Teorema dei seni

Il teorema dei seni afferma che in ogni triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è costante, e pari al diametro della circonferenza circoscritta. È lo strumento ideale per risolvere un triangolo quando si conoscono angoli e un lato. Ne vediamo l’enunciato, la dimostrazione basata sul teorema della corda e un esempio applicativo.

• Teorema dei seni
• Dimostrazione del teorema dei seni
• Risolvere un triangolo con il teorema dei seni

The sine rule states that in every triangle the ratio of a side to the sine of the opposite angle is constant, and equal to the diameter of the circumscribed circle. It is the ideal tool for solving a triangle when angles and one side are known. We look at its statement, the proof based on the chord theorem and a worked example.

• The sine rule
• Proof of the sine rule
• Solving a triangle with the sine rule

Il secondo grande strumento per risolvere i triangoli qualsiasi mette in relazione ciascun lato con l’angolo che gli sta di fronte.

Teorema — Teorema dei seni

In un triangolo $ABC$ con lati $a,b,c$ opposti ai vertici $A,B,C$ e circonferenza circoscritta di raggio $R$: $\frac{a}{\sin\widehat{A}} = \frac{b}{\sin\widehat{B}} = \frac{c}{\sin\widehat{C}} = 2R.$

Il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è dunque lo stesso per tutti e tre i lati, ed è uguale al diametro $2R$ della circonferenza circoscritta.

Storia — Chi ha scoperto il teorema dei seni

La relazione tra i lati e i seni degli angoli opposti nasce nell’astronomia islamica: l’astronomo al-Battānī (IX–X secolo) la impiegò in forma sferica per calcolare le posizioni degli astri, e il persiano Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (XIII secolo), nel suo Trattato sul quadrilatero completo, la enunciò esplicitamente sia per i triangoli piani sia per quelli sferici, trattando per la prima volta la trigonometria come una disciplina autonoma e non come una semplice appendice dell’astronomia (Katz). In Europa la regola fu ripresa e organizzata sistematicamente da Regiomontano nel De triangulis omnimodis (1464), il primo grande trattato occidentale interamente dedicato ai triangoli (Boyer).

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Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Circonferenza circoscritta · Risoluzione triangoli · Teorema dei seni
Funzioni: Seno
Metodi: Triangolo risoluzione
Competenze: Usare formule
Persone: al-Battānī · Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī · Regiomontano

The second great tool for solving general triangles relates each side to the angle that lies opposite it.

Theorem — The sine rule

In a triangle $ABC$ with sides $a,b,c$ opposite the vertices $A,B,C$ and a circumscribed circle of radius $R$: $\frac{a}{\sin\widehat{A}} = \frac{b}{\sin\widehat{B}} = \frac{c}{\sin\widehat{C}} = 2R.$

The ratio of a side to the sine of the opposite angle is therefore the same for all three sides, and it equals the diameter $2R$ of the circumscribed circle.

History — Who discovered the sine rule

The relation between the sides and the sines of the opposite angles arose in Islamic astronomy: the astronomer al-Battānī (9th–10th century) used it in spherical form to compute the positions of the stars, and the Persian Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (13th century), in his Treatise on the Complete Quadrilateral, stated it explicitly for both plane and spherical triangles, treating trigonometry for the first time as an autonomous discipline rather than a mere appendage of astronomy (Katz). In Europe the rule was taken up and systematically organised by Regiomontanus in De triangulis omnimodis (1464), the first great Western treatise devoted entirely to triangles (Boyer).

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Topics: Triangle trigonometry
Concepts: Circumscribed circle · Triangle solving · Sine rule
Functions: Sine
Methods: Triangle solving
Skills: Using formulae
People: al-Battānī · Nasir al-Din al-Tusi · Regiomontanus

La dimostrazione sfrutta il teorema della corda applicato alla circonferenza circoscritta al triangolo.

Dimostrazione — Con il teorema della corda

Consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo. Il lato $a$ è una corda di questa circonferenza, e l’angolo opposto $\widehat{A}$ è l’angolo alla circonferenza che insiste sull’arco $BC$. Per il teorema della corda, $a = 2R\sin\widehat{A},$ da cui $a/\sin\widehat{A} = 2R$. Analogamente per $b$ e $c$: tutti e tre i rapporti sono uguali a $2R$. $\blacksquare$

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Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Circonferenza circoscritta · Teorema dei seni · Teorema della corda
Funzioni: Seno
Competenze: Dimostrare

The proof uses the chord theorem applied to the circle circumscribed about the triangle.

Proof — With the chord theorem

Consider the circle circumscribed about the triangle. The side $a$ is a chord of this circle, and the opposite angle $\widehat{A}$ is the inscribed angle subtending the arc $BC$. By the chord theorem, $a = 2R\sin\widehat{A},$ whence $a/\sin\widehat{A} = 2R$. Likewise for $b$ and $c$: all three ratios equal $2R$. $\blacksquare$

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Topics: Triangle trigonometry
Concepts: Circumscribed circle · Sine rule · Chord theorem
Functions: Sine
Skills: Proving

Quando di un triangolo conosciamo due angoli e un lato, il teorema dei seni permette di trovare gli altri lati.

Esempio — Risoluzione di un triangolo, angoli-lato

Un triangolo ha $\widehat{A} = 30°$, $\widehat{B} = 75°$, $a = 10$. Trovare $b$ e $c$.

Anzitutto $\widehat{C} = 180° - 30° - 75° = 75°$. Quindi il triangolo è isoscele con $b = c$ (angoli uguali $\Rightarrow$ lati uguali).

Per il teorema dei seni: $\frac{10}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 75°} \implies b = \frac{10\sin 75°}{\sin 30°} = 20\sin 75° \approx 19{,}32.$ E $c = b \approx 19{,}32$.

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Concetti: Risoluzione triangoli · Teorema dei seni
Funzioni: Seno
Metodi: Triangolo risoluzione
Competenze: Calcolare · Usare formule

When we know two angles and one side of a triangle, the sine rule lets us find the other sides.

Example — Solving a triangle, angles-side

A triangle has $\widehat{A} = 30°$, $\widehat{B} = 75°$, $a = 10$. Find $b$ and $c$.

First $\widehat{C} = 180° - 30° - 75° = 75°$. Hence the triangle is isosceles with $b = c$ (equal angles $\Rightarrow$ equal sides).

By the sine rule: $\frac{10}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 75°} \implies b = \frac{10\sin 75°}{\sin 30°} = 20\sin 75° \approx 19{,}32.$ And $c = b \approx 19{,}32$.

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Functions: Sine
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Skills: Calculating · Using formulae

Per molti secoli la trigonometria non fu una disciplina a sé: nacque come strumento di calcolo al servizio dell’astronomia. I greci — da Ipparco a Tolomeo — non usavano il seno, ma tabulavano le corde di una circonferenza, cioè i segmenti $\text{crd}\,\theta = 2R\sin\dfrac{\theta}{2}$ sottesi da un arco. Furono i matematici del mondo islamico a sostituire la corda con il seno (dal sanscrito jyā, trasmesso attraverso l’India) e a costruire tavole molto più maneggevoli. Tra questi al-Battānī (circa 858–929), noto in Europa come Albategnius, compilò tavole di seni e di cotangenti e utilizzò relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli sferici per determinare le posizioni degli astri e la direzione della Mecca.

Il passo decisivo verso l’autonomia della disciplina si deve al persiano Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (1201–1274). Nel suo Trattato sul quadrilatero completo egli raccolse e sistemò tutto il sapere trigonometrico del tempo, presentandolo per la prima volta come una teoria indipendente dall’astronomia, con le proprie definizioni e i propri teoremi. In quest’opera compare l’enunciato esplicito del teorema dei seni, valido tanto per i triangoli piani quanto per quelli sferici: $\frac{a}{\sin\widehat{A}} = \frac{b}{\sin\widehat{B}} = \frac{c}{\sin\widehat{C}}.$

In Europa questo patrimonio arrivò con qualche secolo di ritardo. Fu Regiomontano (Johannes Müller di Königsberg, 1436–1476) a comporre, intorno al 1464, il De triangulis omnimodis (Sui triangoli di ogni tipo), il primo grande trattato occidentale interamente dedicato alla risoluzione dei triangoli, indipendente dagli scopi astronomici. Vi si trova la formulazione del teorema dei seni per i triangoli piani e un’organizzazione sistematica dei metodi per determinare tutti gli elementi di un triangolo a partire da quelli noti. Stampato solo nel 1533, il libro diventò il testo di riferimento per generazioni di matematici e segna la nascita della trigonometria come ramo autonomo della matematica (Katz, Boyer).

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Concetti: Risoluzione triangoli · Teorema dei seni
Persone: al-Battānī · Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī · Regiomontano

For many centuries trigonometry was not a discipline in its own right: it was born as a computational tool in the service of astronomy. The Greeks — from Hipparchus to Ptolemy — did not use the sine but tabulated the chords of a circle, that is the segments $\text{crd}\,\theta = 2R\sin\dfrac{\theta}{2}$ subtended by an arc. It was the mathematicians of the Islamic world who replaced the chord with the sine (from the Sanskrit jyā, transmitted through India) and built far more convenient tables. Among them al-Battānī (c. 858–929), known in Europe as Albategnius, compiled tables of sines and cotangents and used relations between the sides and angles of spherical triangles to determine the positions of the stars and the direction of Mecca.

The decisive step towards the autonomy of the subject is due to the Persian Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (1201–1274). In his Treatise on the Complete Quadrilateral he gathered and organised all the trigonometric knowledge of his time, presenting it for the first time as a theory independent of astronomy, with its own definitions and theorems. In this work appears the explicit statement of the sine rule, valid for both plane and spherical triangles: $\frac{a}{\sin\widehat{A}} = \frac{b}{\sin\widehat{B}} = \frac{c}{\sin\widehat{C}}.$

In Europe this heritage arrived a few centuries later. It was Regiomontanus (Johannes Müller of Königsberg, 1436–1476) who composed, around 1464, De triangulis omnimodis (On Triangles of Every Kind), the first great Western treatise devoted entirely to the solution of triangles, independent of astronomical purposes. It contains the statement of the sine rule for plane triangles and a systematic organisation of the methods for finding all the elements of a triangle from those that are known. Printed only in 1533, the book became the standard reference for generations of mathematicians and marks the birth of trigonometry as an autonomous branch of mathematics (Katz, Boyer).

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