Percentuali di base

Una percentuale è sempre una percentuale di qualcosa. In questa sezione introduciamo il significato del simbolo $\%$ e la regola fondamentale che governa gli aumenti e le riduzioni percentuali. Vediamo infine perché un aumento seguito da una riduzione della stessa percentuale non riporta mai al valore di partenza: un fatto tutt’altro che intuitivo, che ritroveremo negli sconti, nell’IVA e negli interessi.

• Che cos’è una percentuale
• Aumento e riduzione percentuale
• Aumento e riduzione non si compensano

A percentage is always a percentage of something. In this section we introduce the meaning of the symbol $\%$ and the fundamental rule that governs percentage increases and decreases. Finally, we see why an increase followed by a decrease of the same percentage never brings you back to the starting value: a fact that is anything but intuitive, which we shall find again in discounts, VAT and interest.

• What a percentage is
• Percentage increase and decrease
• Increase and decrease do not cancel out

Le percentuali sono uno strumento che usiamo ogni giorno — dagli sconti nei negozi ai dati statistici. Prima di trattarle in modo rigoroso, chiariamo il loro significato: dire “il $60\%$” equivale a dire ”$60$ centesimi”, cioè la frazione $\frac{60}{100}$. Ma di che cosa?

Definizione — Percentuale

Una percentuale è sempre una percentuale di qualcosa (o rispetto a qualcosa). Calcolarla significa moltiplicare quella quantità per la frazione corrispondente: $\text{il } 60\%\text{ di }3000 = 3000\cdot\frac{60}{100} = 1800.$

Il simbolo $\%$ non ha senso da solo: indica sempre un rapporto con un riferimento. Tenere presente rispetto a che cosa si calcola una percentuale è la chiave per non commettere errori negli sconti, nell’IVA e negli interessi.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Percentuale
Competenze: Calcolare

Percentages are a tool we use every day — from shop discounts to statistical data. Before treating them rigorously, let us clarify their meaning: saying "$60\%$" is the same as saying ”$60$ hundredths”, that is, the fraction $\frac{60}{100}$. But of what?

Definition — Percentage

A percentage is always a percentage of something (or relative to something). Computing it means multiplying that quantity by the corresponding fraction: $\text{the } 60\%\text{ of }3000 = 3000\cdot\frac{60}{100} = 1800.$

The symbol $\%$ has no meaning on its own: it always indicates a ratio with a reference. Keeping in mind relative to what a percentage is computed is the key to avoiding mistakes with discounts, VAT and interest.

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Topics: Percentages
Concepts: Percentage
Skills: Calculating

Aumentare o diminuire una quantità di una certa percentuale è la manovra più frequente con cui incontriamo il simbolo $\%$. L’idea chiave è che aumentare del $p\%$ equivale a moltiplicare per un solo fattore, e lo stesso vale per una riduzione.

Proprietà — Aumento e riduzione percentuale

• Se una quantità $a$ aumenta del $p\%$: nuovo valore $= a + \dfrac{p}{100}\,a = \dfrac{100+p}{100}\,a$.
• Se una quantità $a$ diminuisce del $p\%$: nuovo valore $= a - \dfrac{p}{100}\,a = \dfrac{100-p}{100}\,a$.

In entrambi i casi si moltiplica il valore di partenza per un unico fattore: $\frac{100+p}{100}$ per l’aumento, $\frac{100-p}{100}$ per la riduzione. Ragionare per fattori moltiplicativi rende immediati anche i casi in cui più variazioni si susseguono.

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• Percentage Change (1 of 4: Increase) — Eddie Woo

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Aumento percentuale · Percentuale · Riduzione percentuale
Competenze: Calcolare · Usare formule

Increasing or decreasing a quantity by a certain percentage is the most frequent manoeuvre in which we meet the symbol $\%$. The key idea is that increasing by $p\%$ is the same as multiplying by a single factor, and the same holds for a decrease.

Property — Percentage increase and decrease

• If a quantity $a$ increases by $p\%$: new value $= a + \dfrac{p}{100}\,a = \dfrac{100+p}{100}\,a$.
• If a quantity $a$ decreases by $p\%$: new value $= a - \dfrac{p}{100}\,a = \dfrac{100-p}{100}\,a$.

In both cases the initial value is multiplied by a single factor: $\frac{100+p}{100}$ for the increase, $\frac{100-p}{100}$ for the decrease. Reasoning in terms of multiplicative factors also makes immediate the cases where several changes follow one another.

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Topics: Percentages
Concepts: Percentage increase · Percentage · Percentage decrease
Skills: Calculating · Using formulae

Un errore diffusissimo è credere che un aumento del $p\%$ seguito da una riduzione del $p\%$ riporti al valore di partenza. Non è così, e la ragione è puramente algebrica: le due variazioni si applicano a basi diverse.

Attenzione

Un aumento del $p\%$ seguito da una riduzione del $p\%$ (o viceversa) non riporta al valore iniziale! $\frac{100+p}{100}\cdot\frac{100-p}{100} = \frac{10000-p^2}{10000} < 1 \quad\text{per ogni }p>0.$

Il prodotto dei due fattori vale $\frac{10000-p^2}{10000}$, che è strettamente minore di $1$ per ogni $p>0$: il valore finale è quindi sempre più basso di quello iniziale. È la stessa asimmetria che ritroveremo confrontando l’IVA applicata e l’IVA scorporata.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Aumento percentuale · Riduzione percentuale · Variazione percentuale
Competenze: Calcolare · Dimostrare

A very widespread mistake is to believe that an increase of $p\%$ followed by a decrease of $p\%$ brings you back to the starting value. This is not so, and the reason is purely algebraic: the two changes are applied to different bases.

Caution

An increase of $p\%$ followed by a decrease of $p\%$ (or vice versa) does not bring you back to the initial value! $\frac{100+p}{100}\cdot\frac{100-p}{100} = \frac{10000-p^2}{10000} < 1 \quad\text{for every }p>0.$

The product of the two factors equals $\frac{10000-p^2}{10000}$, which is strictly less than $1$ for every $p>0$: the final value is therefore always lower than the initial one. It is the same asymmetry that we shall find again when comparing VAT added and VAT extracted.

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Topics: Percentages
Concepts: Percentage increase · Percentage decrease · Percentage change
Skills: Calculating · Proving