Esercizi — Ellisse

Tutti gli esercizi del capitolo: scrivere l’equazione di un’ellisse a partire da fuochi e un punto, determinare gli elementi da un’equazione data (facendo attenzione a quale semiasse è maggiore), riconoscere e ridurre in forma canonica traslata un’ellisse in forma sviluppata.

• Ellisse dati i fuochi e un punto
• Elementi di 9x²+4y²=36
• Riconoscimento di un’ellisse traslata

All the exercises in the chapter: writing the equation of an ellipse starting from its foci and a point, determining the elements from a given equation (paying attention to which semi-axis is the major one), recognising and reducing an ellipse in expanded form to translated canonical form.

• Ellipse given the foci and a point
• Elements of 9x²+4y²=36
• Recognising a translated ellipse

Testo

Scrivere l’equazione dell’ellisse con fuochi $F_{1,2}(\pm 3;0)$ e passante per $P(4;0)$.

Soluzione

I fuochi sono sull’asse $x$ e simmetrici rispetto all’origine, quindi $c = 3$ e l’ellisse è in forma canonica $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.

Il punto $P(4;0)$ ha ordinata nulla: è quindi un vertice sull’asse $x$, il che significa $a = 4$.

Dalla relazione $b^2 = a^2 - c^2$: $b^2 = 16 - 9 = 7.$

L’equazione cercata è $\boxed{\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1}.$

Collegamenti

Argomenti: Ellisse
Concetti: Ellisse · Equazione canonica · Fuochi · Semiassi
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico

Problem

Write the equation of the ellipse with foci $F_{1,2}(\pm 3;0)$ and passing through $P(4;0)$.

Solution

The foci are on the $x$-axis and symmetric with respect to the origin, hence $c = 3$ and the ellipse is in canonical form $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.

The point $P(4;0)$ has zero ordinate: it is therefore a vertex on the $x$-axis, which means $a = 4$.

From the relation $b^2 = a^2 - c^2$: $b^2 = 16 - 9 = 7.$

The required equation is $\boxed{\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1}.$

Links

Topics: Ellipse
Concepts: Ellipse · Canonical equation · Foci · Semi-axes
Skills: Analytic geometry · Using formulae
Exercise type: Geometric problem

Testo

Data $9x^2 + 4y^2 = 36$, determinare semiassi, fuochi, eccentricità (attenzione: quale semiasse è maggiore?).

Soluzione

Portiamo l’equazione in forma canonica dividendo per $36$: $\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = 1 \iff \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1.$

Qui i denominatori sono $4$ (sotto $x^2$) e $9$ (sotto $y^2$): il maggiore sta sotto $y^2$, quindi il semiasse maggiore è lungo l’asse $y$. Di conseguenza: $\text{semiasse minore (lungo } x) = \sqrt{4} = 2, \qquad \text{semiasse maggiore (lungo } y) = \sqrt{9} = 3.$

I fuochi stanno sull’asse maggiore, cioè sull’asse $y$, con $c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \implies F_{1,2}(0;\ \pm\sqrt{5}).$

L’eccentricità si calcola dividendo $c$ per il semiasse maggiore: $\boxed{e = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}75}.$

Collegamenti

Argomenti: Ellisse
Concetti: Eccentricita · Ellisse · Fuochi · Semiassi
Competenze: Calcolare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni

Problem

Given $9x^2 + 4y^2 = 36$, determine the semi-axes, foci and eccentricity (careful: which semi-axis is the major one?).

Solution

We bring the equation into canonical form by dividing by $36$: $\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = 1 \iff \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1.$

Here the denominators are $4$ (under $x^2$) and $9$ (under $y^2$): the larger one is under $y^2$, hence the semi-major axis is along the $y$-axis. Consequently: $\text{semiasse minore (lungo } x) = \sqrt{4} = 2, \qquad \text{semiasse maggiore (lungo } y) = \sqrt{9} = 3.$

The foci lie on the major axis, that is on the $y$-axis, with $c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \implies F_{1,2}(0;\ \pm\sqrt{5}).$

The eccentricity is computed by dividing $c$ by the semi-major axis: $\boxed{e = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}75}.$

Links

Topics: Ellipse
Concepts: Eccentricity · Ellipse · Foci · Semi-axes
Skills: Calculating · Analytic geometry
Exercise type: Calculating expressions

Testo

Riconoscere e ridurre alla forma canonica traslata: $x^2 + 4y^2 + 2x - 8y + 1 = 0$.

Soluzione

Raggruppo i termini in $x$ e i termini in $y$, raccogliendo il $4$ davanti a quelli in $y$: $(x^2 + 2x) + 4(y^2 - 2y) + 1 = 0.$

Completo i due quadrati: $\bigl[(x+1)^2 - 1\bigr] + 4\bigl[(y-1)^2 - 1\bigr] + 1 = 0$ $(x+1)^2 + 4(y-1)^2 - 1 - 4 + 1 = 0$ $(x+1)^2 + 4(y-1)^2 = 4.$

Divido per $4$ per ottenere la forma canonica traslata: $\boxed{\dfrac{(x+1)^2}{4} + \dfrac{(y-1)^2}{1} = 1}.$

È un’ellisse di centro $O'(-1;1)$, semiassi $a = 2$ (orizzontale) e $b = 1$ (verticale). Poiché $a>b$, i fuochi sono orizzontali con $c = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$: $F_{1,2}(-1\pm\sqrt{3};\ 1)$.

Collegamenti

Argomenti: Ellisse
Concetti: Completamento del quadrato · Ellisse · Ellisse traslata · Equazione canonica
Competenze: Geometria analitica · Semplificare
Tipo di esercizio: Scomposizione

Problem

Recognise and reduce to translated canonical form: $x^2 + 4y^2 + 2x - 8y + 1 = 0$.

Solution

I group the terms in $x$ and the terms in $y$, factoring out the $4$ in front of those in $y$: $(x^2 + 2x) + 4(y^2 - 2y) + 1 = 0.$

I complete the two squares: $\bigl[(x+1)^2 - 1\bigr] + 4\bigl[(y-1)^2 - 1\bigr] + 1 = 0$ $(x+1)^2 + 4(y-1)^2 - 1 - 4 + 1 = 0$ $(x+1)^2 + 4(y-1)^2 = 4.$

I divide by $4$ to obtain the translated canonical form: $\boxed{\dfrac{(x+1)^2}{4} + \dfrac{(y-1)^2}{1} = 1}.$

It is an ellipse with centre $O'(-1;1)$, semi-axes $a = 2$ (horizontal) and $b = 1$ (vertical). Since $a>b$, the foci are horizontal with $c = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$: $F_{1,2}(-1\pm\sqrt{3};\ 1)$.

Links

Topics: Ellipse
Concepts: Completing the square · Ellipse · Translated ellipse · Canonical equation
Skills: Analytic geometry · Simplifying
Exercise type: Decomposition

Testo

Data $9x^2 + 4y^2 - 36x + 8y + 4 = 0$, completa il quadrato per portarla in forma canonica e determina: tipo di conica, centro, semiassi, fuochi ed eccentricità.

Soluzione

$9(x^2-4x)+4(y^2+2y)+4=0 \Rightarrow 9(x-2)^2-36+4(y+1)^2-4+4=0 \Rightarrow 9(x-2)^2+4(y+1)^2=36$, cioè $\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y+1)^2}{9}=1.$ È un’ellisse di centro $C(2;-1)$, con $a=2$ (semiasse orizzontale) e $b=3$ (semiasse verticale, il maggiore). Poiché l’asse maggiore è verticale, $c=\sqrt{9-4}=\sqrt5$ e i fuochi sono $F\left(2;-1\pm\sqrt5\right)$. L’eccentricità è $e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt5}{3}\approx 0{,}745.$

$\boxed{C(2;-1),\ a=2,\ b=3,\ F(2;-1\pm\sqrt5),\ e=\tfrac{\sqrt5}{3}}$

Collegamenti

Argomenti: Ellisse
Concetti: Completamento del quadrato · Eccentricita · Ellisse · Fuochi · Semiassi
Competenze: Calcolare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema geometrico

Text

Given $9x^2 + 4y^2 - 36x + 8y + 4 = 0$, complete the square to reduce it to canonical form and find: type of conic, centre, semi-axes, foci and eccentricity.

Solution

$9(x-2)^2+4(y+1)^2=36$, i.e. $\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y+1)^2}{9}=1.$ It is an ellipse with centre $C(2;-1)$, $a=2$ (horizontal semi-axis) and $b=3$ (vertical, the larger). Since the major axis is vertical, $c=\sqrt{9-4}=\sqrt5$ and the foci are $F\left(2;-1\pm\sqrt5\right)$. The eccentricity is $e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt5}{3}\approx 0{,}745.$

$\boxed{C(2;-1),\ a=2,\ b=3,\ F(2;-1\pm\sqrt5),\ e=\tfrac{\sqrt5}{3}}$