Ellissi traslate e riconoscimento

Un’ellisse con assi paralleli agli assi cartesiani ma centro spostato in $O'(x_0;y_0)$ ha equazione canonica traslata. Data un’equazione in forma sviluppata, la si riconosce e la si riporta in forma canonica con il completamento del quadrato, esattamente come per la parabola.

• Ellissi traslate
• Riconoscimento di un’ellisse

An ellipse with axes parallel to the Cartesian axes but centre shifted to $O'(x_0;y_0)$ has a translated canonical equation. Given an equation in expanded form, one recognises it and brings it back into canonical form by completing the square, exactly as for the parabola.

• Translated ellipses
• Recognising an ellipse

Non tutte le ellissi hanno il centro nell’origine. Se il centro si sposta ma gli assi restano paralleli agli assi cartesiani, la forma dell’equazione cambia in modo prevedibile.

Se l’ellisse ha centro $O'(x_0;y_0)$ ma assi paralleli agli assi cartesiani, la forma canonica si trasforma in $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.$

A partire da un’equazione in forma sviluppata del tipo $A x^2 + B y^2 + Cx + Dy + E = 0$ (con $A, B$ positivi e dello stesso segno, ma $A \ne B$), si riconosce e si porta in forma canonica traslata col completamento del quadrato, esattamente come si fa per riconoscere una parabola dalla sua forma sviluppata.

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Completamento del quadrato · Ellisse · Ellisse traslata · Equazione canonica
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

Not all ellipses have their centre at the origin. If the centre shifts but the axes stay parallel to the Cartesian axes, the form of the equation changes in a predictable way.

If the ellipse has centre $O'(x_0;y_0)$ but axes parallel to the Cartesian axes, the canonical form becomes $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.$

Starting from an equation in expanded form of the type $A x^2 + B y^2 + Cx + Dy + E = 0$ (with $A, B$ positive and of the same sign, but $A \ne B$), one recognises it and brings it into translated canonical form by completing the square, exactly as is done to recognise a parabola from its expanded form.

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Topics: Ellipse
Concepts: Completing the square · Ellipse · Translated ellipse · Canonical equation
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Vediamo come, partendo da un’equazione sviluppata, il completamento del quadrato riveli l’ellisse nascosta, con il suo centro e i suoi semiassi.

Esempio — Riconoscimento di un'ellisse

$4x^2 + 9y^2 - 16x - 18y - 11 = 0$.

Raccolgo $4$ davanti a $x^2, x$ e $9$ davanti a $y^2, y$: $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 - 2y) - 11 = 0.$

Completo i quadrati: $4\bigl[(x-2)^2 - 4\bigr] + 9\bigl[(y-1)^2 - 1\bigr] - 11 = 0$ $4(x-2)^2 + 9(y-1)^2 - 16 - 9 - 11 = 0$ $4(x-2)^2 + 9(y-1)^2 = 36.$

Divido per $36$: $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1.$

È un’ellisse di centro $O'(2;1)$, semiassi $a = 3$ (orizzontale), $b = 2$ (verticale), $c = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}$. Fuochi $(2\pm\sqrt{5};\ 1)$.

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Concetti: Completamento del quadrato · Ellisse · Ellisse traslata · Equazione canonica
Competenze: Geometria analitica · Semplificare

Let us see how, starting from an expanded equation, completing the square reveals the hidden ellipse, with its centre and its semi-axes.

Example — Recognising an ellipse

$4x^2 + 9y^2 - 16x - 18y - 11 = 0$.

I factor out $4$ in front of $x^2, x$ and $9$ in front of $y^2, y$: $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 - 2y) - 11 = 0.$

I complete the squares: $4\bigl[(x-2)^2 - 4\bigr] + 9\bigl[(y-1)^2 - 1\bigr] - 11 = 0$ $4(x-2)^2 + 9(y-1)^2 - 16 - 9 - 11 = 0$ $4(x-2)^2 + 9(y-1)^2 = 36.$

I divide by $36$: $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1.$

It is an ellipse with centre $O'(2;1)$, semi-axes $a = 3$ (horizontal), $b = 2$ (vertical), $c = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}$. Foci $(2\pm\sqrt{5};\ 1)$.

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