Interesse semplice e interesse composto

Quando si presta o si investe del denaro, l’interesse è il compenso che matura nel tempo. Esistono due regimi fondamentali, con comportamenti molto diversi sul lungo periodo: nell’interesse semplice il montante cresce in modo lineare, in quello composto in modo esponenziale. In questa sezione confrontiamo i due regimi, introduciamo la regola del 72 per stimare i tempi di raddoppio, il tasso periodale per le capitalizzazioni infrannuali e il TAEG che le banche sono obbligate a dichiarare.

• Interesse semplice
• Interesse composto
• Confronto tra semplice e composto
• La regola del 72
• Tasso periodale e capitalizzazione frazionata
• Il costo delle carte di credito

When money is lent or invested, interest is the reward that accrues over time. There are two fundamental regimes, with very different behaviours over the long run: in simple interest the amount grows linearly, in compound interest exponentially. In this section we compare the two regimes, introduce the rule of 72 for estimating doubling times, the periodic rate for intra-year capitalisations and the APR that banks are obliged to declare.

• Simple interest
• Compound interest
• Comparison of simple and compound
• The rule of 72
• Periodic rate and fractional capitalisation
• The cost of credit cards

Quando si presta o si investe del denaro, l’interesse è il compenso che matura nel tempo. Nel regime più semplice gli interessi si calcolano sempre sul capitale di partenza.

Definizione — Interesse semplice

Un capitale $C_0$ investito al tasso annuo $i$ (in forma decimale, es. $i=0{,}05$ per il $5\%$) genera interesse semplice su $t$ anni: $I = C_0\cdot i\cdot t, \qquad \text{montante: } M = C_0(1+it).$ Gli interessi si calcolano sempre sul capitale iniziale: crescono in modo lineare nel tempo.

Poiché la base resta fissa, l’interesse maturato ogni anno è costante e il montante $M = C_0(1+it)$ è una funzione lineare del tempo. È la differenza cruciale rispetto al regime composto.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Interesse · Interesse semplice
Metodi: Interesse semplice
Competenze: Usare formule

When money is lent or invested, interest is the reward that accrues over time. In the simplest regime, interest is always computed on the starting capital.

Definition — Simple interest

A capital $C_0$ invested at the annual rate $i$ (in decimal form, e.g. $i=0{,}05$ for $5\%$) generates simple interest over $t$ years: $I = C_0\cdot i\cdot t, \qquad \text{amount: } M = C_0(1+it).$ Interest is always computed on the initial capital: it grows linearly over time.

Since the base stays fixed, the interest accruing each year is constant and the amount $M = C_0(1+it)$ is a linear function of time. This is the crucial difference from the compound regime.

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Topics: Percentages
Concepts: Interest · Simple interest
Methods: Simple interest
Skills: Using formulae

Nel secondo regime fondamentale gli interessi maturati non restano fermi: si aggiungono al capitale e cominciano a loro volta a produrre interesse. È il meccanismo che rende la crescita esponenziale.

Definizione — Interesse composto

Nello stesso scenario con capitalizzazione composta gli interessi si aggiungono al capitale alla fine di ogni periodo e generano a loro volta interesse: $M = C_0\,(1+i)^t.$ Il montante cresce in modo esponenziale.

Il fattore $(1+i)$ agisce a ogni periodo sull’intero montante accumulato, non sul solo capitale iniziale: da qui la potenza $t$-esima e la crescita esponenziale, che sul lungo periodo supera nettamente quella lineare dell’interesse semplice.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Capitalizzazione composta · Crescita esponenziale · Interesse · Interesse composto
Metodi: Interesse composto
Competenze: Usare formule

In the second fundamental regime the interest that accrues does not stay still: it is added to the capital and in turn begins to produce interest. This is the mechanism that makes growth exponential.

Definition — Compound interest

In the same scenario with compound capitalisation, interest is added to the capital at the end of each period and in turn generates interest: $M = C_0\,(1+i)^t.$ The amount grows exponentially.

The factor $(1+i)$ acts at each period on the whole accumulated amount, not on the initial capital alone: hence the $t$-th power and the exponential growth, which over the long run clearly outstrips the linear growth of simple interest.

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Topics: Percentages
Concepts: Compound capitalisation · Exponential growth · Interest · Compound interest
Methods: Compound interest
Skills: Using formulae

A parità di capitale e tasso, i due regimi partono quasi appaiati ma divergono sempre di più con il passare degli anni. Un confronto numerico rende evidente perché.

Esempio — Confronto a 10 anni

$C_0 = 1000$ EUR al $5\%$ annuo.

• Semplice: $M_{10} = 1000\cdot(1+0{,}05\cdot 10) = 1500$ EUR (interesse $500$).
• Composto: $M_{10} = 1000\cdot 1{,}05^{10} \approx 1628{,}89$ EUR (interesse $\approx 629$).

Su $40$ anni la differenza esplode: $M_{40}^{\text{sempl}} = 3000$, $M_{40}^{\text{comp}} = 1000\cdot 1{,}05^{40} \approx 7039{,}99$. La capitalizzazione composta è il motore degli investimenti a lungo termine e — specularmente — dei debiti che peggiorano se non ripagati.

A $10$ anni lo scarto è modesto; a $40$ anni il montante composto è più che doppio rispetto a quello semplice. La crescita esponenziale lavora a favore di chi investe e contro chi accumula debiti.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Crescita esponenziale · Interesse composto · Interesse semplice
Metodi: Interesse composto · Interesse semplice
Competenze: Calcolare · Stimare

For the same capital and rate, the two regimes start almost neck and neck but diverge ever more as the years pass. A numerical comparison makes it clear why.

Example — Comparison over 10 years

$C_0 = 1000$ EUR at $5\%$ per year.

• Simple: $M_{10} = 1000\cdot(1+0{,}05\cdot 10) = 1500$ EUR (interest $500$).
• Compound: $M_{10} = 1000\cdot 1{,}05^{10} \approx 1628{,}89$ EUR (interest $\approx 629$).

Over $40$ years the difference explodes: $M_{40}^{\text{sempl}} = 3000$, $M_{40}^{\text{comp}} = 1000\cdot 1{,}05^{40} \approx 7039{,}99$. Compound capitalisation is the engine of long-term investments and — mirror-wise — of debts that worsen if not repaid.

At $10$ years the gap is modest; at $40$ years the compound amount is more than double the simple one. Exponential growth works in favour of those who invest and against those who accumulate debts.

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Topics: Percentages
Concepts: Exponential growth · Compound interest · Simple interest
Methods: Compound interest · Simple interest
Skills: Calculating · Estimating

Un investitore ha spesso bisogno di una stima rapida: in quanti anni raddoppia un capitale a un dato tasso? La regola del 72 fornisce una risposta a mente, senza calcolatrice.

Osservazione — Regola del 72

Per stimare quanti anni servono a raddoppiare un capitale al tasso $i\%$ in regime composto: $t_{2\times}\approx 72/i$. Al $6\%$: $\approx 12$ anni; al $4\%$: $\approx 18$ anni; all’$8\%$: $\approx 9$ anni. Deriva da $\ln 2/\ln(1+i)\approx 0{,}693/i$ per $i$ piccolo, e $72$ è scelto perché ha tanti divisori e dà risultati “rotondi” per i tassi tipici. La rivedremo nel capitolo sui logaritmi.

L’approssimazione nasce da $\ln 2 \approx 0{,}693$ e da $\ln(1+i)\approx i$ per tassi piccoli; il numero $72$ (anziché $69{,}3$) è preferito perché divisibile per molti tassi comuni. Il legame con i logaritmi sarà chiarito più avanti.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Interesse composto · Regola del 72
Competenze: Stimare

An investor often needs a quick estimate: in how many years does a capital double at a given rate? The rule of 72 provides an answer in one’s head, without a calculator.

Observation — Rule of 72

To estimate how many years are needed to double a capital at the rate $i\%$ under the compound regime: $t_{2\times}\approx 72/i$. At $6\%$: $\approx 12$ years; at $4\%$: $\approx 18$ years; at $8\%$: $\approx 9$ years. It derives from $\ln 2/\ln(1+i)\approx 0{,}693/i$ for small $i$, and $72$ is chosen because it has many divisors and gives “round” results for typical rates. We shall revisit it in the chapter on logarithms.

The approximation arises from $\ln 2 \approx 0{,}693$ and from $\ln(1+i)\approx i$ for small rates; the number $72$ (rather than $69{,}3$) is preferred because it is divisible by many common rates. The link with logarithms will be clarified later on.

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Topics: Percentages
Concepts: Compound interest · Rule of 72
Skills: Estimating

Fin qui la capitalizzazione è avvenuta una volta all’anno. Ma banche e prestiti capitalizzano spesso più volte l’anno: mensilmente, trimestralmente. Occorre allora un tasso riferito al singolo periodo.

Definizione — Tasso periodale

Se il tasso annuo è $i$ ma la capitalizzazione avviene $m$ volte all’anno (mensile $m=12$, trimestrale $m=4$), il tasso periodale è $i_p = i/m$ e il montante dopo $t$ anni è $M = C_0\Bigl(1+\frac{i}{m}\Bigr)^{mt}.$ Per $m\to\infty$ (capitalizzazione continua): $M\to C_0\,e^{it}$ (lo dimostreremo in Quarta studiando il numero $e$).

Ogni periodo applica il fattore $\bigl(1+\frac{i}{m}\bigr)$, ripetuto $mt$ volte. All’aumentare di $m$ il montante cresce leggermente e, al limite, tende alla capitalizzazione continua $C_0\,e^{it}$, che incontreremo studiando il numero $e$.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Capitalizzazione composta · Capitalizzazione continua · Tasso periodale
Competenze: Usare formule

So far capitalisation has taken place once a year. But banks and loans often capitalise several times a year: monthly, quarterly. A rate referring to the single period is then required.

Definition — Periodic rate

If the annual rate is $i$ but capitalisation takes place $m$ times a year (monthly $m=12$, quarterly $m=4$), the periodic rate is $i_p = i/m$ and the amount after $t$ years is $M = C_0\Bigl(1+\frac{i}{m}\Bigr)^{mt}.$ For $m\to\infty$ (continuous capitalisation): $M\to C_0\,e^{it}$ (we shall prove it in Year Four, studying the number $e$).

Each period applies the factor $\bigl(1+\frac{i}{m}\bigr)$, repeated $mt$ times. As $m$ increases the amount grows slightly and, in the limit, tends to continuous capitalisation $C_0\,e^{it}$, which we shall meet when studying the number $e$.

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Topics: Percentages
Concepts: Compound capitalisation · Continuous capitalisation · Periodic rate
Skills: Using formulae

Il tasso “nominale” dichiarato da una carta di credito non è il costo reale del debito: la capitalizzazione mensile lo fa lievitare. La differenza è proprio il TAEG.

Esempio — Carte di credito

Tasso “nominale” annuo $18\%$, capitalizzazione mensile $m=12$: tasso effettivo annuo $(1+0{,}18/12)^{12}-1 = 1{,}015^{12}-1 \approx 0{,}1956 = 19{,}56\%.$ Il TAEG (tasso annuo effettivo globale) che le banche sono obbligate a dichiarare è proprio quel $19{,}56\%$ — la differenza con il $18\%$ nominale è il costo dei dettagli scritti in piccolo.

Il tasso periodale $0{,}18/12 = 1{,}5\%$ al mese, capitalizzato $12$ volte, produce un tasso effettivo annuo del $19{,}56\%$, superiore al $18\%$ nominale. Il TAEG rende confrontabili offerte con periodicità diverse.

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Argomenti: Percentuali
Concetti: Capitalizzazione composta · Taeg · Tasso periodale
Competenze: Calcolare · Stimare

The “nominal” rate declared by a credit card is not the real cost of the debt: monthly capitalisation pushes it up. The difference is precisely the APR.

Example — Credit cards

“Nominal” annual rate $18\%$, monthly capitalisation $m=12$: effective annual rate $(1+0{,}18/12)^{12}-1 = 1{,}015^{12}-1 \approx 0{,}1956 = 19{,}56\%.$ The APR (annual percentage rate) that banks are obliged to declare is precisely that $19{,}56\%$ — the difference from the nominal $18\%$ is the cost of the small print.

The periodic rate $0{,}18/12 = 1{,}5\%$ per month, capitalised $12$ times, produces an effective annual rate of $19{,}56\%$, higher than the nominal $18\%$. The APR makes offers with different periodicities comparable.

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Concepts: Compound capitalisation · APR · Periodic rate
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