Formule di Vieta

Le formule di Vieta collegano le soluzioni di un’equazione di secondo grado direttamente ai coefficienti, senza doverle calcolare esplicitamente. Sono utilissime per i sistemi simmetrici e per verificare rapidamente le soluzioni trovate. Dalla stessa idea nasce anche la regola dei segni di Cartesio, che permette di prevedere il segno delle soluzioni guardando solo la sequenza dei coefficienti.

• François Viète, l’inventore dei simboli
• Somma e prodotto delle radici
• La regola dei segni di Cartesio

Vieta’s formulas link the solutions of a second-degree equation directly to the coefficients, without having to compute them explicitly. They are extremely useful for symmetric systems and for quickly checking the solutions you have found. From the same idea comes also Descartes’ rule of signs, which lets you predict the sign of the solutions by looking only at the sequence of the coefficients.

• François Viète, the inventor of symbols
• Sum and product of the roots
• Descartes’ rule of signs

Storia — François Viète, l'inventore dei simboli

Il giurista e matematico francese François Viète (1540–1603), latinizzato Vieta, è considerato uno dei padri dell’algebra moderna. Prima di lui, anche le opere più sofisticate (come l’Ars Magna di Cardano) scrivevano le equazioni in forma quasi narrativa, indicando l’incognita con parole come cosa o res. Nel suo In artem analyticen isagoge (1591), Viète ebbe l’idea — a noi oggi naturale, all’epoca rivoluzionaria — di indicare con lettere sia le incognite (vocali $A,E,I\ldots$) sia i coefficienti noti (consonanti $B,C,D\ldots$). Questo passo fece nascere il calcolo letterale che usiamo ogni giorno: per la prima volta era possibile scrivere un’equazione generale e non solo un esempio numerico.

Le formule che oggi portano il suo nome — somma e prodotto delle soluzioni di un polinomio espresse in funzione dei coefficienti — furono scoperte da Viète studiando equazioni di grado arbitrario. Curiosamente, Viète stesso non accettava i numeri negativi e le sue formule restavano valide solo per soluzioni positive: la generalizzazione moderna è venuta più tardi (Boyer, cap. 12).

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Calcolo letterale · Somma e prodotto radici
Persone: Gerolamo Cardano · François Viète (Vieta)

History — François Viète, the inventor of symbols

The French jurist and mathematician François Viète (1540–1603), latinised as Vieta, is regarded as one of the fathers of modern algebra. Before him, even the most sophisticated works (such as Cardano’s Ars Magna) wrote equations in an almost narrative form, denoting the unknown with words such as cosa or res. In his In artem analyticen isagoge (1591), Viète had the idea — natural to us today, revolutionary at the time — of denoting by letters both the unknowns (vowels $A,E,I\ldots$) and the known coefficients (consonants $B,C,D\ldots$). This step gave rise to the literal calculus that we use every day: for the first time it was possible to write a general equation and not merely a numerical example.

The formulae that today bear his name — the sum and product of the solutions of a polynomial expressed in terms of the coefficients — were discovered by Viète while studying equations of arbitrary degree. Curiously, Viète himself did not accept negative numbers, and his formulae remained valid only for positive solutions: the modern generalisation came later (Boyer, ch. 12).

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Topics: Quadratic equations
Concepts: Literal calculus · Sum and product of roots
People: Gerolamo Cardano · François Viète (Vieta)

Le formule di Vieta esprimono la somma e il prodotto delle due soluzioni in funzione dei soli coefficienti $a$, $b$, $c$: non serve conoscere le soluzioni per calcolarle.

Proprietà — Formule di Vieta

Se $x_A$ e $x_B$ sono le soluzioni di $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$), allora: $x_A+x_B = -\frac{b}{a}, \qquad x_A\cdot x_B = \frac{c}{a}.$

Queste due relazioni sono preziose in molti contesti: permettono di verificare rapidamente le soluzioni trovate, di ricostruire un’equazione a partire dalle sue radici e, come vedremo, di risolvere i sistemi simmetrici.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione secondo grado · Somma e prodotto radici
Metodi: Somma prodotto radici
Competenze: Usare formule
Persone: François Viète (Vieta)

Vieta’s formulas express the sum and the product of the two solutions in terms of the coefficients $a$, $b$, $c$ alone: there is no need to know the solutions in order to compute them.

Property — Vieta's formulas

If $x_A$ and $x_B$ are the solutions of $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$), then: $x_A+x_B = -\frac{b}{a}, \qquad x_A\cdot x_B = \frac{c}{a}.$

These two relations are valuable in many contexts: they let you quickly check the solutions you have found, reconstruct an equation from its roots and, as we shall see, solve symmetric systems.

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Second-degree equation · Sum and product of the roots
Methods: Sum and product of the roots
Skills: Using formulas
People: François Viète (Vieta)

Osservazione — Regola dei segni di Cartesio

Nella sequenza dei segni dei coefficienti $a,b,c$:

• ogni permanenza di segno (es. $+,+$) corrisponde, se esiste, a una soluzione negativa;
• ogni variazione di segno (es. $+,-$) corrisponde, se esiste, a una soluzione positiva.

Esempio: $2x^2+8x-32=0$. Segni: $+,+,-$ (permanenza poi variazione). Dunque $|\text{sol. neg.}|>\text{sol. pos.}$

La regola discende direttamente dalle formule di Vieta: il segno della somma e del prodotto delle radici dipendono dai segni dei coefficienti, e da questi si risale al segno di ciascuna soluzione.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Regola dei segni · Somma e prodotto radici
Competenze: Ragionare per casi
Persone: René Descartes (Cartesio)

Observation — Descartes' rule of signs

In the sequence of signs of the coefficients $a,b,c$:

• every persistence of sign (e.g. $+,+$) corresponds, if it exists, to a negative solution;
• every variation of sign (e.g. $+,-$) corresponds, if it exists, to a positive solution.

Example: $2x^2+8x-32=0$. Signs: $+,+,-$ (persistence then variation). Hence $|\text{neg. sol.}|>\text{pos. sol.}$

The rule follows directly from Vieta’s formulas: the sign of the sum and of the product of the roots depend on the signs of the coefficients, and from these one recovers the sign of each solution.

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Rule of signs · Sum and product of the roots
Skills: Reasoning by cases
People: René Descartes (Cartesio)