Il piano

Nello spazio il piano diventa un oggetto geometrico con una sua equazione: è individuato da un punto e da un vettore normale $\vec n=(a,b,c)$, e ha equazione cartesiana $ax+by+cz+d=0$. A partire dai piani si costruiscono i fasci di piani: propri (tutti i piani per una retta) e impropri (tutti i piani paralleli a un piano dato).

• Equazione del piano
• Piano per tre punti
• Fascio di piani
• Fascio proprio
• Fascio improprio
• Talete nello spazio

In space the plane becomes a geometric object with an equation of its own: it is identified by a point and by a normal vector $\vec n=(a,b,c)$, and has Cartesian equation $ax+by+cz+d=0$. Starting from planes one builds the pencils of planes: proper (all the planes through a line) and improper (all the planes parallel to a given plane).

• Equation of the plane
• Plane through three points
• Pencil of planes
• Proper pencil
• Improper pencil
• Thales in space

Nello spazio il piano non è più l’ambiente in cui lavoriamo, ma un oggetto geometrico con una sua equazione. È individuato da un punto $P_0$ che gli appartiene e da un vettore $\vec n$ a esso perpendicolare, detto vettore normale.

Un piano è individuato da un suo punto $P_0$ e dal vettore normale $\vec n$.

Proprietà — Equazione del piano

Il piano passante per $P_0(x_0,y_0,z_0)$ con vettore normale $\vec n=(a,b,c)$ soddisfa $(\vec S - \vec S_0)\cdot\vec n = 0$, cioè $ax + by + cz + d = 0, \qquad d = -(ax_0+by_0+cz_0).$ I coefficienti $a,b,c$ sono proprio le componenti del vettore normale.

Esempio

Con $P_0(2;0;0)$ e $\vec n=(-7;-4;-1)$: $\;d=-(-7\cdot 2)=14$, quindi il piano è $-7x-4y-z+14=0.$

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Equazione del piano · Piano · Vettore normale
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

In space the plane is no longer the environment in which we work, but a geometric object with an equation of its own. It is identified by a point $P_0$ belonging to it and by a vector $\vec n$ perpendicular to it, called the normal vector.

A plane is identified by one of its points $P_0$ and by the normal vector $\vec n$.

Property — Equation of the plane

The plane passing through $P_0(x_0,y_0,z_0)$ with normal vector $\vec n=(a,b,c)$ satisfies $(\vec S - \vec S_0)\cdot\vec n = 0$, that is $ax + by + cz + d = 0, \qquad d = -(ax_0+by_0+cz_0).$ The coefficients $a,b,c$ are precisely the components of the normal vector.

Example

With $P_0(2;0;0)$ and $\vec n=(-7;-4;-1)$: $\;d=-(-7\cdot 2)=14$, so the plane is $-7x-4y-z+14=0.$

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Osservazione — Piano per tre punti

Dati tre punti $A,B,C$ non allineati, un vettore normale al piano che li contiene si ottiene con il prodotto vettoriale $\vec n = \vec{AB}\times\vec{AC};$ poi si applica la formula punto + normale usando $A$ come punto base.

Il prodotto vettoriale di due lati del triangolo $ABC$ è perpendicolare a entrambi, quindi al piano che li contiene: è esattamente il vettore normale cercato.

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Remark — Plane through three points

Given three non-collinear points $A,B,C$, a vector normal to the plane containing them is obtained with the vector product $\vec n = \vec{AB}\times\vec{AC};$ then one applies the point + normal formula using $A$ as base point.

The vector product of two sides of the triangle $ABC$ is perpendicular to both, hence to the plane containing them: it is exactly the normal vector sought.

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L’analogo, nello spazio, del fascio di rette nel piano è il fascio di piani. Anche qui si distinguono due casi.

Definizione — Fascio proprio e improprio

Un fascio di piani proprio è l’insieme di tutti i piani che contengono una retta fissata $r$, detta asse del fascio.

Un fascio di piani improprio è l’insieme dei piani paralleli a un piano fissato.

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Concetti: Fascio di piani · Piano
Competenze: Geometria analitica

The analogue in space of the pencil of lines in the plane is the pencil of planes. Here too two cases are distinguished.

Definition — Proper and improper pencil

A proper pencil of planes is the set of all the planes that contain a fixed line $r$, called the axis of the pencil.

An improper pencil of planes is the set of the planes parallel to a fixed plane.

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Proprietà — Equazione cartesiana di un fascio proprio

Se $\pi_1\colon a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0$ e $\pi_2\colon a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$ sono due piani distinti che si intersecano lungo la retta $r$, il fascio proprio di asse $r$ ha equazione $\alpha(a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1) + \beta(a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2) = 0, \qquad (\alpha,\beta)\ne (0,0):$ ogni piano del fascio è una combinazione lineare dei due generatori. Posto $\lambda=\beta/\alpha$ (quando $\alpha\ne 0$) si scrive anche $(a_1+\lambda a_2)x+(b_1+\lambda b_2)y+(c_1+\lambda c_2)z+(d_1+\lambda d_2)=0,$ con un solo parametro $\lambda\in\mathbb{R}$ (il valore $\lambda=\infty$ corrisponde al solo $\pi_2$).

Esempio — Costruzione di un fascio proprio

Siano $\pi_1\colon x+y-z+1=0$ e $\pi_2\colon 2x-y+z=0$. La retta $r=\pi_1\cap\pi_2$ è l’asse del fascio $(x+y-z+1)+\lambda(2x-y+z)=0 \iff (1+2\lambda)x+(1-\lambda)y+(-1+\lambda)z+1=0.$ Per $\lambda=1$: $\;3x+1=0 \iff x=-\tfrac13$; per $\lambda=-1$: $\;-x+2y-2z+1=0$.

Esempio — Piano del fascio passante per un punto

Qual è il piano del fascio precedente che passa per $P(1;0;-1)$? Sostituendo $P$ nell’equazione del fascio: $(1+0-(-1)+1)+\lambda(2-0+(-1))=0 \iff 3+\lambda=0 \iff \lambda=-3.$ Il piano cercato è $(x+y-z+1)-3(2x-y+z)=0 \iff -5x+4y-4z+1=0$.

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Metodi: Fascio piani proprio
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Property — Cartesian equation of a proper pencil

If $\pi_1\colon a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0$ and $\pi_2\colon a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$ are two distinct planes intersecting along the line $r$, the proper pencil with axis $r$ has equation $\alpha(a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1) + \beta(a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2) = 0, \qquad (\alpha,\beta)\ne (0,0):$ every plane of the pencil is a linear combination of the two generators. Setting $\lambda=\beta/\alpha$ (when $\alpha\ne 0$) it is also written $(a_1+\lambda a_2)x+(b_1+\lambda b_2)y+(c_1+\lambda c_2)z+(d_1+\lambda d_2)=0,$ with a single parameter $\lambda\in\mathbb{R}$ (the value $\lambda=\infty$ corresponds to $\pi_2$ alone).

Example — Construction of a proper pencil

Let $\pi_1\colon x+y-z+1=0$ and $\pi_2\colon 2x-y+z=0$. The line $r=\pi_1\cap\pi_2$ is the axis of the pencil $(x+y-z+1)+\lambda(2x-y+z)=0 \iff (1+2\lambda)x+(1-\lambda)y+(-1+\lambda)z+1=0.$ For $\lambda=1$: $\;3x+1=0 \iff x=-\tfrac13$; for $\lambda=-1$: $\;-x+2y-2z+1=0$.

Example — Plane of the pencil passing through a point

Which is the plane of the previous pencil passing through $P(1;0;-1)$? Substituting $P$ into the equation of the pencil: $(1+0-(-1)+1)+\lambda(2-0+(-1))=0 \iff 3+\lambda=0 \iff \lambda=-3.$ The plane sought is $(x+y-z+1)-3(2x-y+z)=0 \iff -5x+4y-4z+1=0$.

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Methods: Proper pencil of planes
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Proprietà — Fascio improprio

Tutti i piani paralleli a $\pi\colon ax+by+cz+d=0$ hanno equazione $ax+by+cz+k=0, \qquad k\in\mathbb{R}:$ si tiene fisso il vettore normale $(a,b,c)$ e varia solo il termine noto.

Piani paralleli condividono lo stesso vettore normale: è per questo che cambia soltanto il termine noto $k$.

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Metodi: Fascio piani improprio
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Property — Improper pencil

All the planes parallel to $\pi\colon ax+by+cz+d=0$ have equation $ax+by+cz+k=0, \qquad k\in\mathbb{R}:$ the normal vector $(a,b,c)$ is kept fixed and only the constant term varies.

Parallel planes share the same normal vector: this is why only the constant term $k$ changes.

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Methods: Improper pencil of planes
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Storia — Talete nello spazio

Il fascio improprio di piani paralleli è esattamente lo strumento del teorema di Talete nello spazio (che si incontra nel capitolo di geometria sintetica): un fascio di piani paralleli tagliato da due trasversali determina segmenti corrispondenti proporzionali. In questa lettura moderna, il teorema di Talete è “dato dalla struttura del fascio” di piani paralleli.

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Concetti: Fascio di piani
Competenze: Geometria analitica
Persone: Talete

History — Thales in space

The improper pencil of parallel planes is exactly the tool of Thales’ theorem in space (which is met in the chapter on synthetic geometry): a pencil of parallel planes cut by two transversals determines proportional corresponding segments. In this modern reading, Thales’ theorem is “given by the structure of the pencil” of parallel planes.

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People: Thales