Potenze e proprietà

L’elevamento a potenza sintetizza una moltiplicazione ripetuta. Dopo la definizione — estesa in modo coerente all’esponente zero e agli esponenti negativi — raccogliamo le cinque proprietà di calcolo e segnaliamo le trappole più comuni, come le potenze “a torre”.

• Definizione di potenza
• Proprietà delle potenze
• Torri di potenze ed esponenti negativi

Raising to a power sums up a repeated multiplication. After the definition — extended consistently to the exponent zero and to negative exponents — we collect the five calculation properties and point out the most common pitfalls, such as “tower” powers.

• Definition of a power
• Properties of powers
• Towers of powers and negative exponents

L’elevamento a potenza è un’operazione che compare continuamente in matematica: è il modo compatto di scrivere una moltiplicazione ripetuta.

Definizione — Potenza

Dati $a\in\mathbb{R}$ (base) e $n\in\mathbb{N}$, con $n\ge 1$ (esponente): $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ volte}}, \qquad a^0 = 1 \;\;(a\neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \;\;(a\neq 0).$

Le due estensioni — esponente $0$ ed esponente negativo — non sono arbitrarie: sono scelte proprio in modo che le proprietà delle potenze continuino a valere.

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Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Potenza

Raising to a power is an operation that appears continually in mathematics: it is the compact way of writing a repeated multiplication.

Definition — Power

Given $a\in\mathbb{R}$ (base) and $n\in\mathbb{N}$, with $n\ge 1$ (exponent): $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ volte}}, \qquad a^0 = 1 \;\;(a\neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \;\;(a\neq 0).$

The two extensions — exponent $0$ and negative exponent — are not arbitrary: they are chosen precisely so that the properties of powers continue to hold.

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Topics: Numbers and operations
Concepts: Power

Dalla definizione di potenza discendono cinque regole di calcolo che useremo di continuo per semplificare le espressioni.

Proprietà — delle potenze

Siano $a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e $m,n\in\mathbb{Z}$:

Uguaglianza	Nome
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	prodotto di potenze con la stessa base
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	quoziente di potenze con la stessa base
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	potenza di potenza
$(a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	potenza di un prodotto
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$	potenza di un quoziente

Le prime tre regole riguardano potenze con la stessa base; le ultime due riguardano potenze con lo stesso esponente.

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Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Potenza · Proprieta delle potenze
Competenze: Semplificare · Usare formule

From the definition of a power follow five calculation rules that we will use constantly to simplify expressions.

Property — of powers

Let $a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ and $m,n\in\mathbb{Z}$:

Equality	Name
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	product of powers with the same base
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	quotient of powers with the same base
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	power of a power
$(a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	power of a product
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$	power of a quotient

The first three rules concern powers with the same base; the last two concern powers with the same exponent.

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Topics: Numbers and operations
Concepts: Power · Properties of powers
Skills: Simplifying · Using formulae

Due situazioni si prestano facilmente a errori: le potenze “a torre” (esponente di un esponente) e le potenze con esponente negativo di una frazione.

Attenzione

• $3^{2^3} = 3^8 = 6561$, non $(3^2)^3 = 9^3 = 729$. Senza parentesi si esegue prima la potenza scritta più in alto!
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$: un esponente negativo su una frazione equivale a scambiare numeratore e denominatore e cambiare segno all’esponente.

Nel primo caso la torre $a^{b^c}$ si legge dall’alto: prima si calcola $b^c$, poi si eleva $a$ a quel risultato.

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Potenza · Proprieta delle potenze
Competenze: Calcolare

Two situations lend themselves easily to mistakes: “tower” powers (an exponent of an exponent) and powers with a negative exponent of a fraction.

Beware

• $3^{2^3} = 3^8 = 6561$, not $(3^2)^3 = 9^3 = 729$. Without brackets, the power written higher up is carried out first!
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$: a negative exponent on a fraction is equivalent to swapping numerator and denominator and changing the sign of the exponent.

In the first case the tower $a^{b^c}$ is read from the top: first $b^c$ is calculated, then $a$ is raised to that result.

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Concepts: Power · Properties of powers
Skills: Calculating