Quadrilateri

Passiamo dai triangoli ai quadrilateri. L’idea guida è semplice: un parallelogramma si può vedere come “due triangoli congruenti incollati” lungo una diagonale, e da questa idea discendono tutte le sue proprietà. La sezione presenta la definizione di quadrilatero (convesso e non), il trapezio con la sua area, la gerarchia che classifica tutti i quadrilateri, e infine parallelogramma, rombo e rettangolo con le rispettive condizioni caratteristiche e alcune dimostrazioni classiche.

• Che cos’è un quadrilatero
• Il trapezio
• Classificazione dei quadrilateri
• Il parallelogramma
• Il rombo e le diagonali perpendicolari
• Il rombo e la diagonale bisettrice
• Il rettangolo
• Angoli opposti congruenti e parallelogramma
• Diagonali che si bisecano e parallelogramma

We move on from triangles to quadrilaterals. The guiding idea is simple: a parallelogram can be seen as “two congruent triangles glued together” along a diagonal, and from this idea all its properties follow. The section presents the definition of a quadrilateral (convex and non-convex), the trapezium with its area, the hierarchy that classifies all quadrilaterals, and finally the parallelogram, the rhombus and the rectangle with their respective characteristic conditions and some classic proofs.

• What is a quadrilateral
• The trapezium
• Classification of quadrilaterals
• The parallelogram
• The rhombus and perpendicular diagonals
• The rhombus and the bisecting diagonal
• The rectangle
• Congruent opposite angles and the parallelogram
• Diagonals that bisect each other and the parallelogram

Il quadrilatero è il poligono con quattro lati. A differenza del triangolo, che è sempre convesso, un quadrilatero può anche “rientrare” su se stesso.

Definizione — Quadrilatero

Un quadrilatero è un poligono di 4 lati e 4 angoli interni.

A differenza dei triangoli (che sono sempre figure convesse), i quadrilateri possono essere anche non convessi: esistono due punti interni alla figura tali che il segmento che li congiunge non è del tutto interno alla figura.

Un quadrilatero convesso e uno non convesso (concavo): in quest’ultimo un vertice “rientra” verso l’interno.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Poligono · Quadrilatero

A quadrilateral is the polygon with four sides. Unlike the triangle, which is always convex, a quadrilateral can also “cave in” on itself.

Definition — Quadrilateral

A quadrilateral is a polygon with 4 sides and 4 interior angles.

Unlike triangles (which are always convex figures), quadrilaterals can also be non-convex: there exist two points inside the figure such that the segment joining them is not entirely inside the figure.

A convex quadrilateral and a non-convex one (concave): in the latter a vertex “caves in” towards the interior.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Polygon · Quadrilateral

Il trapezio è il quadrilatero definito da una sola condizione di parallelismo: una coppia di lati opposti paralleli.

Definizione — Trapezio

Un trapezio è un quadrilatero con una coppia di lati opposti paralleli (detti basi).

• Trapezio isoscele: i lati obliqui sono congruenti.
• Trapezio rettangolo: ha un angolo retto (e dunque anche un secondo angolo retto).

Ogni parallelogramma è un trapezio (con due coppie di lati paralleli).

Proprietà — Area del trapezio

$\text{Area} = \frac{(\text{Base maggiore}+\text{Base minore})\cdot h}{2}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Area · Quadrilatero · Trapezio
Competenze: Usare formule

The trapezium is the quadrilateral defined by a single parallelism condition: one pair of opposite sides parallel.

Definition — Trapezium

A trapezium is a quadrilateral with one pair of opposite sides parallel (called the bases).

• Isosceles trapezium: the oblique sides are congruent.
• Right trapezium: it has a right angle (and therefore a second right angle too).

Every parallelogram is a trapezium (with two pairs of parallel sides).

Property — Area of the trapezium

$\text{Area} = \frac{(\text{Base maggiore}+\text{Base minore})\cdot h}{2}$

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Area · Quadrilateral · Trapezium
Skills: Using formulas

I quadrilateri convessi si organizzano in una gerarchia di inclusioni: ogni categoria è un caso particolare di quella che la contiene. Il quadrato, in cima, è al tempo stesso rombo e rettangolo.

In sintesi — Gerarchia dei quadrilateri convessi

Ogni livello è un caso particolare del precedente: il quadrato è sia un rombo sia un rettangolo.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Parallelogramma · Quadrato · Quadrilatero · Rettangolo · Rombo · Trapezio

Convex quadrilaterals are organised into a hierarchy of inclusions: each category is a particular case of the one containing it. The square, at the top, is at the same time a rhombus and a rectangle.

In summary — Hierarchy of convex quadrilaterals

Each level is a particular case of the previous one: the square is both a rhombus and a rectangle.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Parallelogram · Square · Quadrilateral · Rectangle · Rhombus · Trapezium

Il parallelogramma è il quadrilatero con entrambe le coppie di lati opposti parallele. La sua ricchezza sta nel fatto che questa singola definizione si può sostituire con molte condizioni equivalenti.

Definizione — Parallelogramma

Un parallelogramma è un quadrilatero con entrambe le coppie di lati opposti paralleli.

Proprietà — Condizioni necessarie e sufficienti

Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se vale una delle seguenti:

1. I lati opposti sono a due a due congruenti.
2. Una coppia di lati opposti è parallela e congruente.
3. Le diagonali si bisecano (il punto medio è comune).
4. Gli angoli opposti sono congruenti.
5. Gli angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.
6. Ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti.

Ognuna di queste condizioni, presa da sola, basta a garantire che il quadrilatero sia un parallelogramma: sono tutte equivalenti alla definizione.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Parallelogramma · Quadrilatero · Retta · Rette parallele
Competenze: Geometria sintetica

The parallelogram is the quadrilateral with both pairs of opposite sides parallel. Its richness lies in the fact that this single definition can be replaced by many equivalent conditions.

Definition — Parallelogram

A parallelogram is a quadrilateral with both pairs of opposite sides parallel.

Property — Necessary and sufficient conditions

A quadrilateral is a parallelogram if and only if one of the following holds:

1. The opposite sides are congruent in pairs.
2. One pair of opposite sides is parallel and congruent.
3. The diagonals bisect each other (the midpoint is common).
4. The opposite angles are congruent.
5. The angles adjacent to the same side are supplementary.
6. Each diagonal divides the parallelogram into two congruent triangles.

Each of these conditions, taken on its own, is enough to guarantee that the quadrilateral is a parallelogram: they are all equivalent to the definition.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Parallelogram · Quadrilateral · Line · Parallel lines
Skills: Synthetic geometry

Un parallelogramma diventa rombo (tutti i lati congruenti) non appena le sue diagonali sono perpendicolari. Lo si dimostra con il teorema di Pitagora applicato ai quattro triangoli rettangoli in cui le diagonali dividono la figura.

Teorema — Rombo (diagonali perpendicolari)

Se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari, allora è un rombo (tutti i lati congruenti).

Dimostrazione

Sfruttiamo il fatto che in un parallelogramma le diagonali si bisecano, e che la perpendicolarità rende i semi-lati uguali.

1. Ipotesi. $ABCD$ parallelogramma con $AC\perp BD$. Sia $O$ il punto di intersezione delle diagonali.
2. Osservo. Le diagonali di un parallelogramma si bisecano: $AO\cong OC$ e $BO\cong OD$.
3. Considero. Nel triangolo rettangolo $AOB$: $AB^2 = AO^2+OB^2$.
4. Analogamente. $BC^2 = OB^2+OC^2 = OB^2+AO^2 = AB^2$.
5. Deduco. Dunque $AB\cong BC$. Per la proprietà del parallelogramma ($AB\cong CD$, $BC\cong AD$), tutti e quattro i lati sono congruenti: $ABCD$ è un rombo.

$\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Dimostrazione · Parallelogramma · Rombo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Pitagora

A parallelogram becomes a rhombus (all sides congruent) as soon as its diagonals are perpendicular. This is proved with Pythagoras’ theorem applied to the four right triangles into which the diagonals divide the figure.

Theorem — Rhombus (perpendicular diagonals)

If a parallelogram has perpendicular diagonals, then it is a rhombus (all sides congruent).

Proof

We use the fact that in a parallelogram the diagonals bisect each other, and that perpendicularity makes the half-sides equal.

1. Hypothesis. $ABCD$ a parallelogram with $AC\perp BD$. Let $O$ be the point of intersection of the diagonals.
2. Observe. The diagonals of a parallelogram bisect each other: $AO\cong OC$ and $BO\cong OD$.
3. Consider. In the right triangle $AOB$: $AB^2 = AO^2+OB^2$.
4. Similarly. $BC^2 = OB^2+OC^2 = OB^2+AO^2 = AB^2$.
5. Deduce. Hence $AB\cong BC$. By the parallelogram property ($AB\cong CD$, $BC\cong AD$), all four sides are congruent: $ABCD$ is a rhombus.

$\blacksquare$

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Proof · Parallelogram · Rhombus
Skills: Proving · Synthetic geometry
People: Pythagoras

C’è una seconda condizione che trasforma un parallelogramma in rombo: basta che una diagonale sia bisettrice di un angolo. L’idea è usare il parallelismo per far comparire un triangolo isoscele.

Teorema — Rombo (diagonale bisettrice)

Se in un parallelogramma una diagonale è bisettrice di un angolo, allora il parallelogramma è un rombo.

Dimostrazione

L’idea è sfruttare il parallelismo dei lati per trasformare l’ipotesi di bisettrice in una proprietà di isoscelismo.

1. Ipotesi. $ABCD$ parallelogramma. La diagonale $AC$ è bisettrice di $\widehat{A}$: $\widehat{DAC}\cong\widehat{BAC}$.
2. Osservo. Poiché $BC\parallel DA$ e $AC$ è trasversale, gli angoli alterni interni dànno $\widehat{BCA}\cong\widehat{DAC}$.
3. Deduco. Combinando: $\widehat{DCA}\cong\widehat{DAC}$, il che rende il triangolo $DAC$ isoscele e dunque $DC\cong DA$.
4. Verificato. Poiché in un parallelogramma i lati opposti sono congruenti ($DC\cong AB$, $DA\cong BC$), segue $DA\cong DC\cong AB\cong BC$: $ABCD$ è un rombo.

$\blacksquare$

Proprietà — Condizioni per il rombo

Un parallelogramma è un rombo se e solo se:

1. le diagonali sono perpendicolari,   oppure
2. una diagonale è bisettrice di un angolo.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Bisettrice · Dimostrazione · Parallelogramma · Retta · Rombo · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

There is a second condition that turns a parallelogram into a rhombus: it is enough for one diagonal to be the bisector of an angle. The idea is to use parallelism to make an isosceles triangle appear.

Theorem — Rhombus (bisecting diagonal)

If in a parallelogram one diagonal is the bisector of an angle, then the parallelogram is a rhombus.

Proof

The idea is to exploit the parallelism of the sides to turn the bisector hypothesis into an isosceles property.

1. Hypothesis. $ABCD$ a parallelogram. The diagonal $AC$ is the bisector of $\widehat{A}$: $\widehat{DAC}\cong\widehat{BAC}$.
2. Observe. Since $BC\parallel DA$ and $AC$ is a transversal, the alternate interior angles give $\widehat{BCA}\cong\widehat{DAC}$.
3. Deduce. Combining: $\widehat{DCA}\cong\widehat{DAC}$, which makes the triangle $DAC$ isosceles and hence $DC\cong DA$.
4. Verified. Since in a parallelogram the opposite sides are congruent ($DC\cong AB$, $DA\cong BC$), it follows that $DA\cong DC\cong AB\cong BC$: $ABCD$ is a rhombus.

$\blacksquare$

Property — Conditions for the rhombus

A parallelogram is a rhombus if and only if:

1. the diagonals are perpendicular,   or
2. one diagonal is the bisector of an angle.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Bisector · Proof · Parallelogram · Line · Rhombus · Isosceles triangle
Skills: Proving · Synthetic geometry

Se per il rombo la condizione caratteristica riguarda la perpendicolarità delle diagonali, per il rettangolo riguarda la loro lunghezza.

Proprietà — Condizione per il rettangolo

Un parallelogramma è un rettangolo se e solo se le diagonali sono congruenti.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Parallelogramma · Rettangolo
Competenze: Geometria sintetica

If for the rhombus the characteristic condition concerns the perpendicularity of the diagonals, for the rectangle it concerns their length.

Property — Condition for the rectangle

A parallelogram is a rectangle if and only if the diagonals are congruent.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Parallelogram · Rectangle
Skills: Synthetic geometry

Dimostriamo una delle condizioni sufficienti per il parallelogramma: se gli angoli opposti sono congruenti, il quadrilatero è un parallelogramma. La dimostrazione lavora sulla somma degli angoli interni scomposti lungo una diagonale.

Teorema — Angoli opposti congruenti

Se un quadrilatero ha gli angoli opposti congruenti, allora è un parallelogramma.

Dimostrazione

La dimostrazione procede scomponendo gli angoli lungo la diagonale e sfruttando le relazioni tra le somme.

1. Ipotesi. $\widehat{A}\cong\widehat{C}$ e $\widehat{B}\cong\widehat{D}$.
2. Costruzione. Tracciamo la diagonale $AC$, che divide $\widehat{A}$ in $\alpha,\gamma$ e $\widehat{C}$ in $\beta,\delta$.
3. Considero. Dalla somma degli angoli interni: $(\alpha+\gamma)+\widehat{B}+(\beta+\delta)+\widehat{D}=2\pi$. Poiché $\widehat{B}\cong\widehat{D}$: $\alpha+\gamma+\beta+\delta+2\widehat{B}=2\pi$. Nel triangolo $ABC$: $\alpha+\widehat{B}+\beta=\pi$, dunque $\gamma+\delta+\widehat{B}=\pi$. Nel triangolo $ACD$: $\gamma+\widehat{D}+\delta=\pi$, confermato.
4. Idea chiave. Da $\widehat{A}\cong\widehat{C}$: $\alpha+\gamma=\beta+\delta$. Confrontando con $\alpha+\beta=\gamma+\delta$ (differenza delle equazioni dei triangoli): si ottiene $\alpha=\delta$ e $\beta=\gamma$.
5. Deduco. $\beta\cong\gamma \implies AB\parallel CD$ (alterni interni con trasversale $AC$). $\alpha\cong\delta \implies BC\parallel AD$.
6. Verificato. Dunque $ABCD$ è un parallelogramma.

$\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Dimostrazione · Parallelogramma · Somma angoli poligono
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

We prove one of the sufficient conditions for the parallelogram: if the opposite angles are congruent, the quadrilateral is a parallelogram. The proof works on the sum of the interior angles split along a diagonal.

Theorem — Congruent opposite angles

If a quadrilateral has congruent opposite angles, then it is a parallelogram.

Proof

The proof proceeds by splitting the angles along the diagonal and exploiting the relations between the sums.

1. Hypothesis. $\widehat{A}\cong\widehat{C}$ and $\widehat{B}\cong\widehat{D}$.
2. Construction. We draw the diagonal $AC$, which divides $\widehat{A}$ into $\alpha,\gamma$ and $\widehat{C}$ into $\beta,\delta$.
3. Consider. From the sum of the interior angles: $(\alpha+\gamma)+\widehat{B}+(\beta+\delta)+\widehat{D}=2\pi$. Since $\widehat{B}\cong\widehat{D}$: $\alpha+\gamma+\beta+\delta+2\widehat{B}=2\pi$. In the triangle $ABC$: $\alpha+\widehat{B}+\beta=\pi$, hence $\gamma+\delta+\widehat{B}=\pi$. In the triangle $ACD$: $\gamma+\widehat{D}+\delta=\pi$, confirmed.
4. Key idea. From $\widehat{A}\cong\widehat{C}$: $\alpha+\gamma=\beta+\delta$. Comparing with $\alpha+\beta=\gamma+\delta$ (the difference of the triangle equations): we obtain $\alpha=\delta$ and $\beta=\gamma$.
5. Deduce. $\beta\cong\gamma \implies AB\parallel CD$ (alternate interior angles with transversal $AC$). $\alpha\cong\delta \implies BC\parallel AD$.
6. Verified. Hence $ABCD$ is a parallelogram.

$\blacksquare$

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Alternate interior angles · Proof · Parallelogram · Sum of polygon angles
Skills: Proving · Synthetic geometry

Un’altra condizione sufficiente per il parallelogramma riguarda le diagonali: se si tagliano scambievolmente a metà, il quadrilatero è un parallelogramma. La dimostrazione usa gli angoli opposti al vertice e il I criterio.

Teorema — Diagonali che si bisecano

Se un quadrilatero ha le diagonali che si bisecano, allora è un parallelogramma.

Dimostrazione

Mostriamo che le coppie di triangoli formati dalle diagonali sono congruenti, e da ciò ricaviamo il parallelismo.

1. Ipotesi. Le diagonali $AC$ e $BD$ si intersecano in $M$ con $AM\cong MC$ e $BM\cong MD$.
2. Osservo. $\widehat{AMB}\cong\widehat{CMD}$ (angoli opposti al vertice).
3. Deduco. Per il I criterio: $\triangle AMB\cong\triangle CMD$, dunque $AB\cong CD$ e $\widehat{ABM}\cong\widehat{CDM}$ (alterni interni) $\implies AB\parallel CD$.
4. Analogamente. $\widehat{AMD}\cong\widehat{CMB}$ e $\triangle AMD\cong\triangle CMB \implies AD\parallel BC$.
5. Verificato. Dunque $ABCD$ è un parallelogramma.

$\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Angoli opposti al vertice · Criteri congruenza · Dimostrazione · Parallelogramma
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

Another sufficient condition for the parallelogram concerns the diagonals: if they cut each other in half, the quadrilateral is a parallelogram. The proof uses vertically opposite angles and the first criterion.

Theorem — Diagonals that bisect each other

If a quadrilateral has diagonals that bisect each other, then it is a parallelogram.

Proof

We show that the pairs of triangles formed by the diagonals are congruent, and from this we derive the parallelism.

1. Hypothesis. The diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $M$ with $AM\cong MC$ and $BM\cong MD$.
2. Observe. $\widehat{AMB}\cong\widehat{CMD}$ (vertically opposite angles).
3. Deduce. By the first criterion: $\triangle AMB\cong\triangle CMD$, hence $AB\cong CD$ and $\widehat{ABM}\cong\widehat{CDM}$ (alternate interior) $\implies AB\parallel CD$.
4. Similarly. $\widehat{AMD}\cong\widehat{CMB}$ and $\triangle AMD\cong\triangle CMB \implies AD\parallel BC$.
5. Verified. Hence $ABCD$ is a parallelogram.

$\blacksquare$

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Alternate interior angles · Vertically opposite angles · Congruence criteria · Proof · Parallelogram
Skills: Proving · Synthetic geometry