Matematica — Liceo

Formule di addizione e sottrazione

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tagsmatematica, classe/quarta, topic/formule-goniometriche, moc, concept/formule-di-addizione, function/seno, function/coseno, function/tangente, method/formule-addizione, skill/usare-formule, person/claudio-tolomeo, person/ipparco, concept/circonferenza-goniometrica, concept/teorema-del-coseno, skill/dimostrare, concept/archi-associati, skill/calcolare

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Il punto di partenza di tutta la trigonometria algebrica: le formule che esprimono seno, coseno e tangente della somma o della differenza di due angoli. La formula fondamentale, quella di cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta), si dimostra confrontando in due modi la distanza tra due punti sulla circonferenza goniometrica; tutte le altre discendono da essa usando gli archi associati.

The starting point of all algebraic trigonometry: the formulae that express the sine, cosine and tangent of the sum or difference of two angles. The fundamental formula, the one for cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta), is proved by comparing in two ways the distance between two points on the unit circle; all the others descend from it using the related arcs.

Le funzioni sin⁡\sin e cos⁡\cos non sono lineari: in generale sin⁡(α+β)≠sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta. Occorre quindi una regola apposita per il seno e il coseno di una somma o di una differenza di angoli. Sono le formule di addizione e sottrazione, valide per qualunque coppia di angoli.

Proprietà — Formule di addizione e sottrazione

Per ogni α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb{R}:

\cos(\alpha-\beta) &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha+\beta) &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta) &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha-\beta) &= \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \\ \tan(\alpha+\beta) &= \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta) &= \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \end{aligned}$$

Si osservi lo schema dei segni: nel coseno il segno si inverte (somma di angoli, differenza di prodotti), mentre nel seno il segno si conserva. Queste sei formule sono il fondamento su cui poggiano tutte le altre di questo capitolo: dalle formule di duplicazione a quelle di bisezione.

Storia — Le formule di addizione nell'Almagesto

Molti secoli prima che si parlasse di seno e coseno, gli astronomi greci ragionavano sulle corde di una circonferenza. Nell’Almagesto (II sec. d.C.) Claudio Tolomeo costruì una tavola delle corde di precisione notevole, perfezionando il lavoro iniziato da Ipparco di Nicea. Per calcolarla dimostrò il celebre teorema di Tolomeo sui quadrilateri inscritti, dal quale seppe ricavare regole per la corda della somma e della differenza di due archi: sono, in linguaggio moderno, esattamente le nostre formule di addizione e sottrazione (Boyer, Katz).

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di addizione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule addizione
Competenze: Usare formule
Persone: Claudio Tolomeo · Ipparco di Nicea

The functions sin⁡\sin and cos⁡\cos are not linear: in general sin⁡(α+β)≠sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta. We therefore need a dedicated rule for the sine and cosine of a sum or a difference of angles. These are the addition and subtraction formulae, valid for any pair of angles.

Property — Addition and subtraction formulae

For every α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb{R}:

\cos(\alpha-\beta) &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha+\beta) &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta) &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha-\beta) &= \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \\ \tan(\alpha+\beta) &= \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta) &= \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \end{aligned}$$

Notice the pattern of signs: in the cosine the sign is reversed (sum of angles, difference of products), whereas in the sine the sign is preserved. These six formulae are the foundation on which all the others in this chapter rest: from the duplication formulae to the bisection ones.

History — The addition formulae in the Almagest

Many centuries before anyone spoke of sine and cosine, Greek astronomers reasoned about the chords of a circle. In the Almagest (2nd century AD) Claudius Ptolemy built a remarkably accurate table of chords, perfecting the work begun by Hipparchus of Nicaea. To compute it he proved the famous Ptolemy’s theorem on cyclic quadrilaterals, from which he was able to derive rules for the chord of the sum and of the difference of two arcs: these are, in modern language, exactly our addition and subtraction formulae (Boyer, Katz).

Topics: Trigonometric formulae
Concepts: Addition formulae
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Methods: Addition formulae
Skills: Using formulae

Tutte le formule di addizione discendono da un’unica identità fondamentale, quella per cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta). La si dimostra calcolando in due modi diversi la stessa distanza sulla circonferenza goniometrica.

Dimostrazione — Formula per cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta)

Consideriamo due punti sulla circonferenza goniometrica: Pα(cos⁡α;sin⁡α)P_\alpha(\cos\alpha;\sin\alpha) e Pβ(cos⁡β;sin⁡β)P_\beta(\cos\beta;\sin\beta). La distanza dd tra essi si calcola in due modi.

Primo modo (coordinate cartesiane):

d^2 &= (\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2 \\ &= \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta \\ &= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta). \end{aligned}$$ **Secondo modo** (teorema del coseno nel triangolo $OP_\alpha P_\beta$, con $O$ origine): i lati $OP_\alpha$ e $OP_\beta$ hanno entrambi lunghezza $1$ (raggio della circonferenza) e l'angolo tra essi è $\alpha-\beta$, quindi $$d^2 = 1 + 1 - 2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta).$$ Uguagliando le due espressioni di $d^2$ e semplificando: $$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta. \qquad \blacksquare$$

Costruzione per la dimostrazione di cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta): la corda d=PαPβd=P_\alpha P_\beta del triangolo OPαPβOP_\alpha P_\beta ha lunghezza calcolabile in due modi, da cui discende la formula.

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Circonferenza goniometrica · Formule di addizione · Teorema del coseno
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Dimostrare

All the addition formulae descend from a single fundamental identity, the one for cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta). It is proved by computing in two different ways the same distance on the unit circle.

Proof — Formula for cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta)

Consider two points on the unit circle: Pα(cos⁡α;sin⁡α)P_\alpha(\cos\alpha;\sin\alpha) and Pβ(cos⁡β;sin⁡β)P_\beta(\cos\beta;\sin\beta). The distance dd between them can be computed in two ways.

First way (Cartesian coordinates):

d^2 &= (\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2 \\ &= \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta \\ &= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta). \end{aligned}$$ **Second way** (cosine rule in the triangle $OP_\alpha P_\beta$, with $O$ the origin): the sides $OP_\alpha$ and $OP_\beta$ both have length $1$ (the radius of the circle) and the angle between them is $\alpha-\beta$, hence $$d^2 = 1 + 1 - 2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta).$$ Equating the two expressions for $d^2$ and simplifying: $$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta. \qquad \blacksquare$$

Construction for the proof of cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta): the chord d=PαPβd=P_\alpha P_\beta of the triangle OPαPβOP_\alpha P_\beta has a length computable in two ways, from which the formula follows.

Topics: Trigonometric formulae
Concepts: Unit circle · Addition formulae · Cosine rule
Functions: Cosine · Sine
Skills: Proving

Una volta stabilita la formula per cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta), tutte le altre discendono da essa combinandola con gli archi associati visti nel capitolo precedente.

Coseno di una somma. Basta scrivere cos⁡(α+β)=cos⁡(α−(−β))\cos(\alpha+\beta) = \cos\bigl(\alpha - (-\beta)\bigr): sostituendo β→−β\beta \to -\beta e usando cos⁡(−β)=cos⁡β\cos(-\beta)=\cos\beta e sin⁡(−β)=−sin⁡β\sin(-\beta)=-\sin\beta, si ottiene cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β.\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.

Seno di una somma. Si usa la relazione sin⁡θ=cos⁡(π2−θ)\sin\theta = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2} - \theta\bigr): sin⁡(α+β)=cos⁡(π2−α−β)=cos⁡((π2−α)−β)=cos⁡(π2−α)cos⁡β+sin⁡(π2−α)sin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \alpha - \beta\Bigr) = \cos\Bigl(\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr) - \beta\Bigr) = \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\Bigr)\cos\beta + \sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\Bigr)\sin\beta che, usando cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\sin\alpha e sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\cos\alpha, diventa sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.

Tangente di una somma. La formula per tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) si ottiene dividendo sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) per cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) e poi dividendo numeratore e denominatore per cos⁡αcos⁡β\cos\alpha\cos\beta.

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Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Archi associati · Formule di addizione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule addizione
Competenze: Dimostrare · Usare formule

Once the formula for cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) has been established, all the others descend from it by combining it with the related arcs seen in the previous chapter.

Cosine of a sum. It is enough to write cos⁡(α+β)=cos⁡(α−(−β))\cos(\alpha+\beta) = \cos\bigl(\alpha - (-\beta)\bigr): substituting β→−β\beta \to -\beta and using cos⁡(−β)=cos⁡β\cos(-\beta)=\cos\beta and sin⁡(−β)=−sin⁡β\sin(-\beta)=-\sin\beta, we obtain cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β.\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.

Sine of a sum. We use the relation sin⁡θ=cos⁡(π2−θ)\sin\theta = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2} - \theta\bigr): sin⁡(α+β)=cos⁡(π2−α−β)=cos⁡((π2−α)−β)=cos⁡(π2−α)cos⁡β+sin⁡(π2−α)sin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \alpha - \beta\Bigr) = \cos\Bigl(\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr) - \beta\Bigr) = \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\Bigr)\cos\beta + \sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\Bigr)\sin\beta which, using cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\sin\alpha and sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\cos\alpha, becomes sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.

Tangent of a sum. The formula for tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) is obtained by dividing sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) by cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) and then dividing numerator and denominator by cos⁡αcos⁡β\cos\alpha\cos\beta.

Topics: Trigonometric formulae
Concepts: Related arcs · Addition formulae
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Methods: Addition formulae
Skills: Proving · Using formulae

Le formule di addizione permettono di calcolare i valori goniometrici di angoli “non notevoli” scomponendoli come somma di angoli notevoli.

Esempio — Coseno di 75°

Calcoliamo cos⁡(75°)\cos(75°) scrivendo 75°=45°+30°75° = 45°+30° e applicando la formula del coseno di una somma: cos⁡75°=cos⁡45°cos⁡30°−sin⁡45°sin⁡30°=22⋅32−22⋅12=2(3−1)4=6−24.\cos 75° = \cos 45°\cos 30° - \sin 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4} = \boxed{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}.

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Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di addizione
Funzioni: Coseno
Metodi: Formule addizione
Competenze: Calcolare · Usare formule

The addition formulae allow us to compute the trigonometric values of “non-special” angles by breaking them down as a sum of special angles.

Example — Cosine of 75°

Let us compute cos⁡(75°)\cos(75°) by writing 75°=45°+30°75° = 45°+30° and applying the formula for the cosine of a sum: cos⁡75°=cos⁡45°cos⁡30°−sin⁡45°sin⁡30°=22⋅32−22⋅12=2(3−1)4=6−24.\cos 75° = \cos 45°\cos 30° - \sin 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4} = \boxed{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}.

Topics: Trigonometric formulae
Concepts: Addition formulae
Functions: Cosine
Methods: Addition formulae
Skills: Calculating · Using formulae

Le formule di addizione hanno una storia lunghissima, che precede di oltre mille anni la notazione moderna con seno e coseno. I matematici greci non usavano il seno di un angolo, ma la corda dell’arco corrispondente: fissato un cerchio, alla corda crd(θ)\text{crd}(\theta) associavano la lunghezza del segmento che sottende un arco di ampiezza θ\theta. Il legame con il seno è semplice: in un cerchio di raggio RR si ha crd(θ)=2R sin⁡ ⁣θ2.\text{crd}(\theta) = 2R\,\sin\!\frac{\theta}{2}.

La prima tavola delle corde di cui abbiamo notizia si deve a Ipparco di Nicea (II sec. a.C.), considerato il fondatore della trigonometria. Fu però Claudio Tolomeo, nel suo grande trattato astronomico Almagesto (II sec. d.C.), a costruirne una versione di straordinaria precisione, con le corde tabulate di mezzo grado in mezzo grado (Boyer, Katz).

Il teorema di Tolomeo

Lo strumento chiave di quel calcolo è un elegante risultato di geometria, oggi noto come teorema di Tolomeo: in un quadrilatero inscritto in una circonferenza, il prodotto delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti. Detto ABCDABCD il quadrilatero ciclico, AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DA.AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot DA.

Applicando questo teorema a quadrilateri opportuni, con un lato coincidente con il diametro, Tolomeo ricavò le relazioni tra la corda della somma e la corda della differenza di due archi. Tradotte nel linguaggio moderno, quelle relazioni sono esattamente le formule di addizione e sottrazione che usiamo oggi: ad esempio la costruzione che porta a sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta è, nella sostanza, un caso particolare del teorema di Tolomeo (Dunham, Katz).

Da queste identità, e da una raffinata stima della corda di 1°1° ottenuta per interpolazione, Tolomeo poté compilare una tavola che rimase insuperata in Europa fino al Rinascimento. È un bell’esempio di come un teorema puramente geometrico — un’affermazione sui quadrilateri inscritti — sia diventato il motore di calcolo dell’astronomia antica.

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Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di addizione
Persone: Claudio Tolomeo · Ipparco di Nicea

The addition formulae have a very long history, one that predates the modern sine–cosine notation by more than a thousand years. Greek mathematicians did not use the sine of an angle, but the chord of the corresponding arc: in a fixed circle they associated with each arc of measure θ\theta the chord crd(θ)\text{crd}(\theta), the length of the segment subtending that arc. The link with the sine is simple: in a circle of radius RR, crd(θ)=2R sin⁡ ⁣θ2.\text{crd}(\theta) = 2R\,\sin\!\frac{\theta}{2}.

The earliest table of chords we know of is due to Hipparchus of Nicaea (2nd century BC), regarded as the founder of trigonometry. It was Claudius Ptolemy, however, in his great astronomical treatise the Almagest (2nd century AD), who produced an extraordinarily accurate version, with chords tabulated in half-degree steps (Boyer, Katz).

Ptolemy’s theorem

The key tool behind that computation is an elegant geometric result, known today as Ptolemy’s theorem: in a quadrilateral inscribed in a circle, the product of the diagonals equals the sum of the products of the opposite sides. If ABCDABCD is the cyclic quadrilateral, AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DA.AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot DA.

By applying this theorem to suitable quadrilaterals, with one side lying on the diameter, Ptolemy derived the relations between the chord of the sum and the chord of the difference of two arcs. Translated into modern language, those relations are exactly the addition and subtraction formulae we use today: for instance the construction that leads to sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta is, in essence, a special case of Ptolemy’s theorem (Dunham, Katz).

From these identities, together with a refined estimate of the chord of 1°1° obtained by interpolation, Ptolemy was able to compile a table that remained unsurpassed in Europe until the Renaissance. It is a fine example of how a purely geometric theorem — a statement about inscribed quadrilaterals — became the computational engine of ancient astronomy.

Topics: Trigonometric formulae
Concepts: Addition formulae
People: Claudius Ptolemy · Hipparchus of Nicaea

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