Due tipi di fasci

Imponendo una sola condizione a una retta si ottiene una famiglia infinita di rette. A seconda della condizione, i fasci si dividono in due tipi: il fascio proprio, formato da tutte le rette che passano per uno stesso punto, e il fascio improprio, formato da tutte le rette parallele a una stessa direzione. Questa sezione definisce entrambi e li mette a confronto.

• Il fascio proprio
• Il fascio improprio
• Fascio proprio e improprio a confronto

Imposing a single condition on a line yields an infinite family of lines. Depending on the condition, pencils fall into two types: the proper pencil, formed by all the lines passing through the same point, and the improper pencil, formed by all the lines parallel to the same direction. This section defines both and compares them.

• The proper pencil
• The improper pencil
• Proper and improper pencils compared

Il primo tipo di fascio nasce quando fissiamo un punto e lasciamo libera l’inclinazione della retta.

Definizione — Fascio proprio

Un fascio proprio di rette è l’insieme di tutte le rette del piano che passano per un punto fissato $P(x_0;y_0)$, detto sostegno del fascio. La sua equazione si ottiene dalla formula della retta per un punto con coefficiente angolare variabile: $y - y_0 = m(x - x_0), \qquad m\in \mathbb{R},$ alla quale va aggiunta, separatamente, la retta verticale $x = x_0$ che non rientra nella formula perché corrisponde al caso $m=\infty$.

Il parametro che percorre il fascio è il coefficiente angolare $m$: al variare di $m$ la retta ruota attorno al sostegno $P$. La retta verticale $x=x_0$ va ricordata a parte, perché nessun valore finito di $m$ la produce.

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Coefficiente angolare · Fascio di rette · Fascio proprio · Retta · Sostegno del fascio
Funzioni: Retta
Metodi: Retta fascio proprio
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

The first type of pencil arises when we fix a point and leave the slope of the line free.

Definition — Proper pencil

A proper pencil of lines is the set of all the lines of the plane that pass through a fixed point $P(x_0;y_0)$, called the support of the pencil. Its equation is obtained from the formula for the line through a point with variable slope: $y - y_0 = m(x - x_0), \qquad m\in \mathbb{R},$ to which one must add, separately, the vertical line $x = x_0$ that is not covered by the formula because it corresponds to the case $m=\infty$.

The parameter that runs through the pencil is the slope $m$: as $m$ varies the line rotates about the support $P$. The vertical line $x=x_0$ must be remembered separately, because no finite value of $m$ produces it.

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Topics: Pencils of lines
Concepts: Slope · Pencil of lines · Proper pencil · Line · Support of the pencil
Functions: Line
Methods: Line of a proper pencil
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Il secondo tipo di fascio nasce quando fissiamo l’inclinazione e lasciamo libera la posizione della retta.

Definizione — Fascio improprio

Un fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette del piano parallele a una direzione fissata (data dal coefficiente angolare $m_0$). La sua equazione è: $y = m_0 x + q, \qquad q\in\mathbb{R},$ dove il parametro $q$ è l’ordinata all’origine. Il fascio improprio non ha un “centro”: tutte le sue rette sono parallele tra loro.

Qui il parametro che percorre il fascio è l’ordinata all’origine $q$: al variare di $q$ la retta trasla mantenendo sempre la stessa pendenza $m_0$.

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Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Coefficiente angolare · Fascio di rette · Fascio improprio · Ordinata all origine · Retta
Funzioni: Retta
Metodi: Retta fascio improprio
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

The second type of pencil arises when we fix the slope and leave the position of the line free.

Definition — Improper pencil

An improper pencil of lines is the set of all the lines of the plane parallel to a fixed direction (given by the slope $m_0$). Its equation is: $y = m_0 x + q, \qquad q\in\mathbb{R},$ where the parameter $q$ is the $y$-intercept. The improper pencil has no “centre”: all its lines are parallel to one another.

Here the parameter that runs through the pencil is the $y$-intercept $q$: as $q$ varies the line translates while always keeping the same slope $m_0$.

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Topics: Pencils of lines
Concepts: Slope · Pencil of lines · Improper pencil · Y-intercept · Line
Functions: Line
Methods: Line of an improper pencil
Skills: Analytic geometry · Using formulae

I due tipi di fascio si distinguono per ciò che le loro rette hanno in comune e per ciò in cui differiscono.

Osservazione

La differenza fondamentale: in un fascio proprio tutte le rette hanno un punto in comune (il sostegno) e differiscono per l’inclinazione; in un fascio improprio tutte le rette hanno la stessa inclinazione e differiscono per la loro posizione.

A sinistra un fascio proprio: tutte le rette ruotano attorno al sostegno $P$. A destra un fascio improprio: tutte le rette sono parallele e traslano mantenendo la stessa pendenza.

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Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Coefficiente angolare · Fascio di rette · Fascio improprio · Fascio proprio · Retta · Sostegno del fascio
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Tracciare grafico

The two types of pencil are distinguished by what their lines have in common and by what they differ in.

Remark

The fundamental difference: in a proper pencil all the lines have a point in common (the support) and differ in their slope; in an improper pencil all the lines have the same slope and differ in their position.

On the left a proper pencil: all the lines rotate about the support $P$. On the right an improper pencil: all the lines are parallel and translate keeping the same slope.

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Topics: Pencils of lines
Concepts: Slope · Pencil of lines · Improper pencil · Proper pencil · Line · Support of the pencil
Functions: Line
Skills: Analytic geometry · Plotting a graph