La parabola come luogo geometrico

In Classe Seconda la parabola era il grafico di $y = ax^2 + bx + c$, un oggetto nato dall’algebra. Qui la ridefiniamo in modo puramente geometrico, come luogo dei punti equidistanti da un fuoco e da una direttrice, e da questa definizione ricaviamo l’equazione, le formule di fuoco, vertice e direttrice, e la loro dimostrazione.

• La parabola come luogo
• Parabola da fuoco e direttrice
• Formule di fuoco, vertice e direttrice

In Year Two the parabola was the graph of $y = ax^2 + bx + c$, an object born from algebra. Here we redefine it in a purely geometric way, as the locus of the points equidistant from a focus and a directrix, and from this definition we derive the equation, the formulae for focus, vertex and directrix, and their proof.

• The parabola as a locus
• Parabola from focus and directrix
• Formulae for focus, vertex and directrix

Definizione — Parabola

Una parabola è il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza da un punto fissato $F$, detto fuoco, e da una retta fissata $d$, detta direttrice (con $F$ non appartenente a $d$): $P \in \text{parabola} \iff d(P, F) = d(P, d).$

Nella Classe Seconda avevamo studiato la parabola come grafico di $y = ax^2 + bx + c$: era un oggetto nato dall’algebra. Ora ne abbiamo una definizione puramente geometrica, che giustifica le sue proprietà.

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Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Direttrice · Distanza punto retta · Fuoco · Luogo geometrico · Parabola · Retta
Competenze: Geometria analitica

Definition — Parabola

A parabola is the locus of the points of the plane that are equidistant from a fixed point $F$, called the focus, and from a fixed line $d$, called the directrix (with $F$ not belonging to $d$): $P \in \text{parabola} \iff d(P, F) = d(P, d).$

In Year Two we had studied the parabola as the graph of $y = ax^2 + bx + c$: it was an object born from algebra. Now we have a purely geometric definition of it, which justifies its properties.

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Topics: Geometric loci
Concepts: Directrix · Point-line distance · Focus · Locus · Parabola · Line
Skills: Analytical geometry

Esempio — Parabola dalla definizione di luogo

Scrivere l’equazione della parabola di fuoco $F(0;0)$ e direttrice $d:\ y = -4$, e verificare che corrisponde alla forma $y = ax^2 + bx + c$ attesa.

Condizione di luogo: per un punto generico $P(x;y)$, $d(P, F) = d(P, d) \implies \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{|y + 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = |y+4|.$ Entrambi i membri sono $\ge 0$ (il primo è una distanza, il secondo un valore assoluto): elevamento al quadrato diretto. $x^2 + y^2 = (y+4)^2 = y^2 + 8y + 16 \implies x^2 = 8y + 16 \implies y = \tfrac{x^2}{8} - 2.$ È effettivamente una parabola $y = ax^2 + bx + c$ con $a = \tfrac{1}{8}$, $b = 0$, $c = -2$.

Vertice: $V(0;-2)$, come ci si aspetta geometricamente (il punto della parabola più vicino alla direttrice, a metà strada tra $F$ e $d$).

La parabola $y = \tfrac{x^2}{8} - 2$ con fuoco $F$, vertice $V$ e direttrice $d$: per ogni punto $P$ le due distanze $d(P,F)$ e $d(P,d)$ sono uguali.

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Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Direttrice · Distanza punto retta · Fuoco · Parabola · Retta · Vertice
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni · Tracciare grafico

Example — Parabola from the locus definition

Write the equation of the parabola with focus $F(0;0)$ and directrix $d:\ y = -4$, and verify that it corresponds to the expected form $y = ax^2 + bx + c$.

Locus condition: for a generic point $P(x;y)$, $d(P, F) = d(P, d) \implies \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{|y + 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = |y+4|.$ Both sides are $\ge 0$ (the first is a distance, the second an absolute value): we may square directly. $x^2 + y^2 = (y+4)^2 = y^2 + 8y + 16 \implies x^2 = 8y + 16 \implies y = \tfrac{x^2}{8} - 2.$ It is indeed a parabola $y = ax^2 + bx + c$ with $a = \tfrac{1}{8}$, $b = 0$, $c = -2$.

Vertex: $V(0;-2)$, as one would expect geometrically (the point of the parabola closest to the directrix, halfway between $F$ and $d$).

The parabola $y = \tfrac{x^2}{8} - 2$ with focus $F$, vertex $V$ and directrix $d$: for every point $P$ the two distances $d(P,F)$ and $d(P,d)$ are equal.

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Skills: Analytical geometry · Solving equations · Sketching graphs

Proprietà — Formule generali

Data la parabola $y = ax^2 + bx + c$, si ha: $V\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{\Delta}{4a}\right),\qquad F\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{\Delta}{4a} + \frac{1}{4a}\right),\qquad d:\ y = -\frac{\Delta}{4a} - \frac{1}{4a}.$ Il fuoco sta sull’asse di simmetria, “dentro” la curva, alla distanza $\tfrac{1}{|4a|}$ dal vertice; la direttrice è perpendicolare all’asse di simmetria, alla stessa distanza ma dalla parte opposta.

Dimostrazione

Si parte dalla forma $y = ax^2 + bx + c$, la si riscrive in “forma canonica” completando il quadrato: $y = a\bigl(x - x_V\bigr)^2 + y_V$ con $x_V = -\tfrac{b}{2a}$ e $y_V = -\tfrac{\Delta}{4a}$. Traslando l’origine nel vertice si ottiene $Y = aX^2$ e, dalla definizione di luogo, si verifica che il fuoco ha $Y_F = \tfrac{1}{4a}$ e la direttrice $Y_d = -\tfrac{1}{4a}$. Ritornando alle coordinate originali (trasliamo indietro) si ottengono le formule enunciate. ∎

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Competenze: Dimostrare · Geometria analitica · Usare formule

Property — General formulae

Given the parabola $y = ax^2 + bx + c$, one has: $V\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{\Delta}{4a}\right),\qquad F\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{\Delta}{4a} + \frac{1}{4a}\right),\qquad d:\ y = -\frac{\Delta}{4a} - \frac{1}{4a}.$ The focus lies on the axis of symmetry, “inside” the curve, at distance $\tfrac{1}{|4a|}$ from the vertex; the directrix is perpendicular to the axis of symmetry, at the same distance but on the opposite side.

Proof

We start from the form $y = ax^2 + bx + c$ and rewrite it in “canonical form” by completing the square: $y = a\bigl(x - x_V\bigr)^2 + y_V$ with $x_V = -\tfrac{b}{2a}$ and $y_V = -\tfrac{\Delta}{4a}$. Translating the origin to the vertex we obtain $Y = aX^2$ and, from the locus definition, we verify that the focus has $Y_F = \tfrac{1}{4a}$ and the directrix $Y_d = -\tfrac{1}{4a}$. Returning to the original coordinates (translating back) we obtain the stated formulae. ∎

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