Forma trigonometrica e polare esponenziale

Usando le coordinate polari $(\rho,\theta)$ del punto che rappresenta $z$ si ottengono la forma trigonometrica $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$ e, tramite l’identità di Eulero, la forma esponenziale $z=\rho\,e^{i\theta}$. In queste forme prodotto, quoziente e potenza diventano semplicissimi (formula di De Moivre) e la moltiplicazione acquista un significato geometrico di rotazione e dilatazione. La sezione si chiude con la parametrizzazione di curve nel piano.

• Forma trigonometrica e argomento
• Identità di Eulero e forma esponenziale
• Prodotto e potenza in forma esponenziale
• Parametrizzazione di curve nel piano
• Forma implicita e forma parametrica

Using the polar coordinates $(\rho,\theta)$ of the point representing $z$ one obtains the trigonometric form $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$ and, through Euler’s identity, the exponential form $z=\rho\,e^{i\theta}$. In these forms the product, quotient and power become very simple (De Moivre’s formula) and multiplication acquires a geometric meaning of rotation and dilation. The section closes with the parametrisation of curves in the plane.

• Trigonometric form and argument
• Euler’s identity and exponential form
• Product and power in exponential form
• Parametrisation of curves in the plane
• Implicit form and parametric form

Ogni punto $(a;b)$ del piano ha anche coordinate polari $(\rho,\theta)$, con $\rho=\sqrt{a^2+b^2}$ e $\theta$ l’angolo orientato rispetto all’asse reale. Quindi ogni numero complesso può essere scritto in forma trigonometrica: $z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta).$

L’angolo $\theta$ si chiama argomento di $z$ ($\arg z$) ed è definito a meno di multipli di $2\pi$: aggiungere un giro completo non cambia il punto rappresentato. Il modulo $\rho=|z|$ è la distanza dall’origine.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Argomento · Forma trigonometrica · Modulo
Competenze: Usare formule

Every point $(a;b)$ of the plane also has polar coordinates $(\rho,\theta)$, with $\rho=\sqrt{a^2+b^2}$ and $\theta$ the oriented angle with respect to the real axis. So every complex number can be written in trigonometric form: $z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta).$

The angle $\theta$ is called the argument of $z$ ($\arg z$) and is defined up to multiples of $2\pi$: adding a full turn does not change the point represented. The modulus $\rho=|z|$ is the distance from the origin.

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Topics: Complex numbers
Concepts: Argument · Trigonometric form · Modulus
Skills: Use formulae

Confrontando la forma trigonometrica con lo sviluppo dell’esponenziale si scopre un legame profondo tra funzione esponenziale e funzioni trigonometriche.

Proprietà — Identità di Eulero e forma esponenziale

Anticipando un risultato che verrà giustificato rigorosamente in Quinta con le serie: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$ Di conseguenza, ogni numero complesso si scrive in forma esponenziale come $z = \rho\,e^{i\theta}.$

La forma esponenziale è la più compatta: racchiude in un solo simbolo l’informazione su modulo ($\rho$) e argomento ($\theta$). È anche la più comoda per moltiplicazioni, divisioni e potenze, come si vedrà con la formula di De Moivre.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma esponenziale · Forma trigonometrica · Identita di eulero
Competenze: Usare formule
Persone: Leonhard Euler (Eulero)

Comparing the trigonometric form with the expansion of the exponential reveals a deep link between the exponential function and the trigonometric functions.

Property — Euler's identity and exponential form

Anticipating a result that will be justified rigorously in Year Five with series: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$ As a consequence, every complex number is written in exponential form as $z = \rho\,e^{i\theta}.$

The exponential form is the most compact: it encloses in a single symbol the information about modulus ($\rho$) and argument ($\theta$). It is also the most convenient for multiplications, divisions and powers, as will be seen with De Moivre’s formula.

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Topics: Complex numbers
Concepts: Exponential form · Trigonometric form · Euler’s identity
Skills: Use formulae
People: Leonhard Euler (Eulero)

In forma esponenziale prodotto, quoziente e potenza si riducono a operazioni sui moduli e sugli argomenti.

Proprietà — Prodotto e potenza in forma esponenziale

Siano $z_1=\rho_1 e^{i\theta_1}$ e $z_2=\rho_2 e^{i\theta_2}$. Allora: $z_1 \cdot z_2 = \rho_1\rho_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\,e^{i(\theta_1 - \theta_2)}.$ E per l’elevamento a potenza (formula di De Moivre): $z^n = \rho^n\,e^{in\theta} = \rho^n\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr).$

Interpretazione geometrica. Moltiplicare per un numero complesso corrisponde a ruotare (di $\theta$) e ridimensionare (di $\rho$). Se $|z_2|=1$, la moltiplicazione è una pura rotazione. È proprio questa l’interpretazione alla base della rappresentazione delle trasformazioni del piano con i numeri complessi.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: De moivre · Forma esponenziale
Metodi: De moivre · Numeri complessi polare
Competenze: Calcolare · Usare formule
Persone: Abraham de Moivre

In exponential form the product, quotient and power reduce to operations on the moduli and the arguments.

Property — Product and power in exponential form

Let $z_1=\rho_1 e^{i\theta_1}$ and $z_2=\rho_2 e^{i\theta_2}$. Then: $z_1 \cdot z_2 = \rho_1\rho_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\,e^{i(\theta_1 - \theta_2)}.$ And for raising to a power (De Moivre’s formula): $z^n = \rho^n\,e^{in\theta} = \rho^n\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr).$

Geometric interpretation. Multiplying by a complex number corresponds to rotating (by $\theta$) and rescaling (by $\rho$). If $|z_2|=1$, the multiplication is a pure rotation. It is precisely this interpretation that underlies representing the transformations of the plane with complex numbers.

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Topics: Complex numbers
Concepts: De Moivre · Exponential form
Methods: De Moivre · Numeri complessi polare
Skills: Calculate · Use formulae
People: Abraham de Moivre

La forma esponenziale $z(\theta)=\rho\,e^{i\theta}$ è già una parametrizzazione: al variare di $\theta\in[0,2\pi)$, $z(\theta)$ descrive la circonferenza di raggio $\rho$. È un punto di vista cinematico: la curva è l’immagine del moto di un punto al variare di un parametro. Vediamo tre esempi.

Cerchio. Centro $(x_0,y_0)$, raggio $r$: $\begin{cases} x(t) = x_0 + r\cos t \\ y(t) = y_0 + r\sin t\end{cases}, \quad t\in[0,2\pi).$ Verifica: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = r^2$. La parametrizzazione percorre il cerchio in senso antiorario una volta sola.

Ellisse. Forma canonica $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$: $\begin{cases} x(t) = a\cos t \\ y(t) = b\sin t\end{cases}, \quad t\in[0,2\pi).$ Attenzione: $t$ non è l’angolo geometrico del punto rispetto al centro (a meno che $a=b$). È un parametro angolare ausiliario: nel formalismo astronomico delle orbite si chiama anomalia eccentrica, secondo la terminologia kepleriana ripresa da Stillwell.

Curva di Lissajous. Due oscillazioni perpendicolari di frequenze diverse: $\begin{cases} x(t) = A\sin(\omega_1 t) \\ y(t) = B\sin(\omega_2 t + \delta)\end{cases}.$ Se $\omega_1/\omega_2$ è razionale, la curva è chiusa; se irrazionale, riempie densamente il rettangolo $[-A,A]\times[-B,B]$. Il caso $\omega_2/\omega_1 = 1{:}1$ con $\delta=\pi/2$ dà una circonferenza ($A=B$) o un’ellisse ad assi paralleli; il rapporto $1{:}2$ dà la classica figura a otto.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Anomalia eccentrica · Circonferenza · Curva di lissajous · Ellisse · Forma esponenziale · Parametrizzazione
Competenze: Modellizzare
Persone: Johannes Kepler (Keplero) · Lissajous

The exponential form $z(\theta)=\rho\,e^{i\theta}$ is already a parametrisation: as $\theta\in[0,2\pi)$ varies, $z(\theta)$ describes the circle of radius $\rho$. It is a kinematic point of view: the curve is the image of the motion of a point as a parameter varies. Let us look at three examples.

Circle. Centre $(x_0,y_0)$, radius $r$: $\begin{cases} x(t) = x_0 + r\cos t \\ y(t) = y_0 + r\sin t\end{cases}, \quad t\in[0,2\pi).$ Check: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = r^2$. The parametrisation traverses the circle anticlockwise exactly once.

Ellipse. Canonical form $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$: $\begin{cases} x(t) = a\cos t \\ y(t) = b\sin t\end{cases}, \quad t\in[0,2\pi).$ Note: $t$ is not the geometric angle of the point with respect to the centre (unless $a=b$). It is an auxiliary angular parameter: in the astronomical formalism of orbits it is called the eccentric anomaly, following the Keplerian terminology taken up by Stillwell.

Lissajous curve. Two perpendicular oscillations of different frequencies: $\begin{cases} x(t) = A\sin(\omega_1 t) \\ y(t) = B\sin(\omega_2 t + \delta)\end{cases}.$ If $\omega_1/\omega_2$ is rational, the curve is closed; if irrational, it densely fills the rectangle $[-A,A]\times[-B,B]$. The case $\omega_2/\omega_1 = 1{:}1$ with $\delta=\pi/2$ gives a circle ($A=B$) or an ellipse with parallel axes; the ratio $1{:}2$ gives the classic figure of eight.

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Topics: Complex numbers
Concepts: Eccentric anomaly · Circle · Lissajous curve · Ellipse · Exponential form · Parametrisation
Skills: Model
People: Johannes Kepler (Keplero) · Lissajous

Una curva nel piano si può rappresentare in due modi complementari.

Osservazione — Forma implicita vs forma parametrica

Una curva nel piano si rappresenta in due modi:

• forma implicita: $F(x,y)=0$ (es. $x^2+y^2-r^2=0$, $\;x^2/a^2 + y^2/b^2 - 1 = 0$).
• forma parametrica: $x=x(t)$, $y=y(t)$ (cerchio, ellisse, Lissajous, eliche).

Pregi della forma parametrica: sappiamo come, non solo dove, la curva esiste (velocità, direzione); è indispensabile per gli integrali curvilinei e per la fisica. Pregi della forma implicita: equazione unica, intersezioni dirette con altre curve. Si passa da una all’altra: implicita $\to$ parametrica per ispezione (con seni/coseni o radici); parametrica $\to$ implicita eliminando $t$.

Esempio — Eliminazione del parametro

Da $x=2\cos t$, $y=3\sin t$ ($t\in[0,2\pi)$) si ricava la forma implicita: $\cos t = x/2, \quad \sin t = y/3 \implies (x/2)^2 + (y/3)^2 = 1 \implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1.$ È un’ellisse con semiasse $a=2$ orizzontale e $b=3$ verticale.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma implicita · Forma parametrica · Parametrizzazione
Competenze: Modellizzare

A curve in the plane can be represented in two complementary ways.

Observation — Implicit form vs parametric form

A curve in the plane is represented in two ways:

• implicit form: $F(x,y)=0$ (e.g. $x^2+y^2-r^2=0$, $\;x^2/a^2 + y^2/b^2 - 1 = 0$).
• parametric form: $x=x(t)$, $y=y(t)$ (circle, ellipse, Lissajous, helices).

Merits of the parametric form: we know how, not just where, the curve exists (velocity, direction); it is indispensable for line integrals and for physics. Merits of the implicit form: a single equation, direct intersections with other curves. One passes from one to the other: implicit $\to$ parametric by inspection (with sines/cosines or roots); parametric $\to$ implicit by eliminating $t$.

Example — Eliminating the parameter

From $x=2\cos t$, $y=3\sin t$ ($t\in[0,2\pi)$) one obtains the implicit form: $\cos t = x/2, \quad \sin t = y/3 \implies (x/2)^2 + (y/3)^2 = 1 \implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1.$ It is an ellipse with horizontal semi-axis $a=2$ and vertical semi-axis $b=3$.

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Concepts: Implicit form · Parametric form · Parametrisation
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