Equazioni goniometriche

Un’equazione goniometrica è un’equazione in cui l’incognita compare come argomento di una o più funzioni trigonometriche ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$). Risolverla significa trovare tutti i valori dell’angolo $x$ che la soddisfano: per la periodicità delle funzioni goniometriche questi valori sono infiniti e si esprimono nella forma $x = x_0 + k\cdot T$, dove $T$ è il periodo e $k\in\mathbb{Z}$.

In questo capitolo distinguiamo quattro grandi famiglie di equazioni goniometriche, ciascuna con il proprio metodo di risoluzione: le equazioni elementari, le equazioni risolubili per sostituzione, le equazioni lineari in $\sin$ e $\cos$ e infine le equazioni omogenee di secondo grado (o ad esse riconducibili).

Sezioni

• Equazioni elementari
• Equazioni risolubili per sostituzione
• Equazioni lineari in seno e coseno
• Equazioni omogenee di secondo grado

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

A trigonometric equation is an equation in which the unknown appears as the argument of one or more trigonometric functions ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$). Solving it means finding all the values of the angle $x$ that satisfy it: because of the periodicity of the trigonometric functions these values are infinitely many and are expressed in the form $x = x_0 + k\cdot T$, where $T$ is the period and $k\in\mathbb{Z}$.

In this chapter we distinguish four large families of trigonometric equations, each with its own solution method: elementary equations, equations solvable by substitution, linear equations in $\sin$ and $\cos$ and finally second-degree homogeneous equations (or ones reducible to them).

Sections

• Elementary equations
• Equations solvable by substitution
• Linear equations in sine and cosine
• Second-degree homogeneous equations

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Se in un’equazione compare solo $\sin x$ (oppure solo $\cos x$, o solo $\tan x$), ma con potenze o in una combinazione non lineare, la strategia è sostituire una variabile al posto della funzione goniometrica, risolvere l’equazione algebrica risultante e poi tornare all’angolo. Quando l’equazione contiene funzioni di angoli diversi (per esempio $\cos(2x)$ e $\cos x$), si usano prima le formule goniometriche — come le formule di duplicazione — per ridurre tutto a una sola funzione.

Esempio

Risolvere $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.

Sostituzione: $t = \sin x$, con $-1\le t\le 1$. L’equazione diventa $2t^2 - 3t + 1 = 0 \iff (2t-1)(t-1) = 0 \iff t = \tfrac{1}{2} \ \vee\ t = 1.$ Entrambe le soluzioni soddisfano $-1\le t\le 1$, quindi sono accettabili.

Ritorno a $x$:

• $\sin x = \tfrac{1}{2}$: $\ x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ oppure $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$;
• $\sin x = 1$: $\ x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$.

Esempio

Risolvere $\cos(2x) + \cos x = 0$.

Applichiamo la formula di duplicazione $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$: $2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0.$ Con $t=\cos x$, $-1\le t\le 1$: $2t^2 + t - 1 = 0 \iff (2t-1)(t+1) = 0 \iff t = \tfrac{1}{2} \ \vee\ t = -1.$

Ritorno a $x$:

• $\cos x = \tfrac{1}{2}$: $\ x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$;
• $\cos x = -1$: $\ x = \pi + 2k\pi$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione goniometrica · Formule di duplicazione · Sostituzione
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Goniometriche equazioni
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

If an equation contains only $\sin x$ (or only $\cos x$, or only $\tan x$), but with powers or in a non-linear combination, the strategy is to substitute a variable for the trigonometric function, solve the resulting algebraic equation and then go back to the angle. When the equation contains functions of different angles (for example $\cos(2x)$ and $\cos x$), one first uses the trigonometric formulae — such as the double-angle formulae — to reduce everything to a single function.

Example

Solve $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.

Substitution: $t = \sin x$, with $-1\le t\le 1$. The equation becomes $2t^2 - 3t + 1 = 0 \iff (2t-1)(t-1) = 0 \iff t = \tfrac{1}{2} \ \vee\ t = 1.$ Both solutions satisfy $-1\le t\le 1$, so they are acceptable.

Back to $x$:

• $\sin x = \tfrac{1}{2}$: $\ x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ or $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$;
• $\sin x = 1$: $\ x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$.

Example

Solve $\cos(2x) + \cos x = 0$.

We apply the double-angle formula $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$: $2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0.$ With $t=\cos x$, $-1\le t\le 1$: $2t^2 + t - 1 = 0 \iff (2t-1)(t+1) = 0 \iff t = \tfrac{1}{2} \ \vee\ t = -1.$

Back to $x$:

• $\cos x = \tfrac{1}{2}$: $\ x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$;
• $\cos x = -1$: $\ x = \pi + 2k\pi$.

Links

Topics: Trigonometric equations
Concepts: Trigonometric equation · Double-angle formulae · Substitution
Functions: Cosine · Sine
Methods: Trigonometric equations
Skills: Solving equations · Using formulae