Formule di prostaferesi e di Werner

Le formule di Werner trasformano un prodotto di seni e coseni in una somma; le formule di prostaferesi compiono il movimento inverso, da somma a prodotto. Entrambe si ricavano dalle formule di addizione e sono strumenti preziosi: la prostaferesi, in particolare, permette di scomporre in fattori una somma di funzioni goniometriche, riducendo molte equazioni alla legge di annullamento del prodotto.

• Formule di Werner: da prodotto a somma
• Formule di prostaferesi: da somma a prodotto
• Scomporre una somma in prodotto
• Quando usare cosa

The Werner formulae transform a product of sines and cosines into a sum; the sum-to-product formulae carry out the inverse move, from sum to product. Both are derived from the addition formulae and are valuable tools: the sum-to-product formulae, in particular, allow a sum of trigonometric functions to be factorised, reducing many equations to the zero-product law.

• Werner formulae: from product to sum
• Sum-to-product formulae: from sum to product
• Factorising a sum into a product
• When to use what

Le formule di Werner trasformano un prodotto di seni e coseni in una somma (o differenza). Sono utili, per esempio, quando un prodotto va integrato o semplificato.

Proprietà — Formule di Werner: prodotto → somma

$\begin{aligned} \cos\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\bigr] \\ \sin\alpha\sin\beta &= \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\bigr] \\ \sin\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\bigl[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\bigr] \end{aligned}$

Dimostrazione

Per la prima, partiamo dalle formule di addizione del coseno: $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.$ Sommando membro a membro si ottiene $\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$, da cui la prima formula. Sottraendo membro a membro si ricava la seconda. La terza si ottiene sommando le formule di $\sin(\alpha+\beta)$ e $\sin(\alpha-\beta)$. ∎

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Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di addizione · Formule di werner
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Dimostrare · Usare formule

The Werner formulae transform a product of sines and cosines into a sum (or difference). They are useful, for example, when a product has to be integrated or simplified.

Property — Werner formulae: product → sum

$\begin{aligned} \cos\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\bigr] \\ \sin\alpha\sin\beta &= \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\bigr] \\ \sin\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\bigl[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\bigr] \end{aligned}$

Proof

For the first, we start from the addition formulae for the cosine: $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.$ Adding term by term gives $\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$, whence the first formula. Subtracting term by term yields the second. The third is obtained by adding the formulae for $\sin(\alpha+\beta)$ and $\sin(\alpha-\beta)$. ∎

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Topics: Prostaferesi werner
Concepts: Formule di addizione · Formule di werner
Functions: Coseno · Seno
Skills: Dimostrare · Usare formule

Le formule di prostaferesi compiono il movimento inverso rispetto a quelle di Werner: trasformano una somma o differenza di seni e coseni in un prodotto. Si ottengono dalle formule di Werner con un cambio di variabile.

Proprietà — Formule di prostaferesi: somma → prodotto

Ponendo $p=\alpha+\beta$ e $q=\alpha-\beta$ (cioè $\alpha = (p+q)/2$ e $\beta=(p-q)/2$), dalle formule di Werner si ricavano: $\begin{aligned} \sin p + \sin q &= 2\sin\!\tfrac{p+q}{2}\cos\!\tfrac{p-q}{2} \\ \sin p - \sin q &= 2\cos\!\tfrac{p+q}{2}\sin\!\tfrac{p-q}{2} \\ \cos p + \cos q &= 2\cos\!\tfrac{p+q}{2}\cos\!\tfrac{p-q}{2} \\ \cos p - \cos q &= -2\sin\!\tfrac{p+q}{2}\sin\!\tfrac{p-q}{2} \end{aligned}$

Poiché il risultato è un prodotto, queste formule sono lo strumento naturale per scomporre in fattori un’espressione e applicare poi la legge di annullamento del prodotto.

Storia — Moltiplicare senza moltiplicare: la prostaferesi

Prima dei logaritmi, la vera difficoltà dei calcoli astronomici erano le lunghe moltiplicazioni di numeri con molte cifre. Verso il 1580 il matematico Paul Wittich portò all’osservatorio di Tycho Brahe, a Uraniborg, un’astuzia: usando la formula $\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\bigr]$ si può sostituire un prodotto con una somma di valori letti da una tavola dei coseni. Questo metodo, detto prostaferesi (dal greco «aggiunta e sottrazione»), fu l’ultimo grande espediente di calcolo prima che Nepero pubblicasse i logaritmi nel 1614, rendendolo obsoleto (Boyer; Katz).

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Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di prostaferesi · Formule di werner
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule prostaferesi
Competenze: Scomporre · Usare formule
Persone: John Napier (Nepero) · Paul Wittich · Tycho Brahe

The sum-to-product (prosthaphaeresis) formulae carry out the inverse move to the Werner ones: they transform a sum or difference of sines and cosines into a product. They are obtained from the Werner formulae by a change of variable.

Property — Sum-to-product formulae: sum → product

Setting $p=\alpha+\beta$ and $q=\alpha-\beta$ (that is, $\alpha = (p+q)/2$ and $\beta=(p-q)/2$), from the Werner formulae one derives: $\begin{aligned} \sin p + \sin q &= 2\sin\!\tfrac{p+q}{2}\cos\!\tfrac{p-q}{2} \\ \sin p - \sin q &= 2\cos\!\tfrac{p+q}{2}\sin\!\tfrac{p-q}{2} \\ \cos p + \cos q &= 2\cos\!\tfrac{p+q}{2}\cos\!\tfrac{p-q}{2} \\ \cos p - \cos q &= -2\sin\!\tfrac{p+q}{2}\sin\!\tfrac{p-q}{2} \end{aligned}$

Since the result is a product, these formulae are the natural tool for factorising an expression and then applying the zero-product law.

History — Multiplying without multiplying: prosthaphaeresis

Before logarithms, the real bottleneck of astronomical computation was the long multiplication of many-digit numbers. Around 1580 the mathematician Paul Wittich brought to Tycho Brahe’s observatory at Uraniborg a clever trick: using the formula $\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\bigr]$ one can replace a product with a sum of values read off a table of cosines. This method, called prosthaphaeresis (from the Greek for “addition and subtraction”), was the last great computational device before Napier published logarithms in 1614 and made it obsolete (Boyer; Katz).

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Concepts: Formule di prostaferesi · Formule di werner
Functions: Coseno · Seno
Methods: Formule prostaferesi
Skills: Scomporre · Usare formule

Un esempio mostra come la prostaferesi trasformi una somma in un prodotto e apra la strada alla risoluzione di un’equazione.

Esempio — Scomporre in fattori

Scomporre $\sin(3x) + \sin x$ in un prodotto.

Con $p=3x$ e $q=x$: $\sin(3x) + \sin x = 2\sin\!\left(\tfrac{3x+x}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{3x-x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos x.$ Questa scomposizione è utilissima per risolvere l’equazione $\sin(3x)+\sin x = 0$: applicando la prostaferesi diventa $2\sin(2x)\cos x = 0$, che per la legge di annullamento del prodotto si spezza nelle due equazioni elementari $\sin(2x)=0$ e $\cos x=0$.

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Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule prostaferesi
Competenze: Scomporre · Usare formule

An example shows how the sum-to-product formulae turn a sum into a product and open the way to solving an equation.

Example — Factorising

Factorise $\sin(3x) + \sin x$ into a product.

With $p=3x$ and $q=x$: $\sin(3x) + \sin x = 2\sin\!\left(\tfrac{3x+x}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{3x-x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos x.$ This factorisation is extremely useful for solving the equation $\sin(3x)+\sin x = 0$: applying the sum-to-product formula it becomes $2\sin(2x)\cos x = 0$, which by the zero-product law splits into the two elementary equations $\sin(2x)=0$ and $\cos x=0$.

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Con tante famiglie di formule a disposizione, la difficoltà è scegliere quella giusta. Ecco una guida rapida.

In sintesi — Quando usare cosa

• Formule di addizione/duplicazione/bisezione: quando serve spostare un argomento da $(\alpha\pm\beta)$ ai singoli addendi, o ricondurre $2\alpha$ e $\alpha/2$ ad $\alpha$.
• Formule parametriche: quando l’equazione è lineare in $\sin$ e $\cos$ e si vuole ricondurla a una razionale in una sola incognita $t=\tan(\alpha/2)$.
• Formule di Werner: quando si ha un prodotto di seni/coseni da integrare o semplificare.
• Formule di prostaferesi: quando si ha una somma/differenza di seni o coseni da scomporre in fattori (tipico nelle equazioni).

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Concetti: Formule di addizione · Formule di prostaferesi · Formule di werner · Formule parametriche
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Usare formule

With so many families of formulae available, the difficulty is choosing the right one. Here is a quick guide.

In summary — When to use what

• Addition/double-angle/half-angle formulae: when you need to move an argument from $(\alpha\pm\beta)$ to the individual summands, or to reduce $2\alpha$ and $\alpha/2$ to $\alpha$.
• Parametric formulae: when the equation is linear in $\sin$ and $\cos$ and you want to reduce it to a rational one in a single unknown $t=\tan(\alpha/2)$.
• Werner formulae: when you have a product of sines/cosines to integrate or simplify.
• Sum-to-product formulae: when you have a sum/difference of sines or cosines to factorise (typical in equations).

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Oggi le formule di prostaferesi sembrano un dettaglio della goniometria, ma tra la fine del Cinquecento e l’inizio del Seicento furono un vero strumento di calcolo, usato dagli astronomi per aggirare una difficoltà pratica enorme: moltiplicare numeri con molte cifre a mano è lento e pieno di errori, mentre sommare è facile.

L’idea è racchiusa nella formula di Werner $\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\bigr].$ Supponiamo di dover moltiplicare due numeri $x$ e $y$ compresi tra $-1$ e $1$. Da una tavola dei coseni si cercano gli angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\cos\alpha = x$ e $\cos\beta = y$; si calcolano le due somme $\alpha-\beta$ e $\alpha+\beta$ (operazioni facili); si leggono nella stessa tavola $\cos(\alpha-\beta)$ e $\cos(\alpha+\beta)$; infine si sommano e si dimezza. Il prodotto $xy$ è così ottenuto senza mai eseguire una moltiplicazione, ma solo con addizioni, sottrazioni e letture di tavole.

Il metodo prese il nome greco di prostaferesi — da prósthesis (aggiunta) e aphaíresis (sottrazione) — proprio perché riduceva tutto ad addizioni e sottrazioni. Le identità di partenza risalgono a Johann Werner, matematico di Norimberga, all’inizio del Cinquecento; la loro applicazione sistematica al calcolo astronomico si deve però a Paul Wittich, che intorno al 1580 la introdusse nel celebre osservatorio di Tycho Brahe sull’isola di Hven, dove servivano moltiplicazioni continue per ridurre le osservazioni dei pianeti (Boyer; Katz).

La prostaferesi ebbe vita breve: nel 1614 Nepero pubblicò i logaritmi, che trasformano ogni prodotto in una somma in modo diretto ($\log(xy) = \log x + \log y$) e senza il vincolo di lavorare solo con numeri tra $-1$ e $1$. Da allora le formule di prostaferesi tornarono a essere ciò che sono per noi: identità goniometriche utili a scomporre in fattori una somma di seni o coseni (Dunham).

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Persone: Johann Werner · John Napier (Nepero) · Paul Wittich · Tycho Brahe

Today the sum-to-product formulae look like a minor detail of trigonometry, but between the late sixteenth and early seventeenth centuries they were a genuine computational tool, used by astronomers to sidestep an enormous practical difficulty: multiplying many-digit numbers by hand is slow and error-prone, whereas adding is easy.

The idea is contained in the Werner formula $\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\bigr].$ Suppose we must multiply two numbers $x$ and $y$ lying between $-1$ and $1$. From a table of cosines we look up the angles $\alpha$ and $\beta$ with $\cos\alpha = x$ and $\cos\beta = y$; we compute the two combinations $\alpha-\beta$ and $\alpha+\beta$ (easy operations); we read off $\cos(\alpha-\beta)$ and $\cos(\alpha+\beta)$ from the same table; finally we add them and halve the result. The product $xy$ is thus obtained without ever carrying out a multiplication, using only additions, subtractions and table look-ups.

The method was given the Greek name prosthaphaeresis — from prósthesis (addition) and aphaíresis (subtraction) — precisely because it reduced everything to additions and subtractions. The underlying identities go back to Johann Werner, a mathematician of Nuremberg, at the start of the sixteenth century; their systematic use in astronomical computation, however, is due to Paul Wittich, who around 1580 introduced it at Tycho Brahe’s famous observatory on the island of Hven, where reducing the planetary observations demanded endless multiplications (Boyer; Katz).

Prosthaphaeresis had a short life: in 1614 Napier published logarithms, which turn every product directly into a sum ($\log(xy) = \log x + \log y$) with no restriction to numbers between $-1$ and $1$. From then on the sum-to-product formulae went back to being what they are for us: trigonometric identities useful for factorising a sum of sines or cosines (Dunham).

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