is much easier to manipulate.

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Applicando due volte le formule di linearizzazione si può ridurre anche una potenza quarta a una semplice somma di coseni.

Esempio — Identità per $\sin^4\alpha$

Dimostriamo l’identità $\sin^4\alpha = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{8}\cos(4\alpha).$

Idea. Applichiamo due volte la formula $\sin^2 = \dfrac{1-\cos(2\,\cdot\,)}{2}$. Prima al quadrato: $\sin^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 = \left(\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)}{4}.$ Poi al termine $\cos^2(2\alpha) = \dfrac{1+\cos(4\alpha)}{2}$: $= \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos(2\alpha) + \frac{1+\cos(4\alpha)}{2}\right) = \frac{1}{4}\cdot\frac{2 - 4\cos(2\alpha) + 1 + \cos(4\alpha)}{2} = \boxed{\dfrac{3 - 4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)}{8}}.$ che è esattamente l’identità cercata. ✓

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Competenze: Dimostrare · Usare formule

By applying the linearisation formulae twice, even a fourth power can be reduced to a simple sum of cosines.

Example — Identity for $\sin^4\alpha$

Let us prove the identity $\sin^4\alpha = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{8}\cos(4\alpha).$

Idea. We apply the formula $\sin^2 = \dfrac{1-\cos(2\,\cdot\,)}{2}$ twice. First to the square: $\sin^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 = \left(\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)}{4}.$ Then to the term $\cos^2(2\alpha) = \dfrac{1+\cos(4\alpha)}{2}$: $= \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos(2\alpha) + \frac{1+\cos(4\alpha)}{2}\right) = \frac{1}{4}\cdot\frac{2 - 4\cos(2\alpha) + 1 + \cos(4\alpha)}{2} = \boxed{\dfrac{3 - 4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)}{8}}.$ which is exactly the required identity. ✓

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