Equivalenza e teorema di Pitagora

Due figure si dicono equivalenti quando hanno la stessa area. Il modo più elegante per dimostrare l’equivalenza è l’equiscomponibilità: tagliare una figura in pezzi e ricomporli per ottenere l’altra. Con questa idea, semplice ma potentissima, dimostreremo il più celebre teorema della geometria elementare: il teorema di Pitagora, secondo cui il quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Il capitolo si chiude con lo sguardo storico sulla scuola pitagorica e sulla scoperta degli irrazionali, uno dei momenti decisivi del pensiero matematico.

Sezioni

• Equivalenza ed equiscomponibilità
• Equiscomponibilità di triangolo e parallelogramma
• Teorema di Pitagora

Approfondimenti

• Pitagora e la scoperta degli irrazionali

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Two figures are said to be equivalent when they have the same area. The most elegant way to prove equivalence is equidecomposability: cutting a figure into pieces and reassembling them to obtain the other. With this simple yet extremely powerful idea, we shall prove the most famous theorem in elementary geometry: Pythagoras’ theorem, according to which the square built on the hypotenuse of a right-angled triangle is equivalent to the sum of the squares built on the legs. The chapter closes with a historical look at the Pythagorean school and at the discovery of the irrationals, one of the decisive moments of mathematical thought.

Sections

• Equivalence and equidecomposability
• Equidecomposability of a triangle and a parallelogram
• Pythagoras’ theorem

Further study

• Pythagoras and the discovery of the irrationals

Exercises

• All the chapter’s worked exercises

Quando confrontiamo due figure piane, non ci interessa soltanto se sono uguali “sovrapponibili” (cioè congruenti): spesso vogliamo sapere se occupano la stessa superficie.

Definizione — Figure equivalenti

Due figure si dicono equivalenti quando hanno la stessa area.

Due figure congruenti sono sempre equivalenti, ma non vale il contrario: un rettangolo e un triangolo possono avere la stessa area pur avendo forme completamente diverse.

Il modo più elegante per dimostrare che due figure sono equivalenti è l’equiscomponibilità: si taglia una figura in un numero finito di pezzi e li si ricompone, senza sovrapposizioni né buchi, fino a ottenere l’altra figura. Poiché nel taglio e nel riassemblaggio l’area totale non cambia, due figure equiscomponibili sono necessariamente equivalenti. È proprio questa idea, semplice ma potentissima, che useremo per dimostrare il teorema di Pitagora.

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Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Area · Equiscomponibilita · Equivalenza
Metodi: Equivalenza figure
Competenze: Geometria sintetica

When we compare two plane figures, we are not only interested in whether they are equal in the sense of “superimposable” (that is, congruent): often we want to know whether they occupy the same surface.

Definition — Equivalent figures

Two figures are said to be equivalent when they have the same area.

Two congruent figures are always equivalent, but the converse does not hold: a rectangle and a triangle can have the same area while having completely different shapes.

The most elegant way to prove that two figures are equivalent is equidecomposability: one cuts a figure into a finite number of pieces and reassembles them, without overlaps or gaps, until the other figure is obtained. Since the total area does not change under cutting and reassembling, two equidecomposable figures are necessarily equivalent. It is precisely this simple yet extremely powerful idea that we shall use to prove Pythagoras’ theorem.

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Topics: Equivalence and Pythagoras
Concepts: Area · Equidecomposability · Equivalence
Methods: Equivalence of figures
Skills: Synthetic geometry

Un primo esempio di equiscomponibilità mette in relazione due figure fondamentali: il triangolo e il parallelogramma.

Teorema

Un triangolo è equiscomponibile con un parallelogramma avente per base la stessa base e per altezza metà dell’altezza del triangolo.

Dimostrazione

Dal punto medio $M$ del lato $AC$ si costruisce il parallelogramma $AMDB$, equiscomponibile con il triangolo $ABC$.

1. Dal punto medio $M$ di $AC$ si manda la parallela ad $AB$.
2. Da $B$ si manda la parallela ad $AC$, che incontra la retta precedente in $D$.
3. Il triangolo superiore $CME$ si “ribalta” esattamente nello spazio $BED$: le due figure sono congruenti.
4. Il risultato è il parallelogramma $AMDB$, con base $AB$ e altezza $=\tfrac{1}{2}CH$.

∎

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Concetti: Area · Equiscomponibilita · Equivalenza · Parallelogramma · Triangolo
Metodi: Equivalenza figure
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

A first example of equidecomposability relates two fundamental figures: the triangle and the parallelogram.

Theorem

A triangle is equidecomposable with a parallelogram having the same base as its base and half the triangle’s height as its height.

Proof

From the midpoint $M$ of side $AC$ the parallelogram $AMDB$ is constructed, equidecomposable with the triangle $ABC$.

1. From the midpoint $M$ of $AC$ draw the parallel to $AB$.
2. From $B$ draw the parallel to $AC$, which meets the previous line at $D$.
3. The upper triangle $CME$ “flips over” exactly into the space $BED$: the two figures are congruent.
4. The result is the parallelogram $AMDB$, with base $AB$ and height $=\tfrac{1}{2}CH$.

∎

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Methods: Equivalence of figures
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È il teorema più celebre della geometria elementare. Lo dimostriamo per equivalenza di aree, sfruttando l’idea dell’equiscomponibilità.

Teorema — di Pitagora

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. $\begin{cases} AC \perp BC \\ ABHI,\; AEDC,\; CBFG \text{ quadrati} \end{cases} \implies ABHI \doteq AEDC + CBFG$

Dimostrazione

L’altezza $CK$, prolungata fino a $M$, divide il quadrato sull’ipotenusa in due rettangoli, ciascuno equivalente a uno dei quadrati costruiti sui cateti.

1. Traccia $CK\perp AB$ e prolungala fino al lato $HI$ del quadrato sull’ipotenusa (punto $M$). La retta $KM$ divide il quadrato grande in due rettangoli.
2. Si verifica che il rettangolo $AKMI$ è equivalente al quadrato $AEDC$ (costruito sul cateto $AC$): entrambi hanno la stessa base e la stessa altezza.
3. Con lo stesso ragionamento, il rettangolo $KBHM$ è equivalente al quadrato $CBFG$ (costruito sul cateto $BC$).
4. Sommando i due rettangoli si ricompone il quadrato sull’ipotenusa: $AKMI + KBHM = ABHI$, dunque $c^2 = a^2+b^2$.

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Verifica il teorema in modo dinamico: trascina i vertici del triangolo e confronta le aree dei quadrati costruiti sui lati.

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Concetti: Area · Equiscomponibilita · Equivalenza · Quadrato · Teorema di pitagora · Triangolo rettangolo
Metodi: Equivalenza figure · Pitagora
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Pitagora

It is the most famous theorem in elementary geometry. We prove it by equivalence of areas, exploiting the idea of equidecomposability.

Theorem — Pythagoras'

In a right-angled triangle, the square built on the hypotenuse is equivalent to the sum of the squares built on the legs. $\begin{cases} AC \perp BC \\ ABHI,\; AEDC,\; CBFG \text{ quadrati} \end{cases} \implies ABHI \doteq AEDC + CBFG$

Proof

The height $CK$, extended to $M$, divides the square on the hypotenuse into two rectangles, each equivalent to one of the squares built on the legs.

1. Draw $CK\perp AB$ and extend it to the side $HI$ of the square on the hypotenuse (point $M$). The line $KM$ divides the large square into two rectangles.
2. One checks that the rectangle $AKMI$ is equivalent to the square $AEDC$ (built on the leg $AC$): both have the same base and the same height.
3. By the same reasoning, the rectangle $KBHM$ is equivalent to the square $CBFG$ (built on the leg $BC$).
4. Adding the two rectangles reassembles the square on the hypotenuse: $AKMI + KBHM = ABHI$, hence $c^2 = a^2+b^2$.

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Check the theorem dynamically: drag the triangle’s vertices and compare the areas of the squares built on the sides.

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Storia — Pitagora, la scuola pitagorica e l'irrazionale

Pitagora di Samo (circa 570–495 a.C.) fondò a Crotone, nel sud Italia, una comunità filosofica e religiosa nella quale la matematica aveva un ruolo centrale: per i pitagorici “tutto è numero”, cioè ogni fenomeno naturale è governato da rapporti tra numeri interi. Il teorema che porta il suo nome — la relazione $a^2+b^2=c^2$ per i triangoli rettangoli — era già noto, in casi particolari, ai babilonesi (la celebre tavoletta Plimpton 322, del XVIII secolo a.C., contiene quindici terne pitagoriche!) e ai matematici dell’India e della Cina antica. La novità della scuola pitagorica fu, probabilmente, la prima dimostrazione generale del teorema (Boyer).

Lo stesso teorema, paradossalmente, distrusse la dottrina pitagorica del “tutto è numero (intero)”: applicandolo al quadrato di lato $1$, si ottiene una diagonale di lunghezza $\sqrt{2}$, che la tradizione attribuisce a Ippaso di Metaponto come primo numero irrazionale mai scoperto. La leggenda — forse esagerata — racconta che Ippaso fu fatto annegare per aver divulgato questo segreto matematico inaccettabile. Reale o no, la scoperta degli irrazionali è uno dei momenti decisivi della storia del pensiero matematico (Kline); per una bella narrazione del teorema e della sua dimostrazione si veda anche Dunham.

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Concetti: Numeri irrazionali · Teorema di pitagora · Terne pitagoriche
Persone: Ippaso · Pitagora

History — Pythagoras, the Pythagorean school and the irrational

Pythagoras of Samos (about 570–495 BC) founded at Croton, in southern Italy, a philosophical and religious community in which mathematics played a central role: for the Pythagoreans “all is number”, that is, every natural phenomenon is governed by ratios between whole numbers. The theorem that bears his name — the relation $a^2+b^2=c^2$ for right-angled triangles — was already known, in particular cases, to the Babylonians (the celebrated tablet Plimpton 322, from the 18th century BC, contains fifteen Pythagorean triples!) and to the mathematicians of ancient India and China. The novelty of the Pythagorean school was, in all likelihood, the first general proof of the theorem (Boyer).

The same theorem, paradoxically, destroyed the Pythagorean doctrine that “all is (whole) number”: applying it to the square of side $1$, one obtains a diagonal of length $\sqrt{2}$, which tradition attributes to Hippasus of Metapontum as the first irrational number ever discovered. The legend — perhaps exaggerated — recounts that Hippasus was drowned for having disclosed this unacceptable mathematical secret. Real or not, the discovery of the irrationals is one of the decisive moments in the history of mathematical thought (Kline); for a fine account of the theorem and its proof see also Dunham.

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People: Hippasus · Pythagoras

Il legame $a^2+b^2=c^2$ tra i lati di un triangolo rettangolo compare, in forme diverse, in tutte le grandi civiltà matematiche dell’antichità, molto prima che la scuola pitagorica ne desse — probabilmente — la prima dimostrazione generale.

La tavoletta babilonese Plimpton 322

La testimonianza più antica e sorprendente è la tavoletta d’argilla babilonese nota come Plimpton 322, redatta in scrittura cuneiforme intorno al 1800 a.C. Le sue colonne di numeri, scritti nel sistema sessagesimale (base 60), contengono quindici righe che si leggono come terne pitagoriche: accanto a casi semplici compaiono numeri enormi, come la terna $(119,\,120,\,169)$ o addirittura $(3367,\,3456,\,4825)$, impossibili da individuare per tentativi. Gli scribi babilonesi possedevano dunque un metodo sistematico per generare triangoli rettangoli con lati interi, più di mille anni prima di Pitagora (Katz, Boyer).

Il gougu cinese

In Cina lo stesso teorema è chiamato gougu (勾股), dai nomi dei due cateti: gou il lato corto, gu il lato lungo, mentre l’ipotenusa è detta xian. Nel classico Zhoubi Suanjing (attorno al I secolo a.C.) il commentatore Zhao Shuang allega il celebre diagramma dell’ipotenusa: quattro triangoli rettangoli uguali disposti attorno a un quadratino centrale compongono un grande quadrato di lato $c$. Un semplice conto sulle aree, $c^2 = 4\cdot\frac{ab}{2} + (b-a)^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2+b^2,$ dimostra il teorema per pura equiscomponibilità, senza bisogno di proporzioni (Katz).

Euclide e le centinaia di dimostrazioni

Nel mondo greco la dimostrazione entra negli Elementi di Euclide come Proposizione I.47, con la figura ribattezzata nel medioevo pons asinorum o «sedia della sposa»: l’altezza relativa all’ipotenusa taglia il quadrato grande in due rettangoli, ciascuno equivalente al quadrato costruito su un cateto — esattamente la dimostrazione per equivalenza che usiamo ancora oggi. È forse il teorema più dimostrato della storia: nel volume The Pythagorean Proposition Elisha Loomis raccolse 371 dimostrazioni distinte, tra cui quella trovata nel 1876 da James Garfield, futuro presidente degli Stati Uniti, basata sull’area di un trapezio (Maor, Dunham).

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Argomenti: Equivalenza pitagora
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Persone: Elisha Loomis · Euclide · James Garfield · Zhao Shuang

The relation $a^2+b^2=c^2$ between the sides of a right-angled triangle appears, in various forms, in all the great mathematical civilisations of antiquity, long before the Pythagorean school gave — most likely — its first general proof.

The Babylonian tablet Plimpton 322

The oldest and most surprising piece of evidence is the Babylonian clay tablet known as Plimpton 322, written in cuneiform around 1800 BC. Its columns of numbers, recorded in the sexagesimal (base-60) system, contain fifteen rows that read as Pythagorean triples: alongside simple cases appear huge numbers, such as the triple $(119,\,120,\,169)$ or even $(3367,\,3456,\,4825)$, impossible to find by trial and error. The Babylonian scribes therefore possessed a systematic method for generating right triangles with whole-number sides, more than a thousand years before Pythagoras (Katz, Boyer).

The Chinese gougu

In China the same theorem is called gougu (勾股), from the names of the two legs: gou the short side, gu the long side, while the hypotenuse is called xian. In the classic Zhoubi Suanjing (around the 1st century BC) the commentator Zhao Shuang attaches the celebrated hypotenuse diagram: four equal right triangles arranged around a small central square make up a large square of side $c$. A simple computation of areas, $c^2 = 4\cdot\frac{ab}{2} + (b-a)^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2+b^2,$ proves the theorem by pure dissection, with no need for proportions (Katz).

Euclid and the hundreds of proofs

In the Greek world the proof enters Euclid’s Elements as Euclid’s Proposition I.47, its figure nicknamed in the Middle Ages the pons asinorum or “bride’s chair”: the altitude to the hypotenuse cuts the large square into two rectangles, each equivalent to the square built on one leg — exactly the proof by equivalence we still use today. It is perhaps the most-proved theorem in history: in the book The Pythagorean Proposition Elisha Loomis collected 371 distinct proofs, among them the one found in 1876 by James Garfield, a future president of the United States, based on the area of a trapezoid (Maor, Dunham).

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