Equazioni lineari in seno e coseno

Le equazioni lineari in $\sin$ e $\cos$ sono della forma $a\sin x + b\cos x + c = 0$, con $a,b,c\in\mathbb{R}$ e $(a,b)\ne(0,0)$. Esistono due metodi classici, entrambi validi, per risolverle: il metodo delle formule parametriche, che usa la sostituzione $t=\tan(x/2)$, e il metodo dell’angolo aggiunto, che riscrive $a\sin x + b\cos x$ come un’unica funzione seno.

• Metodo delle formule parametriche
• Metodo dell’angolo aggiunto

Linear equations in $\sin$ and $\cos$ take the form $a\sin x + b\cos x + c = 0$, with $a,b,c\in\mathbb{R}$ and $(a,b)\ne(0,0)$. There are two classical methods, both valid, for solving them: the parametric-formulae method, which uses the substitution $t=\tan(x/2)$, and the auxiliary-angle method, which rewrites $a\sin x + b\cos x$ as a single sine function.

• The parametric-formulae method
• The auxiliary-angle method

Il primo metodo per risolvere un’equazione lineare $a\sin x + b\cos x + c = 0$ usa le formule parametriche, che esprimono $\sin x$ e $\cos x$ in funzione di $t = \tan(x/2)$. In questo modo l’equazione diventa razionale in $t$.

In sintesi — Procedimento parametrico

1. Porre $t = \tan(x/2)$.
2. Sostituire $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$ e $\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$.
3. Moltiplicare per $1+t^2$ (sempre positivo) per eliminare il denominatore.
4. Risolvere l’equazione razionale (di solito di secondo grado) in $t$.
5. Per ogni soluzione $t$, trovare $x = 2\arctan t + 2k\pi$.
6. Verificare a parte se $x=\pi$ (cioè $x/2=\pi/2$, dove $\tan$ non esiste) è soluzione dell’equazione originale, sostituendo direttamente.

Esempio

Risolvere $\sqrt{3}\sin x + \cos x + 1 = 0$ con il metodo parametrico.

Sostituzione: $\sqrt{3}\cdot\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1 = 0 \iff \frac{2\sqrt{3}\,t + 1 - t^2 + 1 + t^2}{1+t^2} = 0$ $\iff 2\sqrt{3}\,t + 2 = 0 \iff t = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Ritorno a $x$: $\tan(x/2) = -1/\sqrt{3}$, da cui $x/2 = -\pi/6 + k\pi$, cioè $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Verifica del caso $x=\pi$: $\sqrt{3}\sin\pi + \cos\pi + 1 = 0 + (-1) + 1 = 0$. ✓ È anch’essa soluzione.

Soluzione finale: $\ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \ \vee\ x = \pi + 2k\pi$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione lineare goniometrica · Formule parametriche · Sostituzione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Goniometriche equazioni
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

The first method for solving a linear equation $a\sin x + b\cos x + c = 0$ uses the parametric formulae, which express $\sin x$ and $\cos x$ in terms of $t = \tan(x/2)$. In this way the equation becomes rational in $t$.

In summary — Parametric procedure

1. Set $t = \tan(x/2)$.
2. Substitute $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$ and $\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$.
3. Multiply by $1+t^2$ (always positive) to clear the denominator.
4. Solve the rational equation (usually of second degree) in $t$.
5. For each solution $t$, find $x = 2\arctan t + 2k\pi$.
6. Check separately whether $x=\pi$ (that is, $x/2=\pi/2$, where $\tan$ does not exist) is a solution of the original equation, by substituting directly.

Example

Solve $\sqrt{3}\sin x + \cos x + 1 = 0$ with the parametric method.

Substitution: $\sqrt{3}\cdot\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1 = 0 \iff \frac{2\sqrt{3}\,t + 1 - t^2 + 1 + t^2}{1+t^2} = 0$ $\iff 2\sqrt{3}\,t + 2 = 0 \iff t = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Back to $x$: $\tan(x/2) = -1/\sqrt{3}$, whence $x/2 = -\pi/6 + k\pi$, that is $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Checking the case $x=\pi$: $\sqrt{3}\sin\pi + \cos\pi + 1 = 0 + (-1) + 1 = 0$. ✓ It too is a solution.

Final solution: $\ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \ \vee\ x = \pi + 2k\pi$.

Links

Topics: Trigonometric equations
Concepts: Linear trigonometric equation · Parametric formulae · Substitution
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Methods: Trigonometric equations
Skills: Solving equations · Using formulae

Il secondo metodo per le equazioni lineari somma $a\sin x + b\cos x$ in un’unica funzione seno, con ampiezza e fase opportune, riducendo l’equazione a una elementare. È spesso preferibile al metodo parametrico perché non richiede di verificare separatamente il caso $x=\pi$.

In sintesi — Procedimento angolo aggiunto

1. Scrivere $a\sin x + b\cos x = -c$.
2. Dividere entrambi i membri per $\sqrt{a^2+b^2}$: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x = -\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$
3. Trovare un angolo $\varphi$ tale che $\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ e $\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Tale $\varphi$ esiste sempre, perché i due valori sono coseno e seno di uno stesso angolo (la somma dei loro quadrati vale $1$).
4. L’equazione diventa $\cos\varphi\sin x + \sin\varphi\cos x = -\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, cioè $\sin(x+\varphi) = -\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$: un’equazione elementare.

Esempio — Lo stesso esempio di prima, con l'angolo aggiunto

$\sqrt{3}\sin x + \cos x + 1 = 0$.

Qui $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3+1} = 2$. Dividendo: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}.$ Cerchiamo $\varphi$ con $\cos\varphi = \sqrt{3}/2$ e $\sin\varphi = 1/2$: è $\varphi = \pi/6$ (primo quadrante, coseno e seno positivi). Quindi: $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}.$ Le soluzioni: $x+\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ oppure $x+\dfrac{\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$. Ovvero: $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \ \vee\ x = \pi + 2k\pi.$ Stesso risultato del metodo parametrico, ma senza dover verificare separatamente il caso “perduto” $x=\pi$, che qui compare naturalmente. Proprio per questo il metodo dell’angolo aggiunto è spesso preferibile.

Interpretazione vettoriale: dividere per $\sqrt{a^2+b^2}$ porta il vettore $(a,b)$ sul cerchio unitario, ottenendo il coseno e il seno dell’angolo aggiunto $\varphi$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Angolo aggiunto · Equazione elementare · Equazione lineare goniometrica
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Goniometriche equazioni
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

The second method for linear equations sums $a\sin x + b\cos x$ into a single sine function, with suitable amplitude and phase, reducing the equation to an elementary one. It is often preferable to the parametric method because it does not require checking the case $x=\pi$ separately.

In summary — Auxiliary-angle procedure

1. Write $a\sin x + b\cos x = -c$.
2. Divide both sides by $\sqrt{a^2+b^2}$: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x = -\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$
3. Find an angle $\varphi$ such that $\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ and $\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Such a $\varphi$ always exists, because the two values are the cosine and sine of one and the same angle (the sum of their squares equals $1$).
4. The equation becomes $\cos\varphi\sin x + \sin\varphi\cos x = -\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, that is $\sin(x+\varphi) = -\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$: an elementary equation.

Example — The same example as before, with the auxiliary angle

$\sqrt{3}\sin x + \cos x + 1 = 0$.

Here $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3+1} = 2$. Dividing: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}.$ We look for $\varphi$ with $\cos\varphi = \sqrt{3}/2$ and $\sin\varphi = 1/2$: it is $\varphi = \pi/6$ (first quadrant, cosine and sine positive). Hence: $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}.$ The solutions: $x+\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ or $x+\dfrac{\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$. That is: $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \ \vee\ x = \pi + 2k\pi.$ The same result as the parametric method, but without having to check separately the “lost” case $x=\pi$, which here appears naturally. Precisely for this reason the auxiliary-angle method is often preferable.

Vector interpretation: dividing by $\sqrt{a^2+b^2}$ brings the vector $(a,b)$ onto the unit circle, giving the cosine and sine of the auxiliary angle $\varphi$.

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Topics: Trigonometric equations
Concepts: Auxiliary angle · Elementary equation · Linear trigonometric equation
Functions: Cosine · Sine
Methods: Trigonometric equations
Skills: Solving equations · Using formulae