Trigonometria dei triangoli

Le funzioni $\sin$, $\cos$, $\tan$ non sono nate per giocare con la circonferenza goniometrica: sono nate dall’esigenza di risolvere i triangoli, cioè di determinare tutti i loro elementi — lati e angoli — a partire da alcuni dati. In questo capitolo sviluppiamo la trigonometria “classica”, quella che fu al centro dell’insegnamento matematico dal Medioevo fino all’Ottocento, con i due teoremi fondamentali per i triangoli qualsiasi: il teorema del coseno (o di Carnot) e il teorema dei seni. Vedremo inoltre la formula trigonometrica dell’area, la formula di Erone come corollario e il teorema della corda, che lega corde e angoli nella circonferenza circoscritta.

Sezioni

• Trigonometria nei triangoli rettangoli
• Teorema del coseno (o di Carnot)
• Teorema dei seni
• Area di un triangolo
• Teorema della corda

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

The functions $\sin$, $\cos$, $\tan$ were not born to play with the trigonometric circle: they were born from the need to solve triangles, that is, to determine all their elements — sides and angles — starting from some given data. In this chapter we develop “classical” trigonometry, the one that was at the heart of mathematics teaching from the Middle Ages until the nineteenth century, with the two fundamental theorems for general triangles: the cosine rule (or Carnot’s theorem) and the sine rule. We shall also see the trigonometric formula for the area, Heron’s formula as a corollary and the chord theorem, which links chords and angles in the circumscribed circle.

Sections

• Trigonometry in right-angled triangles
• The cosine rule (or Carnot’s theorem)
• The sine rule
• Area of a triangle
• The chord theorem

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Nel triangolo rettangolo le funzioni goniometriche assumono un significato immediato: sono semplici rapporti tra i lati. È questo il punto di partenza per risolvere qualunque triangolo.

Proprietà — Relazioni nei triangoli rettangoli

Sia $ABC$ un triangolo rettangolo con l’angolo retto in $C$, cateti $a = BC$, $b = AC$, ipotenusa $c = AB$, angolo $\alpha = \widehat{BAC}$ opposto al cateto $a$, angolo $\beta = \widehat{ABC}$ opposto al cateto $b$. Allora:

\sin\alpha &= \frac{\text{cateto opposto ad }\alpha}{\text{ipotenusa}} = \frac{a}{c}, & \cos\alpha &= \frac{\text{cateto adiacente ad }\alpha}{\text{ipotenusa}} = \frac{b}{c}, \\ \tan\alpha &= \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{a}{b}. \end{aligned}$$ Con formule analoghe per $\beta$, scambiando i ruoli di $a$ e $b$.

Queste formule generalizzano la definizione di $\sin$, $\cos$, $\tan$ data sulla circonferenza goniometrica: il triangolo rettangolo con vertici $O$, $P_\alpha$ e la proiezione di $P_\alpha$ sull’asse $x$ ha ipotenusa $1$ (il raggio), e i suoi cateti sono $\cos\alpha$ (orizzontale) e $\sin\alpha$ (verticale).

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Risoluzione triangoli · Triangolo rettangolo
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Geometria sintetica · Usare formule

In a right-angled triangle the trigonometric functions take on an immediate meaning: they are simple ratios between the sides. This is the starting point for solving any triangle.

Property — Relations in right-angled triangles

Let $ABC$ be a right-angled triangle with the right angle at $C$, legs $a = BC$, $b = AC$, hypotenuse $c = AB$, angle $\alpha = \widehat{BAC}$ opposite the leg $a$, angle $\beta = \widehat{ABC}$ opposite the leg $b$. Then:

\sin\alpha &= \frac{\text{cateto opposto ad }\alpha}{\text{ipotenusa}} = \frac{a}{c}, & \cos\alpha &= \frac{\text{cateto adiacente ad }\alpha}{\text{ipotenusa}} = \frac{b}{c}, \\ \tan\alpha &= \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{a}{b}. \end{aligned}$$ With analogous formulae for $\beta$, swapping the roles of $a$ and $b$.

These formulae generalise the definition of $\sin$, $\cos$, $\tan$ given on the trigonometric circle: the right-angled triangle with vertices $O$, $P_\alpha$ and the projection of $P_\alpha$ onto the $x$-axis has hypotenuse $1$ (the radius), and its legs are $\cos\alpha$ (horizontal) and $\sin\alpha$ (vertical).

Links

Topics: Triangle trigonometry
Concepts: Triangle solving · Right-angled triangle
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Skills: Synthetic geometry · Using formulae

Il teorema della corda lega la lunghezza di una corda all’angolo alla circonferenza che vi si appoggia. È lo strumento che permette di dimostrare in modo rapido il teorema dei seni.

Teorema — Teorema della corda

In una circonferenza di raggio $R$, una corda $AB$ di lunghezza $\ell$ è legata all’angolo alla circonferenza $\theta$ (che insiste sull’arco non contenente $AB$) dalla relazione: $\ell = 2R\sin\theta.$

Questo risultato, già enunciato in Seconda, trova in Quarta la sua formulazione più “utile”: è la base della dimostrazione del teorema dei seni e permette di passare agevolmente da misure lineari (le corde) a misure angolari e viceversa.

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Circonferenza circoscritta · Teorema della corda
Funzioni: Seno
Competenze: Usare formule

The chord theorem links the length of a chord to the inscribed angle that rests upon it. It is the tool that allows the sine rule to be proved quickly.

Theorem — The chord theorem

In a circle of radius $R$, a chord $AB$ of length $\ell$ is linked to the inscribed angle $\theta$ (subtending the arc not containing $AB$) by the relation: $\ell = 2R\sin\theta.$

This result, already stated in Year 2, finds in Year 4 its most “useful” formulation: it is the basis of the proof of the sine rule and lets us pass smoothly from linear measures (the chords) to angular measures and back.

Links

Topics: Triangle trigonometry
Concepts: Circumscribed circle · Chord theorem
Functions: Sine
Skills: Using formulae