Prodotti notevoli

Alcuni prodotti tra polinomi ricorrono così spesso che vale la pena impararne le formule a memoria: quadrato e cubo di binomio, somma per differenza, quadrato di trinomio. Queste formule fanno risparmiare tempo sia nello sviluppo sia nella scomposizione. Un aiuto pratico per applicarle senza errori viene dal “metodo delle forme”, dal diagramma a triangolo e dal triangolo di Tartaglia.

• Le formule dei prodotti notevoli
• Il metodo delle forme
• Il diagramma a triangolo per il quadrato di trinomio
• Errori comuni con i prodotti notevoli
• Il triangolo di Tartaglia
• I prodotti notevoli per il calcolo mentale

Some products of polynomials recur so often that it is worth learning their formulas by heart: square and cube of a binomial, sum times difference, square of a trinomial. These formulas save time both in expanding and in factorising. A practical aid for applying them without mistakes comes from the “method of shapes”, from the triangle diagram and from Tartaglia’s triangle.

• The formulas for special products
• The method of shapes
• The triangle diagram for the square of a trinomial
• Common mistakes with special products
• Tartaglia’s triangle
• Special products for mental calculation

Alcuni prodotti tra polinomi ricorrono così spesso che vale la pena impararne le formule a memoria. Queste formule fanno risparmiare tempo sia nello sviluppo sia, come vedremo, nella scomposizione.

In sintesi — Formule da ricordare

(A+B)^2 &= A^2 + 2AB + B^2 && \text{(quadrato di binomio)}\\[4pt] (A-B)^2 &= A^2 - 2AB + B^2 && \text{(quadrato di binomio)}\\[4pt] (A+B)(A-B) &= A^2 - B^2 && \text{(somma per differenza)}\\[4pt] (A+B)^3 &= A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 && \text{(cubo di binomio)}\\[4pt] (A-B)^3 &= A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 && \text{(cubo di binomio)}\\[4pt] (A+B+C)^2 &= A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC && \text{(quadrato di trinomio)} \end{aligned}$$

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Cubo di binomio · Prodotti notevoli · Quadrato di binomio · Quadrato di trinomio · Somma per differenza
Competenze: Usare formule

Some products of polynomials recur so often that it is worth learning their formulas by heart. These formulas save time both in expanding and, as we shall see, in factorising.

In brief — Formulas to remember

(A+B)^2 &= A^2 + 2AB + B^2 && \text{(quadrato di binomio)}\\[4pt] (A-B)^2 &= A^2 - 2AB + B^2 && \text{(quadrato di binomio)}\\[4pt] (A+B)(A-B) &= A^2 - B^2 && \text{(somma per differenza)}\\[4pt] (A+B)^3 &= A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 && \text{(cubo di binomio)}\\[4pt] (A-B)^3 &= A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 && \text{(cubo di binomio)}\\[4pt] (A+B+C)^2 &= A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC && \text{(quadrato di trinomio)} \end{aligned}$$

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Topics: Algebraic calculus
Concepts: Cube of a binomial · Special products · Square of a binomial · Square of a trinomial · Sum times difference
Skills: Using formulas

Osservazione — Metodo delle forme

Per applicare le formule dei prodotti notevoli, si assegnano forme geometriche ai termini: il primo termine è il “cerchio” $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}$, il secondo è il “quadrato” $\textcolor{#d62728}{\square}$.

Esempio: $(2-3ab)^3 = (\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^3$ con $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}=2$ e $\textcolor{#d62728}{\square}=-3ab$. $= \textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^3 + 3\,\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2\,\textcolor{#d62728}{\square} + 3\,\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\,\textcolor{#d62728}{\square}^2 + \textcolor{#d62728}{\square}^3$ Sostituendo: $= 2^3 + 3\cdot 4\cdot(-3ab) + 3\cdot 2\cdot 9a^2b^2 + (-3ab)^3 = 8 - 36ab + 54a^2b^2 - 27a^3b^3$ Lo stesso metodo vale per $(A+B)^2$, $(A+B)(A-B)$ e $(A+B+C)^2$: si disegnano le forme al posto dei termini, poi si sostituisce.

Metodo delle forme al contrario (riconoscimento). Dato un trinomio, posso verificare se è un quadrato di binomio usando le forme al rovescio:

1. Il primo termine è $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2$? $\Rightarrow$ trovo $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc} = \sqrt{\text{primo termine}}$.
2. L’ultimo termine è $\textcolor{#d62728}{\square}^2$? $\Rightarrow$ trovo $\textcolor{#d62728}{\square} = \sqrt{\text{ultimo termine}}$.
3. Il termine centrale è $= 2\cdot\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\cdot\textcolor{#d62728}{\square}$? Se sì, il trinomio è $(\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^2$. ✓

Esempio. $16a^2b^2+16abc+4c^2$. Scrivo $(\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^2 = \textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2 + 2\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\textcolor{#d62728}{\square}+\textcolor{#d62728}{\square}^2$.

• $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2 = 16a^2b^2 \Rightarrow \textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}=4ab$.
• $\textcolor{#d62728}{\square}^2 = 4c^2 \Rightarrow \textcolor{#d62728}{\square}=2c$.
• Verifica: $2\cdot\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\cdot\textcolor{#d62728}{\square} = 2\cdot 4ab\cdot 2c = 16abc$. ✓

Dunque $16a^2b^2+16abc+4c^2 = \boxed{(4ab+2c)^2}$.

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Observation — Method of shapes

To apply the special-product formulas, geometric shapes are assigned to the terms: the first term is the “circle” $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}$, the second is the “square” $\textcolor{#d62728}{\square}$.

Example: $(2-3ab)^3 = (\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^3$ with $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}=2$ and $\textcolor{#d62728}{\square}=-3ab$. $= \textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^3 + 3\,\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2\,\textcolor{#d62728}{\square} + 3\,\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\,\textcolor{#d62728}{\square}^2 + \textcolor{#d62728}{\square}^3$ Substituting: $= 2^3 + 3\cdot 4\cdot(-3ab) + 3\cdot 2\cdot 9a^2b^2 + (-3ab)^3 = 8 - 36ab + 54a^2b^2 - 27a^3b^3$ The same method works for $(A+B)^2$, $(A+B)(A-B)$ and $(A+B+C)^2$: you draw the shapes in place of the terms, then substitute.

The method of shapes in reverse (recognition). Given a trinomial, I can check whether it is a square of a binomial using the shapes in reverse:

1. Is the first term $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2$? $\Rightarrow$ I find $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc} = \sqrt{\text{primo termine}}$.
2. Is the last term $\textcolor{#d62728}{\square}^2$? $\Rightarrow$ I find $\textcolor{#d62728}{\square} = \sqrt{\text{ultimo termine}}$.
3. Is the middle term $= 2\cdot\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\cdot\textcolor{#d62728}{\square}$? If so, the trinomial is $(\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^2$. ✓

Example. $16a^2b^2+16abc+4c^2$. I write $(\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^2 = \textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2 + 2\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\textcolor{#d62728}{\square}+\textcolor{#d62728}{\square}^2$.

• $\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2 = 16a^2b^2 \Rightarrow \textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}=4ab$.
• $\textcolor{#d62728}{\square}^2 = 4c^2 \Rightarrow \textcolor{#d62728}{\square}=2c$.
• Check: $2\cdot\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\cdot\textcolor{#d62728}{\square} = 2\cdot 4ab\cdot 2c = 16abc$. ✓

Therefore $16a^2b^2+16abc+4c^2 = \boxed{(4ab+2c)^2}$.

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Osservazione — Diagramma a triangolo per $(A+B+C)^2$

Per riconoscere se un polinomio a 6 termini è un quadrato di trinomio, si usa un diagramma a triangolo: i quadrati dei tre termini ai vertici, i doppi prodotti sui lati.

Ai vertici i quadrati dei termini, sui lati i loro doppi prodotti.

Esempio. $1+4t^2+4z^2-4t+4z-8tz$. Sospetto un quadrato di trinomio.

• Vertici: $1 = (1)^2$, $\;4t^2 = (2t)^2$, $\;4z^2 = (2z)^2$.
• Lati: $2\cdot 1\cdot 2t = 4t$? Il termine è $-4t$, quindi il segno è $-$.
• $2\cdot 1\cdot 2z = 4z$. ✓
• $2\cdot 2t\cdot 2z = 8tz$? Il termine è $-8tz$, quindi il segno è $-$.

Dunque $1+4t^2+4z^2-4t+4z-8tz = \boxed{(1-2t+2z)^2}$.

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Observation — Triangle diagram for $(A+B+C)^2$

To recognise whether a 6-term polynomial is a square of a trinomial, a triangle diagram is used: the squares of the three terms at the vertices, the double products on the sides.

At the vertices the squares of the terms, on the sides their double products.

Example. $1+4t^2+4z^2-4t+4z-8tz$. I suspect a square of a trinomial.

• Vertices: $1 = (1)^2$, $\;4t^2 = (2t)^2$, $\;4z^2 = (2z)^2$.
• Sides: $2\cdot 1\cdot 2t = 4t$? The term is $-4t$, so the sign is $-$.
• $2\cdot 1\cdot 2z = 4z$. ✓
• $2\cdot 2t\cdot 2z = 8tz$? The term is $-8tz$, so the sign is $-$.

Therefore $1+4t^2+4z^2-4t+4z-8tz = \boxed{(1-2t+2z)^2}$.

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Attenzione — Errori comuni con i prodotti notevoli

$(ab+3)^2 \neq a^2b^2+9 \qquad \text{⚠ manca il doppio prodotto } 6ab!$ Il quadrato di una somma non è la somma dei quadrati: $(ab+3)^2 = a^2b^2 + 6ab + 9$ Invece il quadrato di un prodotto sì: $(ab\cdot 3)^2 = 9a^2b^2$. ✓

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Warning — Common mistakes with special products

$(ab+3)^2 \neq a^2b^2+9 \qquad \text{⚠ manca il doppio prodotto } 6ab!$ The square of a sum is not the sum of the squares: $(ab+3)^2 = a^2b^2 + 6ab + 9$ The square of a product, on the other hand, is: $(ab\cdot 3)^2 = 9a^2b^2$. ✓

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Osservazione — Triangolo di Tartaglia (Pascal)

I coefficienti dello sviluppo di $(\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^n$ si leggono dal triangolo di Tartaglia: ogni numero è la somma dei due che stanno sopra di lui.

Ogni numero è la somma dei due che gli stanno sopra; la riga $n$ dà i coefficienti di $(\bigcirc+\square)^n$.

Esempio. Per sviluppare $(2x+3y)^4$, leggiamo la riga $n=4$, cioè $1,4,6,4,1$: $(2x+3y)^4 = 1\cdot(2x)^4 + 4\cdot(2x)^3(3y) + 6\cdot(2x)^2(3y)^2 + 4\cdot(2x)(3y)^3 + 1\cdot(3y)^4$ $= 16x^4 + 96x^3y + 216x^2y^2 + 216xy^3 + 81y^4$

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Persone: Blaise Pascal · Niccolò Tartaglia

Observation — Tartaglia's triangle (Pascal)

The coefficients of the expansion of $(\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^n$ can be read off from Tartaglia’s triangle: each number is the sum of the two above it.

Each number is the sum of the two above it; row $n$ gives the coefficients of $(\bigcirc+\square)^n$.

Example. To expand $(2x+3y)^4$, we read row $n=4$, that is $1,4,6,4,1$: $(2x+3y)^4 = 1\cdot(2x)^4 + 4\cdot(2x)^3(3y) + 6\cdot(2x)^2(3y)^2 + 4\cdot(2x)(3y)^3 + 1\cdot(3y)^4$ $= 16x^4 + 96x^3y + 216x^2y^2 + 216xy^3 + 81y^4$

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Esempio — Applicazione pratica

$(2{,}3)^2 = (2+0{,}3)^2 = 4 + 1{,}2 + 0{,}09 = 5{,}29 \; ✓$ Le formule dei prodotti notevoli servono anche per il calcolo mentale: scomponendo il numero in una somma comoda, si applica il quadrato di binomio.

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Example — Practical application

$(2{,}3)^2 = (2+0{,}3)^2 = 4 + 1{,}2 + 0{,}09 = 5{,}29 \; ✓$ The special-product formulas are also useful for mental calculation: by breaking the number down into a convenient sum, you apply the square of a binomial.

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