Equazioni lineari del primo ordine

Un gradino più in là delle variabili separabili: le equazioni della forma $y' + p(x)\,y = q(x)$, lineari nell’incognita $y$ e nella sua derivata. Esiste una formula risolutiva generale, che si semplifica notevolmente nel caso omogeneo ($q=0$).

• Formula risolutiva
• Esempio svolto y’ − y = eˣ

A step beyond separable variables: the equations of the form $y' + p(x)\,y = q(x)$, linear in the unknown $y$ and in its derivative. There is a general solution formula, which simplifies considerably in the homogeneous case ($q=0$).

• Solution formula
• Worked example y’ − y = eˣ

Proprietà — Soluzione generale

L’equazione $y' + p(x)\,y = q(x)$ ha soluzione generale: $y(x) = e^{-P(x)}\left[\int q(x)\,e^{P(x)}\,dx + C\right], \qquad P(x)=\int p(x)\,dx.$

Si distinguono due casi:

• caso omogeneo ($q=0$): dà $y = Ce^{-P(x)}$;
• caso non omogeneo ($q\ne 0$): aggiunge alla soluzione omogenea una soluzione particolare.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Edo lineare primo ordine
Competenze: Integrare · Risolvere equazioni · Usare formule

Property — General solution

The equation $y' + p(x)\,y = q(x)$ has general solution: $y(x) = e^{-P(x)}\left[\int q(x)\,e^{P(x)}\,dx + C\right], \qquad P(x)=\int p(x)\,dx.$

Two cases are distinguished:

• homogeneous case ($q=0$): gives $y = Ce^{-P(x)}$;
• non-homogeneous case ($q\ne 0$): adds a particular solution to the homogeneous solution.

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Topics: Differential equations
Concepts: First-order linear ODE
Skills: Integrating · Solving equations · Using formulae

Esempio — $y' - y = e^x$

Qui $p(x)=-1$, $P(x)=-x$, $q(x)=e^x$. Applichiamo la formula risolutiva: $y = e^{x}\left[\int e^x\cdot e^{-x}\,dx + C\right] = e^x(x + C).$

Verifica: $y' = e^x(x+C) + e^x = e^x(x+C+1)$, quindi $y'-y = e^x(x+C+1)-e^x(x+C) = e^x$. ✓

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Concetti: Edo lineare primo ordine
Competenze: Integrare · Risolvere equazioni · Usare formule

Example — $y' - y = e^x$

Here $p(x)=-1$, $P(x)=-x$, $q(x)=e^x$. We apply the solution formula: $y = e^{x}\left[\int e^x\cdot e^{-x}\,dx + C\right] = e^x(x + C).$

Check: $y' = e^x(x+C) + e^x = e^x(x+C+1)$, therefore $y'-y = e^x(x+C+1)-e^x(x+C) = e^x$. ✓

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