Percentuale come variazione: errore relativo

C’è un terzo uso della percentuale, distinto dallo sconto e dall’interesse, che useremo continuamente in fisica e in statistica: la percentuale come misura di variazione rispetto a un riferimento. In questa sezione definiamo errore assoluto, errore relativo ed errore percentuale, mostriamo perché lo stesso errore assoluto può essere trascurabile o catastrofico a seconda del riferimento, e osserviamo che percentuali e probabilità sono in fondo lo stesso oggetto matematico.

• Errore assoluto ed errore relativo
• Lo stesso errore conta diversamente
• Percentuali e probabilità

There is a third use of the percentage, distinct from discount and interest, that we shall use continually in physics and statistics: the percentage as a measure of variation with respect to a reference. In this section we define absolute error, relative error and percentage error, show why the same absolute error may be negligible or catastrophic depending on the reference, and observe that percentages and probability are, at bottom, the same mathematical object.

• Absolute error and relative error
• The same error counts differently
• Percentages and probability

Oltre allo sconto e all’interesse, c’è un terzo uso della percentuale che useremo continuamente in fisica e in statistica: la percentuale come misura di variazione rispetto a un riferimento. È il modo con cui giudichiamo la qualità di una misura.

Definizione — Errore assoluto, relativo e percentuale

Data una grandezza misurata $x_{\text{mis}}$ e un valore di riferimento $x_{\text{rif}}$ (esatto, atteso, vero): $\text{errore assoluto} = |x_{\text{mis}}-x_{\text{rif}}|, \quad \text{errore relativo} = \frac{|x_{\text{mis}}-x_{\text{rif}}|}{|x_{\text{rif}}|},$ ed espresso in percentuale è l’errore percentuale $= \text{err. rel.}\cdot 100\%$.

L’errore assoluto ha le stesse unità della grandezza; l’errore relativo è un numero puro, e moltiplicato per $100$ diventa l’errore percentuale. È quest’ultimo a dirci se una misura è “buona”, perché rapporta l’errore alla scala del fenomeno.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Errore assoluto · Errore percentuale · Errore relativo
Metodi: Errore relativo percentuale
Competenze: Usare formule

Besides discount and interest, there is a third use of the percentage that we shall use continually in physics and statistics: the percentage as a measure of variation with respect to a reference. It is the way we judge the quality of a measurement.

Definition — Absolute, relative and percentage error

Given a measured quantity $x_{\text{mis}}$ and a reference value $x_{\text{rif}}$ (exact, expected, true): $\text{absolute error} = |x_{\text{mis}}-x_{\text{rif}}|, \quad \text{relative error} = \frac{|x_{\text{mis}}-x_{\text{rif}}|}{|x_{\text{rif}}|},$ and expressed as a percentage it is the percentage error $= \text{rel. err.}\cdot 100\%$.

The absolute error has the same units as the quantity; the relative error is a pure number, and multiplied by $100$ it becomes the percentage error. It is the latter that tells us whether a measurement is “good”, because it relates the error to the scale of the phenomenon.

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Topics: Percentages
Concepts: Absolute error · Percentage error · Relative error
Methods: Relative percentage error
Skills: Using formulae

Perché l’errore relativo, e non quello assoluto, è la grandezza significativa? Perché lo stesso scarto in valore assoluto può essere trascurabile o disastroso a seconda di quanto si sta misurando.

Esempio — Lo stesso errore conta diversamente

Due bilance commettono entrambe un errore di $1$ g.

• Pesando $1$ kg di farina: errore relativo $1/1000 = 0{,}1\%$ (irrilevante).
• Pesando $5$ g di zafferano: errore relativo $1/5 = 20\%$ (catastrofico).

Lo stesso errore assoluto può essere accettabile o disastroso a seconda del riferimento: per questo l’errore relativo è la grandezza significativa per giudicare la qualità di una misura. Lo riprenderemo trattando le cifre significative e la propagazione degli errori in fisica.

Un errore di $1$ g è insignificante su un chilo di farina ma enorme su cinque grammi di zafferano. È il rapporto con il riferimento, cioè l’errore relativo, a stabilire se una misura è affidabile.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Errore assoluto · Errore relativo
Metodi: Errore relativo percentuale
Competenze: Calcolare · Ragionare per casi

Why is the relative error, and not the absolute one, the meaningful quantity? Because the same discrepancy in absolute value may be negligible or disastrous depending on how much is being measured.

Example — The same error counts differently

Two scales both make an error of $1$ g.

• Weighing $1$ kg of flour: relative error $1/1000 = 0{,}1\%$ (irrelevant).
• Weighing $5$ g of saffron: relative error $1/5 = 20\%$ (catastrophic).

The same absolute error may be acceptable or disastrous depending on the reference: this is why the relative error is the meaningful quantity for judging the quality of a measurement. We shall return to it when dealing with significant figures and error propagation in physics.

An error of $1$ g is insignificant on a kilo of flour but enormous on five grams of saffron. It is the ratio to the reference, that is, the relative error, that establishes whether a measurement is reliable.

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Topics: Percentages
Concepts: Absolute error · Relative error
Methods: Relative percentage error
Skills: Calculating · Reasoning by cases

Chiudiamo il capitolo osservando che le percentuali che abbiamo maneggiato sono lo stesso oggetto matematico che incontreremo studiando la probabilità: un numero compreso tra $0$ e $1$, letto in centesimi.

Osservazione — Percentuali come probabilità

Le percentuali sono lo stesso oggetto matematico delle probabilità (numeri in $[0,1]$ moltiplicati per $100$): se in un’urna ci sono $30$ palline rosse su $200$ totali, la frequenza relativa è $30/200 = 0{,}15 = 15\%$. Quando in Terza affronteremo la probabilità, le “proporzioni” della statistica e le “percentuali” di tutti i giorni si rivelano lo stesso strumento — conviene quindi maneggiarle con sicurezza fin da ora.

La frequenza relativa $30/200 = 0{,}15$ è tanto una proporzione statistica quanto una percentuale ($15\%$) quanto una probabilità. Padroneggiare le percentuali oggi significa avere già in mano lo strumento base della probabilità.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Frequenza relativa · Percentuale · Probabilita
Competenze: Calcolare

We close the chapter by observing that the percentages we have handled are the same mathematical object we shall meet when studying probability: a number between $0$ and $1$, read in hundredths.

Observation — Percentages as probability

Percentages are the same mathematical object as probabilities (numbers in $[0,1]$ multiplied by $100$): if an urn contains $30$ red balls out of $200$ in total, the relative frequency is $30/200 = 0{,}15 = 15\%$. When we tackle probability in Year Three, the “proportions” of statistics and the “percentages” of everyday life turn out to be the same tool — so it is worth handling them confidently right from now.

The relative frequency $30/200 = 0{,}15$ is as much a statistical proportion as a percentage ($15\%$) as a probability. Mastering percentages today means already having in hand the basic tool of probability.

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Topics: Percentages
Concepts: Relative frequency · Percentage · Probability
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