Metodo di Cramer

Il metodo di Cramer fornisce una formula diretta per le soluzioni di un sistema, usando i determinanti. È particolarmente comodo per i sistemi $2\times 2$: basta calcolare tre determinanti e le soluzioni si leggono come rapporti.

• Il determinante di una matrice 2x2
• La regola di Cramer
• Esempio, sistema 2x2 con Cramer

Cramer’s method provides a direct formula for the solutions of a system, using determinants. It is especially convenient for $2\times 2$ systems: you just compute three determinants and read off the solutions as ratios.

• The determinant of a 2x2 matrix
• Cramer’s rule
• Example: 2x2 system with Cramer

Il metodo di Cramer fornisce una formula diretta per le soluzioni, usando i determinanti. È particolarmente comodo per i sistemi $2\times 2$.

Definizione — Determinante di una matrice $2\times 2$

Dato il sistema $2\times 2$ $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ il determinante della matrice dei coefficienti è: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - b_1 a_2.$

Il determinante è dunque un numero: si ottiene dal prodotto degli elementi sulla diagonale principale meno il prodotto di quelli sull’altra diagonale.

Collegamenti

Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Determinante · Sistema lineare 2x2
Competenze: Usare formule

Cramer’s method provides a direct formula for the solutions, using determinants. It is especially convenient for $2\times 2$ systems.

Definition — Determinant of a $2\times 2$ matrix

Given the $2\times 2$ system $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ the determinant of the coefficient matrix is: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - b_1 a_2.$

The determinant is therefore a number: it is obtained from the product of the elements on the main diagonal minus the product of those on the other diagonal.

Connections

Topics: Linear systems
Concepts: Determinant · 2x2 linear system
Skills: Using formulae

Quando il determinante dei coefficienti è diverso da zero, il sistema ha una e una sola soluzione, che si ottiene come rapporto di determinanti.

Teorema — di Cramer

Se $\Delta \neq 0$, il sistema ha un’unica soluzione: $x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\Delta}.$

Per ottenere $\Delta_x$ si sostituisce nella matrice dei coefficienti la colonna della $x$ con la colonna dei termini noti; analogamente per $\Delta_y$ si sostituisce la colonna della $y$.

Collegamenti

Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Determinante · Regola di cramer
Metodi: Sistemi cramer
Competenze: Risolvere sistemi · Usare formule
Persone: Gabriel Cramer

When the determinant of the coefficients is different from zero, the system has one and only one solution, obtained as a ratio of determinants.

Theorem — Cramer's

If $\Delta \neq 0$, the system has a unique solution: $x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\Delta}.$

To obtain $\Delta_x$ we replace, in the coefficient matrix, the column of $x$ with the column of the constant terms; likewise for $\Delta_y$ we replace the column of $y$.

Connections

Topics: Linear systems
Concepts: Determinant · Cramer’s rule
Methods: Systems by Cramer
Skills: Solving systems · Using formulae
People: Gabriel Cramer

Vediamo la regola di Cramer applicata a un sistema numerico, con la verifica finale delle soluzioni trovate.

Esempio — Sistema $2\times 2$ con Cramer

$\begin{cases} 2x + 3y = -1 \\ -3x + y = 3 \end{cases}$ Si calcolano i tre determinanti: $\begin{aligned} \Delta &= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot 1 - 3\cdot(-3) = 2+9 = 11 \\[4pt] \Delta_x &= \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (-1)\cdot 1 - 3\cdot 3 = -10 \\[4pt] \Delta_y &= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = 2\cdot 3 - (-1)(-3) = 6-3 = 3 \end{aligned}$ Quindi: $x = \frac{-10}{11} = \boxed{-\frac{10}{11}}, \qquad y = \frac{3}{11} = \boxed{\frac{3}{11}}$

Verifica: $2\cdot\bigl(-\frac{10}{11}\bigr) + 3\cdot\frac{3}{11} = \frac{-20+9}{11} = -1$ ✓;   $-3\cdot\bigl(-\frac{10}{11}\bigr) + \frac{3}{11} = \frac{30+3}{11} = 3$ ✓.

Collegamenti

Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Determinante · Regola di cramer
Metodi: Sistemi cramer
Competenze: Calcolare · Risolvere sistemi
Persone: Gabriel Cramer

Let us see Cramer’s rule applied to a numerical system, with a final check of the solutions found.

Example — $2\times 2$ system with Cramer

$\begin{cases} 2x + 3y = -1 \\ -3x + y = 3 \end{cases}$ We compute the three determinants: $\begin{aligned} \Delta &= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot 1 - 3\cdot(-3) = 2+9 = 11 \\[4pt] \Delta_x &= \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (-1)\cdot 1 - 3\cdot 3 = -10 \\[4pt] \Delta_y &= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = 2\cdot 3 - (-1)(-3) = 6-3 = 3 \end{aligned}$ Hence: $x = \frac{-10}{11} = \boxed{-\frac{10}{11}}, \qquad y = \frac{3}{11} = \boxed{\frac{3}{11}}$

Check: $2\cdot\bigl(-\frac{10}{11}\bigr) + 3\cdot\frac{3}{11} = \frac{-20+9}{11} = -1$ ✓;   $-3\cdot\bigl(-\frac{10}{11}\bigr) + \frac{3}{11} = \frac{30+3}{11} = 3$ ✓.

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Topics: Linear systems
Concepts: Determinant · Cramer’s rule
Methods: Systems by Cramer
Skills: Computing · Solving systems
People: Gabriel Cramer