Sconti, IVA e mark-up commerciale

Le percentuali appaiono ovunque nei conti di tutti i giorni: prezzi, tasse, sconti. Sono tutti casi di aumento o riduzione ripetuti, cioè di moltiplicazioni per un fattore. In questa sezione impariamo a calcolare sconti e maggiorazioni, ad applicare e a scorporare l’IVA, e a distinguere il margine sul prezzo di vendita dal mark-up sul costo — una distinzione che è sempre fonte di equivoci.

• Sconto e maggiorazione
• Sconti successivi si moltiplicano
• L’IVA e come scorporarla
• Scorporo dell’IVA da un prezzo ivato
• Il margine del commerciante

Percentages appear everywhere in everyday sums: prices, taxes, discounts. They are all cases of repeated increase or decrease, that is, of multiplications by a factor. In this section we learn to compute discounts and mark-ups, to apply and strip out VAT, and to distinguish the margin on the selling price from the mark-up on the cost — a distinction that is always a source of confusion.

• Discount and mark-up
• Successive discounts multiply
• VAT and how to strip it out
• Stripping VAT out of a VAT-inclusive price
• The trader’s margin

Sconti e maggiorazioni sono i due casi commerciali più comuni di riduzione e aumento percentuale. In entrambi si moltiplica il prezzo di partenza per un solo fattore.

Definizione — Sconto e maggiorazione

Lo sconto di $p\%$ su un prezzo $P_0$ porta a un nuovo prezzo $P = P_0\Bigl(1-\frac{p}{100}\Bigr).$ La maggiorazione (mark-up) di $p\%$ è invece $P = P_0\Bigl(1+\frac{p}{100}\Bigr).$

Riconoscere in $\bigl(1-\frac{p}{100}\bigr)$ e $\bigl(1+\frac{p}{100}\bigr)$ i fattori moltiplicativi visti per le riduzioni e gli aumenti permette di concatenare più operazioni semplicemente moltiplicando i fattori tra loro.

Collegamenti

Argomenti: Percentuali
Concetti: Maggiorazione · Sconto
Metodi: Percentuale sconto
Competenze: Calcolare · Usare formule

Discounts and mark-ups are the two most common commercial cases of percentage decrease and increase. In both, the starting price is multiplied by a single factor.

Definition — Discount and mark-up

A discount of $p\%$ on a price $P_0$ leads to a new price $P = P_0\Bigl(1-\frac{p}{100}\Bigr).$ A mark-up of $p\%$ is instead $P = P_0\Bigl(1+\frac{p}{100}\Bigr).$

Recognising in $\bigl(1-\frac{p}{100}\bigr)$ and $\bigl(1+\frac{p}{100}\bigr)$ the multiplicative factors seen for decreases and increases lets us chain several operations simply by multiplying the factors together.

Links

Topics: Percentages
Concepts: Mark-up · Discount
Methods: Discount percentage
Skills: Calculating · Using formulae

Quando su un prezzo si applicano due sconti in sequenza, la tentazione è di sommare le percentuali. È un errore: gli sconti non si sommano, si moltiplicano i loro fattori.

Esempio — Saldi di stagione

Un capo da $80$ EUR è scontato del $30\%$, poi un’ulteriore promozione applica un secondo sconto del $10\%$ sul prezzo già ribassato.

• Dopo il primo sconto: $80\cdot 0{,}70 = 56$ EUR.
• Dopo il secondo: $56\cdot 0{,}90 = \boxed{50{,}40}$ EUR.

Sconto complessivo: $(80-50{,}40)/80 = 37{,}0\%$ (non $40\%$: gli sconti non si sommano, si moltiplicano i fattori $0{,}7\cdot 0{,}9 = 0{,}63$).

Il fattore complessivo $0{,}7\cdot 0{,}9 = 0{,}63$ corrisponde a uno sconto unico del $37\%$, non del $40\%$. Sommare le percentuali sovrastima sempre lo sconto reale.

Collegamenti

Argomenti: Percentuali
Concetti: Sconto
Metodi: Percentuale sconto
Competenze: Calcolare

When two discounts are applied to a price in sequence, the temptation is to add the percentages. This is a mistake: discounts do not add up, their factors are multiplied.

Example — Seasonal sales

A garment costing $80$ EUR is discounted by $30\%$, then a further promotion applies a second discount of $10\%$ on the already-reduced price.

• After the first discount: $80\cdot 0{,}70 = 56$ EUR.
• After the second: $56\cdot 0{,}90 = \boxed{50{,}40}$ EUR.

Overall discount: $(80-50{,}40)/80 = 37{,}0\%$ (not $40\%$: discounts do not add up, their factors $0{,}7\cdot 0{,}9 = 0{,}63$ are multiplied).

The overall factor $0{,}7\cdot 0{,}9 = 0{,}63$ corresponds to a single discount of $37\%$, not $40\%$. Adding the percentages always overestimates the real discount.

Links

Topics: Percentages
Concepts: Discount
Methods: Discount percentage
Skills: Calculating

L’IVA è la più familiare delle maggiorazioni percentuali: si applica al prezzo netto per ottenere quello finale. Il punto delicato è l’operazione inversa, cioè risalire dal prezzo ivato all’imponibile.

Definizione — IVA e scorporo

L’IVA (imposta sul valore aggiunto, in Italia $22\%$ standard, $10\%$ ridotta, $4\%$ super-ridotta) si calcola sul prezzo imponibile: $P_{\text{ivato}} = P_{\text{imponibile}}\cdot(1+i),$ dove $i$ è l’aliquota in forma decimale ($i=0{,}22$ per il $22\%$). Per scorporare l’IVA da un prezzo ivato si divide: $P_{\text{imponibile}} = \frac{P_{\text{ivato}}}{1+i}.$

Applicare l’IVA significa moltiplicare per $(1+i)$; scorporarla significa dividere per lo stesso fattore. Non equivale a togliere l’aliquota dal prezzo ivato, come mostra l’esempio dello scorporo.

Collegamenti

Argomenti: Percentuali
Concetti: Iva · Scorporo iva
Competenze: Usare formule

VAT is the most familiar of percentage mark-ups: it is applied to the net price to obtain the final one. The tricky point is the inverse operation, that is, working back from the VAT-inclusive price to the taxable amount.

Definition — VAT and stripping it out

VAT (value added tax, in Italy $22\%$ standard, $10\%$ reduced, $4\%$ super-reduced) is computed on the taxable price: $P_{\text{ivato}} = P_{\text{imponibile}}\cdot(1+i),$ where $i$ is the rate in decimal form ($i=0{,}22$ for $22\%$). To strip out the VAT from a VAT-inclusive price we divide: $P_{\text{imponibile}} = \frac{P_{\text{ivato}}}{1+i}.$

Applying VAT means multiplying by $(1+i)$; stripping it out means dividing by the same factor. It is not the same as taking the rate off the VAT-inclusive price, as the stripping-out example shows.

Links

Topics: Percentages
Concepts: VAT · Stripping out VAT
Skills: Using formulae

Lo scorporo dell’IVA è l’esempio perfetto dell’asimmetria tra moltiplicare per $(1+i)$ e dividere per $(1+i)$: sbagliare operazione conduce a un risultato plausibile ma scorretto.

Esempio — Scorporo IVA

Una fattura indica $122$ EUR IVA inclusa al $22\%$. Imponibile: $122/1{,}22 = \boxed{100}$ EUR; IVA: $22$ EUR. Errore tipico: “tolgo il $22\%$ da $122$”, che darebbe $122\cdot 0{,}78 = 95{,}16$ EUR, sbagliato. La struttura asimmetrica $(1+p)$ contro $1/(1+p)$ è la stessa che abbiamo visto con il PIL.

Dividere per $1{,}22$ dà l’imponibile corretto di $100$ EUR; moltiplicare per $0{,}78$ dà invece $95{,}16$ EUR, perché toglie il $22\%$ di $122$ e non il $22\%$ dell’imponibile. È la medesima asimmetria dell’aumento seguito da riduzione.

Collegamenti

Argomenti: Percentuali
Concetti: Iva · Scorporo iva
Competenze: Calcolare

Stripping out VAT is the perfect example of the asymmetry between multiplying by $(1+i)$ and dividing by $(1+i)$: getting the operation wrong leads to a plausible but incorrect result.

Example — Stripping out VAT

An invoice shows $122$ EUR VAT included at $22\%$. Taxable amount: $122/1{,}22 = \boxed{100}$ EUR; VAT: $22$ EUR. Typical mistake: “I take $22\%$ off $122$”, which would give $122\cdot 0{,}78 = 95{,}16$ EUR, wrong. The asymmetric structure $(1+p)$ versus $1/(1+p)$ is the same one we saw with GDP.

Dividing by $1{,}22$ gives the correct taxable amount of $100$ EUR; multiplying by $0{,}78$ instead gives $95{,}16$ EUR, because it takes $22\%$ off $122$ and not $22\%$ of the taxable amount. It is the very same asymmetry as an increase followed by a decrease.

Links

Topics: Percentages
Concepts: VAT · Stripping out VAT
Skills: Calculating

Un margine percentuale può essere calcolato sul prezzo di vendita oppure sul costo: sono due basi diverse e danno risultati diversi. Il caso del margine sul prezzo di vendita richiede di risolvere una piccola equazione, perché l’incognita compare anche nella base.

Esempio — Mark-up del commerciante

Un commerciante acquista al prezzo $C=40$ EUR e vuole un margine del $25\%$ sul prezzo di vendita (non sul costo). Posto $V$ il prezzo di vendita: $V - C = 0{,}25\,V \implies V(1-0{,}25) = 40 \implies V = \frac{40}{0{,}75} = \boxed{53{,}33}\text{ EUR}.$ Se invece volesse un mark-up del $25\%$ sul costo basterebbe $V = 40\cdot 1{,}25 = 50$ EUR: la differenza tra le due basi è sempre fonte di equivoco.

Il margine sul prezzo di vendita porta a $V=53{,}33$ EUR, quello sul costo a $V=50$ EUR: chiarire rispetto a che cosa si calcola la percentuale è, ancora una volta, la questione decisiva.

Collegamenti

Argomenti: Percentuali
Concetti: Maggiorazione · Margine commerciale
Competenze: Calcolare · Risolvere equazioni

A percentage margin can be computed on the selling price or on the cost: these are two different bases and give different results. The case of the margin on the selling price requires solving a small equation, because the unknown also appears in the base.

Example — The trader's mark-up

A trader buys at the price $C=40$ EUR and wants a margin of $25\%$ on the selling price (not on the cost). Setting $V$ as the selling price: $V - C = 0{,}25\,V \implies V(1-0{,}25) = 40 \implies V = \frac{40}{0{,}75} = \boxed{53{,}33}\text{ EUR}.$ If instead they wanted a mark-up of $25\%$ on the cost, $V = 40\cdot 1{,}25 = 50$ EUR would suffice: the difference between the two bases is always a source of confusion.

The margin on the selling price leads to $V=53{,}33$ EUR, the one on the cost to $V=50$ EUR: clarifying with respect to what the percentage is computed is, once again, the decisive question.

Links

Topics: Percentages
Concepts: Mark-up · Commercial margin
Skills: Calculating · Solving equations